命題
X をコンパクト空間(過去スレ006の104)とする。
次の条件は同値である。

(1) X は距離付け可能(過去スレ007の96)である。

(2) X は第２可算公理を満たす。

証明
(1) ⇒ (2)
X の位相と両立する距離を d とする。
距離空間 (X, d) はコンパクトだから過去スレ006の313より全有界(過去スレ006の302)である。
よって、>>342より X は可分(過去スレ006の110)である。
よって、>>345より X は第２可算公理を満たす。

(2) ⇒ (1)
X の開集合の可算基底を Φ とする。
Γ_0 = {U×U；U ∈ Φ} とおく。
Γ を Γ_0 の有限個の元の合併となるような X×X の開集合の全体とする。

過去スレ006の322より X×X の対角線集合 Δ の近傍全体は X の一様構造であり、
この一様構造で定まる位相は X の位相と一致する。

W を Δ ⊂ W となる X×X の開集合とする。
Δ の各点 (x, x) に対して (x, x) ∈ U×U ⊂ W となる U ∈ Φ がある。
X はHausdorff空間だから Δ は閉集合である。
X×X はコンパクトだから Δ はコンパクトである。
よって、Δ ⊂ V ⊂ W となる V ∈ Γ がある。
よって、Γ は X の可算基本近縁系(過去スレ006の195)である。
よって、過去スレ007の99より、X は距離付け可能である。
証明終