命題
距離付け可能(過去スレ007の96)で可分(過去スレ006の110)な位相空間は
第二可算公理(過去スレ006の112)を満たす。

証明
X を距離付け可能で可分な位相空間とし、d をその位相と両立する距離とする。
任意の a ∈ X と任意の ε ＞ 0 に対して B(a, ε) = {x ∈ X； d(a, x) ＜ ε} とおく。
N = {n；n = 1, 2, . . . } を自然数全体の集合とする。
A を X の稠密な可算部分集合とする。
{B(a, 1/n)；(a, n) ∈ A×N} が X の開集合の基底であることを証明しよう。
U を X の任意の空でない開集合とする。
任意の x ∈ U に対して B(x, ε) ⊂ U となる ε ＞ 0 がある。
1/n ＜ ε/2 となる n ∈ N をとる。
A は稠密だから a ∈ B(x, 1/n) となる a ∈ A がある。
任意の y ∈ B(a, 1/n) に対して、
d(y, x) ≦ d(y, a) + d(a, x) ＜ 1/n + 1/n ＜ ε
よって、y ∈ B(x, ε)
よって、B(a, 1/n) ⊂ B(x, ε) ⊂ U
よって、U は B(a, 1/n) の形の開集合の合併である。
証明終