命題
全有界(過去スレ006の302)な距離空間は可分(過去スレ006の110)である。

証明
(X, d) を全有界な距離空間とする。
X の部分集合 E は、ある実数ε＞ 0 があり、X の各点 x に対して E の点 a で
d(x, a) ＜ ε となるものがあるときε網という。
X は全有界だから、任意のε＞ 0 に対して有限なε網 A_ε がある。
A = ∪{A_(1/n)；n = 1、2、．．．} とおく。
A は可算で X において稠密である。
証明終