命題
X と Y を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
f：X → Y を一般Boole代数の準同型(>>29)とする。
>>23より X と Y は一般Boole環(>>5)になる。
このとき f は一般Boole環としての準同型である。

証明
a, b ∈ X のとき a ≦ c、b ≦ c となる c ∈ X がある（例えば c = a∨b）。
b’を区間 [0, c] における b の相対補元(過去スレ021の363)とする。
b∧b’= 0、b∨b’= c である。
よって、f(a) ≦ f(c)、f(b) ≦ f(c)
f(b)∧f(b’) = f(0)、f(b)∨f(b’) = f(c) である。
よって、f(b’) は区間 [0, f(c)] における f(b) の相対補元である。
よって、f(a＼b) = f(a∧b’) = f(a)∧f(b’) = f(a)∧f(b)’= f(a)＼f(b)’
同様に f(b＼a) = f(b)＼f(a)’
よって、
f(aΔb) = f((a＼b)∨(b＼a)) = f(a＼b)∨f(b＼a) = (f(a)＼f(b)’)∨(f(b)＼f(a)’)
= f(a)Δf(b)

一方、f(a∧b) = f(a)∧f(b)
よって、f は一般Boole環としての準同型である。
証明終