補題
X をStone空間(>>248)とする。
X の開かつ閉な部分集合全体を S(X) とおく。
>>249より S(X) は包含関係に関してBoole代数である。
Z_2 を２元体 {0, 1} とする。
S(X) の指標(>>90)の全体を S(X)＾と書く。
任意の x ∈ X に対して写像 x＾：S(X) → Z_2 を x＾(E) = χ_E(x) により定義する。
ここで、χ_E は E の特性関数である。
X ∈ S(X) であるから、>>292より x＾∈ S(X)＾である。
このとき、写像 x → x＾は X から S(X)＾への全単射である。

証明
x、y ∈ X、x ≠ y とする。
>>281より、X は完全分離(>>250)であるから、
x ∈ U、y ∈ X - U となる U ∈ S(X) がある。
x＾(U) = 1、y＾(U) = 0 だから x＾≠ y＾である。
よって、写像 x → x＾は単射である。

f ∈ S(X)＾を任意の指標とする。
Ψ = {E ∈ S(X)；f(E) = 1} とおく。
>>297より、Ψ は S(X) の極大フィルター(>>96)である。
Ψ は空集合を含まないから Ψ に属す有限個の集合は必ず交わる。
Ψ の各元は閉集合であり X はコンパクトだから ∩Ψ ≠ 0 である。
x ∈ ∩Ψ とする。
Ψ ⊂ {E ∈ S(X)；x＾(E) = 1} である。
Ψ は極大フィルターだから Ψ = {E ∈ S(X)；x＾(E) = 1} である。
よって、f = x＾ である。
よって、写像 x → x＾は全射である。
証明終