命題
A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
F ≠ A を A のフィルター(過去スレ021の527)とする。
以下の条件は同値である。

(1) 任意の a ∈ A に対して a ∈ F または a’∈ F

(2) F は素フィルターである。

(3) F は極大フィルターである。

証明
(1) ⇒ (2)
a ∈ A - F、b ∈ A、a∨b ∈ F とする。
a’∈ F だから a’∧(a∨b) ∈ F
a’∧(a∨b) = (a’∧a)∨(a’∧b) = 0∨(a’∧b) = a’∧b
よって、a’∧b ∈ F
a’∧b ≦ b だから b ∈ F
よって、F は素フィルターである。

(2) ⇒ (1)
任意の a ∈ A に対して a∨a’= 1 ∈ F
よって、a ∈ F または a’∈ F

(2) ⇔ (3)
>>75と>>203と>>295による。
証明終