補題
X を任意の空でない集合とする。
Φ を X 上の集合環(過去スレ007の189)とする。
Φ は包含関係により一般Boole代数(過去スレ021の373)と見なせる。
Z_2 を２元体 {0, 1} とする。
任意の x ∈ ∪Φ に対して写像 x＾：Φ → Z_2 を x＾(E) = χ_E(x) により定義する。
ここで、χ_E は E の特性関数である。
このとき、x＾は Φ の指標(>>90)である。

証明
>>44より Φ は一般Boole環(過去スレ021の336)と見なせる。

E、F ∈ Φ のとき
χ_(E∩F)(x) = (χ_E)(x)(χ_F)(x)
χ_(EΔF)(x) = (χ_E)(x) + (χ_F)(x)
である。
よって、
x＾(E∩F) = x＾(E)x＾(F)
x＾(EΔF) = x＾(E) + x＾(F)
よって、x＾：Φ → Z_2 は一般Boole環としての準同型である。

x ∈ ∪Φ であるから x ∈ E となる E ∈ Φ がある。
x＾(E) = χ_E(x) = 1 であるから x＾ ≠ 0 である。
よって、x＾は一般Boole環としての Φ の指標(>>76)である。
よって、>>44より x＾ は一般Boole代数としての Φ の指標である。
証明終