補題
A を単位元を持つ可換環とする。
U と V を Spec(A) の準コンパクトな開集合とする。
このとき U∩V は準コンパクトである。

証明
>>285より A の有限生成イデアル I、J により U = D(I)、V = D(J) と書ける。
>>227より、D(IJ) = D(I)∩D(J) である。
I = (a_1、．．．、a_n)、J = (b_1、．．．、b_m) とすると、
IJ = ({a_ib_j； i = 1、．．．、n、j = 1、．．．、m}) である。
よって、IJ は有限生成である。
よって、>>285より U∩V = D(I)∩D(J) は準コンパクトである。
証明終