命題
X を位相空間とする。
以下の条件は同値である。

(1) X はStone空間(>>248)である。

(2) X は準コンパクト(過去スレ006の104)で完全分離(>>250)である。

(3) X は準コンパクト(過去スレ006の104)で０次元(>>252)の T_0 空間(過去スレ018の223)である。

(4) X はHausdorffで穏和(>>259)な連接空間(>>267)である。

証明
(1) ⇒ (2)
>>277より明らかである。

(2) ⇒ (1)
>>269より明らかである。

(1) ⇒ (3)
X が準コンパクトでT_0 空間であることは自明である。
>>277より X の任意の点 x に対して {x} は x を含む X の開かつ閉な部分集合全体の共通集合である。
よって、>>276より x ∈ U となる任意の開集合 U に対して
x を含む有限個の開かつ閉な部分集合 F_1、．．．、F_n があり ∩F_i ⊂ U となる。
∩F_i は開かつ閉であるから X は０次元である。

(続く)