命題(Sura-Bura 1941)
X をコンパクト空間(過去スレ006の104)とする。
X の任意の連結成分は X の準連結成分(>>272)である。

証明
x を X の任意の点とし、S を x を含む X の連結成分とする。
>>274より S は X の準連結成分 Q に含まれる。
Q が連結であることを証明すればよい。
>>273より、Q は閉集合である。
Q = A ∪ B、A ∩ B = φ となる閉集合 A、B があるとする。
x ∈ A とする。
X はコンパクトだから過去スレ007の664より X は正規空間(過去スレ007の663)である。
よって、A ⊂ U, B ⊂ V となる開集合 U, V で U ∩ V = φ となるものがある。
>>273より Q は x を含む X の開かつ閉な部分集合全体の共通集合である。
Q ⊂ U ∪ V であるから、>>276より x を含む有限個の開かつ閉な部分集合 F_1、．．．、F_n があり、
F = F_1 ∩．．．∩ F_n は U ∪ V に含まれる。
よって、F = (F ∩ U)∪(F ∩ V)、(F ∩ U)∩(F ∩ V) = φ
F は開かつ閉だから F ∩ V は開集合である。
よって、F ∩ U = F - (F ∩ V) は開かつ閉である。
x ∈ F ∩ U だから Q ⊂ F ∩ U ⊂ U である。
よって、B ⊂ U ∩ V = φ
よって、B = φ
よって、Q は連結である。
証明終