補題
X を準コンパクト(過去スレ006の104)な位相空間とする。
U を X の開集合とする。
(F_i)、i ∈ I を X の閉集合の族で ∩F_i ⊂ U とする。
このとき I の有限部分集合 J があり ∩{F_i； i ∈ J} ⊂ U となる。

証明
X の部分集合 E に対して E^c = X - E と書く。
U^c ⊂ ∪(F_i)^c である。
U^c は閉集合であるから準コンパクトである。
よって、I の有限部分集合 J があり U^c ⊂ ∪{(F_i)^c ； i ∈ J} ⊂ U となる。
よって、∩{F_i； i ∈ J} ⊂ U となる。
証明終