命題
X を位相空間とする。
X の点 x を含む X の準連結成分(>>272)は x を含む X の開かつ閉な部分集合全体の共通集合である。

証明
x を含む X の準連結成分を Q とする。
S を x を含む X の開かつ閉な部分集合全体の共通集合とする。
U を x を含む開かつ閉な部分集合とする。
Q ⊂ U でないとすると y ∈ Q - U となる y がある。
V = X - U とおけば V は開集合であり、
x ∈ U、y ∈ V、X = U ∪ V、U ∩ V = φ となり x ≡ y に矛盾である。
よって、Q ⊂ U である。
よって、Q ⊂ S である。

逆に、y ∈ S のとき x を含む任意の開かつ閉な部分集合 U に対して y ∈ U であるから
x ≡ y である。
よって、S ⊂ Q である。
証明終