命題
X を一般Boole環(>>5)とする。
X は>>24で定義した順序により一般Boole代数(過去スレ021の373)になる。

証明
>>25より、X は>>24で定義した順序により束になる。
a、b ∈ X のとき ab = a∧b、a + b + ab = a∨b である。

分配律を証明しよう。
a∧(b∨c) = a(b + c + bc) = ab + ac + abc
(a∧b)∨(a∧c) = ab + ac + abc
よって、a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c)

a∨(b∧c) = a∨bc= a + bc + abc
(a∨b)∧(a∨c) = (a + b + ab)(a + c + ac)
= a + ac + ac + ab + bc + abc + ab + abc + abc
= a + (ac + ac) + (ab + ab) + bc + (abc + abc + abc)
= a + bc + abc
よって、a∨(b∧c) = (a∨b)∧(a∨c)

次に X が区分的相補束(過去スレ021の368)であることを証明する。

0 = 0a であるから 0 ≦ a
よって、0 は X の最小元である。

a ≦ b のとき a = ab
a∨(a + b) = a + a + b + a + ab = b + ab + ab = b
a∧(a + b) = a + ab = a + a = 0
よって、a + b は区間 [0, b] における a の相対補元(過去スレ021の363)

以上から X は一般Boole代数(過去スレ021の373)である。
証明終