命題
A を単位元を持つ可換環とする。
nil(A) (>>260) は A のイデアルである。

証明
a, b ∈ nil(A)、a^n = 0、a^m = 0 とする。
２項定理より、(a + b)^(n + m - 1) は (a^i)(b^j)、i + j = n + m - 1 の形の項の
整数係数の和である。
i ＜ n、j ＜ m なら i + j ＜ n + m - 1
よって、i + j = n + m - 1 なら i ≧ n または j ≧ m
よって、(a + b)^(n + m - 1) = 0
よって、a + b ∈ nil(A)

a ∈ nil(A)、a^n = 0 のとき任意の c ∈ A に対して (ca)^n = (c^n)(a^n) = 0
よって、ca ∈ nil(A)

以上から nil(A) は A のイデアルである。
証明終