命題
A をBoole環(>>6)とする。
Spec(A) (>>222) は完全不連結(>>245)なコンパクト空間である。

証明
>>238より Spec(A) は準コンパクトである。

P, Q ∈ Spec(A)、P ≠ Q とする。
>>75より P と Q は極大イデアルである
よって、Q ⊂ P では有り得ない。
よって、a ∈ Q、a ∈ Spec(A) - P となる a ∈ A がある。
即ち P ∈ D(a)、Q ∈ Spec(A) - D(a)
一方、>>246より Spec(A) - D(a) は開集合である。
よって、Spec(A) はHausdorff空間である。

任意の P ∈ Spec(A) に対して P を含む Spec(A) の連結成分を S とする。
S が P 以外の点 Q を含むとする。
上記より P ∈ D(a)、Q ∈ Spec(A) - D(a) となる a ∈ A がある。
V = Spec(A) - D(a) とおく。
V は開集合である。
S = (S ∩ D(a))∪(S ∩ V) であるが、D(a) と V は交わらないから S が連結であることに矛盾する。
よって、Spec(A) は完全不連結である。
証明終