>>239の修正

命題
A と B を単位元を持つ可換環とする。
f：A → B を準同型とする（f(1) = 1 とする）。
任意の P ∈ Spec(B) に対して f^(-1)(P) ∈ Spec(A) である。
写像 ψ：Spec(B) → Spec(A) を ψ(P) = f^(-1)(P) により定義する。
このとき、任意の E ⊂ A に対して ψ^(-1)(D(E)) = D(f(E)) である。
特に任意の a ∈ A に対して ψ^(-1)(D(a)) = D(f(a)) である。
よって、ψ は連続である。

証明
任意の P ∈ Spec(B) に対して π：B → B/P を標準射とする。
g = πf：A → B/P とおく。
Ker(g) = f^(-1)(P) である。
よって、A/f^(-1)(P) は g(A) に同型である。
一方、g(1) = 1 で B/P ≠ 0 であるから g(A) ≠ 0 である。
よって、f^(-1)(P) ≠ A である。
よって、f^(-1)(P) ∈ Spec(A) である。

次に任意の E ⊂ A に対して ψ^(-1)(V(E)) = V(f(E)) を証明すればよい。
P ∈ ψ^(-1)(V(E)) ⇔ f^(-1)(P) ∈ V(E) ⇔ E ⊂ f^(-1)(P) ⇔ f(E) ⊂ P ⇔ P ∈ V(f(E))
よって、ψ^(-1)(V(E)) = V(f(E)) である。
証明終