命題
A を単位元を持つ可換環とする。
任意の a ∈ A に対して D(a) (>>223) は Spec(A) の部分空間として
準コンパクト(過去スレ006の104)である。

証明
>>225の(4)より、D(b)、b ∈ A の形の集合全体は Spec(A) のZariski位相(過去スレ001の160)の
開集合の基底である。

(a_λ)、λ ∈ Λ を A の元の族で D(a) ⊂ ∪{D(a_λ)；λ∈Λ} とする。
(a_λ)、λ ∈ Λ で生成される A のイデアルを I とする。
>>225より D(I) = ∪D(a_λ) である。
よって、D(a) ⊂ D(I)
よって、V(I) ⊂ V(a)
よって、IV(a) ⊂ IV(I) (>>230)
よって、rad(aA) ⊂ rad(I) (>>72)
よって、a^n ∈ I となる n がある。
よって、Λ の有限部分集合 Γ があり J を (a_λ)、λ ∈ Γ で生成されるイデアルとしたとき
a^n ∈ J となる。
V(J) ⊂ V(a^n) = V(a) であるから D(a) ⊂ D(J) = ∪{D(a_λ)；λ∈Γ}
よって、D(a) は準コンパクトである。
証明終