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代数的整数論 022

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0001１３２人目の素数さん

2011/02/06(日) 09:59:53

代数的整数論 022
Kummer ◆IxIr9aihfg（旧g2BU0D6YN2）が代数的整数論を語るスレです。
現在は代数的整数論の準備をしています。
代数的整数論のみに興味ある方はこのスレは必要になった段階で
参照することをお勧めします。
ただし、このスレが終了すると見れなくなる恐れがあるので、
適時チェックして内容をセーブしたほうが良いでしょう。

内容についてわからないことがあったら遠慮なく
質問してください。
その他、内容についてのご意見は歓迎します。
例えば、誤りの指摘、証明の改良など。
なお、このスレの主題に直接関係のないコメントについては
原則としてレスはしません（たとえそれが励ましの言葉であっても）。

0232Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/16(水) 11:58:29

命題
A を単位元を持つ可換環とする。
Y を Spec(A) (>>222) の任意の部分集合とする。
このとき、>>222と>>230の記法で V(I(Y)) は Y の閉包である。

証明
>>231より、(P(A), V, I, (P(Spec(A))^o) はGalois対応(過去スレ021の642)である。
過去スレ021の663より、VI：P(Spec(A)) → P(Spec(A)) は閉包作用子であり、
V(P(A)) は VI に関する閉元全体である。
Zariski位相の定義より V(P(A)) は Spec(A) の閉集合全体であるから
V(I(Y)) は Y の閉包である。
証明終

0233Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/16(水) 11:59:43

定義
A を単位元を持つ可換環とする。
I を A のイデアルとする。
I = rad(I) (>>229) となるとき I を根基イデアルと言う。

0234Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/16(水) 12:09:02

命題
A を単位元を持つ可換環とする。
写像 V：P(A) → P(Spec(A)) を S ∈ P(A) に V(S) (>>222) を対応させる写像とする。
写像 I：P(Spec(A)) → P(A) を Y ∈ P(Spec(A)) に I(Y) (>>230) を対応させる写像とする。
A の根基イデアル全体(>>233)を R(A) とする。
Spec(A) (>>222) の閉集合全体を C(A) とする。
写像 V の R(A) への制限を V^* とする。
写像 I の C(A) への制限を I^* とする。
このとき V^* は全単射であり I^* はその逆写像である。

証明
>>231より、(P(A), V, I, (P(Spec(A))^o) はGalois対応(過去スレ021の642)である。
よって、過去スレ021の696より本命題が得られる。
証明終

0235Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/16(水) 12:19:48

命題
A を単位元を持つ可換環とする。
A がNoether環であれば Spec(A) はNoether空間(過去スレ001の214)である。
即ち Spec(A) の閉集合全体は包含関係に関して極小条件(過去スレ021の397)を満たす。

証明
>>234の写像 V^* は単調減少であることから明らかである。

0236Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/16(水) 12:50:46

命題
A を単位元を持つ可換環とする。
P を A の素イデアルとする。
{P} の Spec(A) における閉包は V(P) (>>222) である。
よって、 P が極大イデアル ⇔ {P} が閉集合

証明
>>232より明らかである。

0237Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/16(水) 13:19:47

命題
A を単位元を持つ可換環とする。
Spec(A) は T_0 空間(過去スレ018の223)である。

証明
Spec(A) の部分集合 T の閉包を cl(T) と書く。
P、Q ∈ Spec(A)、cl({P}) = cl({Q}) とする。
>>236より V(P) = V(Q) である。
よって、P ⊂ Q かつ Q ⊂ P となり P = Q である。
よって、過去スレ021の738より Spec(A) は T_0 空間である。
証明終

0238Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/16(水) 13:59:01

命題
A を単位元を持つ可換環とする。
任意の a ∈ A に対して D(a) (>>223) は Spec(A) の部分空間として
準コンパクト(過去スレ006の104)である。

証明
>>225の(4)より、D(b)、b ∈ A の形の集合全体は Spec(A) のZariski位相(過去スレ001の160)の
開集合の基底である。

(a_λ)、λ ∈ Λ を A の元の族で D(a) ⊂ ∪{D(a_λ)；λ∈Λ} とする。
(a_λ)、λ ∈ Λ で生成される A のイデアルを I とする。
>>225より D(I) = ∪D(a_λ) である。
よって、D(a) ⊂ D(I)
よって、V(I) ⊂ V(a)
よって、IV(a) ⊂ IV(I) (>>230)
よって、rad(aA) ⊂ rad(I) (>>72)
よって、a^n ∈ I となる n がある。
よって、Λ の有限部分集合 Γ があり J を (a_λ)、λ ∈ Γ で生成されるイデアルとしたとき
a^n ∈ J となる。
V(J) ⊂ V(a^n) = V(a) であるから D(a) ⊂ D(J) = ∪{D(a_λ)；λ∈Γ}
よって、D(a) は準コンパクトである。
証明終

0239Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/16(水) 15:29:23

命題
A と B を単位元を持つ可換環とする。
f：A → B を準同型とする（f(1) = 1 とする）。
任意の P ∈ Spec(B) に対して f^(-1)(P) ∈ Spec(A) である。
写像 ψ：Spec(B) → Spec(A) を ψ(P) = f^(-1)(P) により定義する。
このとき、任意の E ⊂ A に対して ψ^(-1)(D(E)) = D(f(E)) である。
特に任意の a ∈ A に対して ψ^(-1)(D(a)) = D(f(a)) である。

証明
任意の P ∈ Spec(B) に対して A/f^(-1)(P) は B/P に同型である。
よって、f^(-1)(P) ∈ Spec(A) である。

次に任意の E ⊂ A に対して ψ^(-1)(V(E)) = V(f(E)) を証明すればよい。
P ∈ ψ^(-1)(V(E)) ⇔ f^(-1)(P) ∈ V(E) ⇔ E ⊂ f^(-1)(P) ⇔ f(E) ⊂ P ⇔ P ∈ V(f(E))
よって、ψ^(-1)(V(E)) = V(f(E)) である。
証明終

0240Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/16(水) 15:40:14

>>239の修正

命題
A と B を単位元を持つ可換環とする。
f：A → B を準同型とする（f(1) = 1 とする）。
任意の P ∈ Spec(B) に対して f^(-1)(P) ∈ Spec(A) である。
写像 ψ：Spec(B) → Spec(A) を ψ(P) = f^(-1)(P) により定義する。
このとき、任意の E ⊂ A に対して ψ^(-1)(D(E)) = D(f(E)) である。
特に任意の a ∈ A に対して ψ^(-1)(D(a)) = D(f(a)) である。
よって、ψ は連続である。

証明
任意の P ∈ Spec(B) に対して π：B → B/P を標準射とする。
g = πf：A → B/P とおく。
Ker(g) = f^(-1)(P) である。
よって、A/f^(-1)(P) は g(A) に同型である。
一方、g(1) = 1 で B/P ≠ 0 であるから g(A) ≠ 0 である。
よって、f^(-1)(P) ≠ A である。
よって、f^(-1)(P) ∈ Spec(A) である。

次に任意の E ⊂ A に対して ψ^(-1)(V(E)) = V(f(E)) を証明すればよい。
P ∈ ψ^(-1)(V(E)) ⇔ f^(-1)(P) ∈ V(E) ⇔ E ⊂ f^(-1)(P) ⇔ f(E) ⊂ P ⇔ P ∈ V(f(E))
よって、ψ^(-1)(V(E)) = V(f(E)) である。
証明終

0241Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/16(水) 15:43:09

>>240の証明からわかるように ψ：Spec(B) → Spec(A) が定義されるためには
f(1) = 1 となることが必要である。

0242Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/16(水) 15:54:42

単位元を持つ可換環と単位元を単位元に写す準同型からなる圏を CommRng とする。
(CommRng)^o をCommRngの双対圏(過去スレ017の352)とする。
Top_0 を T_0 位相空間(過去スレ018の223)と連続写像の圏とする。
f：A → B をCommRngにおける射とする。
>>237より、A ∈ CommRng に対して Spec(A) ∈ Top_0 である。
A ∈ CommRng に Spec(A) ∈ Top_0 を対応させ、
f：A → B に>>240の射 ψ：Spec(B) → Spec(A) を対応させることにより
関手 Spec：(CommRng)^o → Top_0 が得られる。

0243１３２人目の素数さん

2011/02/16(水) 17:29:19

今後、創造力やリーダーシップを持った日本人を輩出するために何をすべきなのか？　
また、そのための問題点はどこにあるのか？　大前研一氏が解説する。

「英語力」における中国人の向上ぶりは顕著だ。最近、中国を訪れた外国人が驚くのが、
英語に堪能な中国人が急増していることだ。私自身も、中国を訪れる度にそれを実感している。

以前、CCTV（中国中央電視台）に出演した時、流暢な英語を話すスタッフに
「何年留学したの？」と訊いたら、「一度も国外に出たことはありません」という答えが返ってきた。

彼らの多くはアメリカのテレビ番組を見たり、無料インターネット通話のスカイプ（Skype）による
1か月100ドルで英語が喋り放題のフィリピンの英会話トレーニングサービスを利用したりして、
ひたすら国内で英語力を磨いているのだ。

5年以内に中国で英語を喋る人の数がアメリカを抜く、というジョークのような話も耳にするが、
あながち的外れではないかもしれない。

かたや日本では、英語教員のTOEICの平均スコアが中学560 点、高校620点という統計がある。
文部科学省はすべての英語教員に730点以上を求めているが、たとえば韓国でトップ5の大学に
合格するには800点以上が必要だ。

つまり、日本の中学・高校の英語教員は、海外では“教わるレベル”であり、
そういう人が教えているのだから、日本人の英語力が上がらないのもむべなるかな、である。
http://www.news-postseven.com/archives/20110216_12823.html

0244Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/16(水) 19:58:26

命題
A を単位元を持つ可換環とする。
I を A のイデアルとする。
f：A → A/I を標準写像とする。
写像 ψ：Spec(A/I) → Spec(A) を ψ(P) = f^(-1)(P) により定義する(>>240参照)。
このとき ψ は Spec(A/I) と V(I) (>>222) の位相同型を引き起こす。

証明
ψ が Spec(A/I) から V(I) への全単射 φ を引き起こすことは明らかである。
>>240より φ は連続である。
Spec(A/I) の任意の閉集合は V(J/I) の形である。
ここで J は A のイデアルで I ⊂ J である。
このとき φ(V(J/I)) = V(J) ⊂ V(I) である。
よって、φ は閉写像である。
よって、φ は位相同型である。
証明終

0245Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/16(水) 20:29:53

定義
X を位相空間とする。
X の各連結成分が１点のみからなるとき X を完全不連結(totally disconnected)と言う。

0246Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/16(水) 20:30:57

命題
A をBoole環(>>6)とする。
任意の a ∈ A に対して b = 1 + a とおく。
このとき、D(a) ∩ D(b) = φ かつ Spec(A) = D(a) ∪ D(b) である。

証明
ab = 0 である。
よって、>>227より、D(a) ∩ D(b) = D(ab) = D(0) = φ

他方、a + b = 1 と>>225より、D(a) ∪ D(b) = D(a, b) = D(1) = Spec(A)
証明終

0247Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/16(水) 20:55:11

命題
A をBoole環(>>6)とする。
Spec(A) (>>222) は完全不連結(>>245)なコンパクト空間である。

証明
>>238より Spec(A) は準コンパクトである。

P, Q ∈ Spec(A)、P ≠ Q とする。
>>75より P と Q は極大イデアルである
よって、Q ⊂ P では有り得ない。
よって、a ∈ Q、a ∈ Spec(A) - P となる a ∈ A がある。
即ち P ∈ D(a)、Q ∈ Spec(A) - D(a)
一方、>>246より Spec(A) - D(a) は開集合である。
よって、Spec(A) はHausdorff空間である。

任意の P ∈ Spec(A) に対して P を含む Spec(A) の連結成分を S とする。
S が P 以外の点 Q を含むとする。
上記より P ∈ D(a)、Q ∈ Spec(A) - D(a) となる a ∈ A がある。
V = Spec(A) - D(a) とおく。
V は開集合である。
S = (S ∩ D(a))∪(S ∩ V) であるが、D(a) と V は交わらないから S が連結であることに矛盾する。
よって、Spec(A) は完全不連結である。
証明終

0248Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/16(水) 20:58:50

定義
完全不連結(>>245)なコンパクト空間をStone空間と言う。

0249Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/17(木) 05:59:34

命題
X を位相空間とする。
X の開かつ閉な部分集合全体は X 上の集合代数(過去スレ007の196)である。

証明
自明である。

0250Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/17(木) 06:44:15

定義
X を位相空間とする。
任意の x、y ∈ X、x ≠ y に対して x ∈ U、y ∈ X - U となる開かつ閉な U があるとき
X を完全分離(totally separated)と言う。

0251Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/17(木) 06:56:40

定義
X を位相空間とする。
X の開かつ閉な部分集合全体が X の開集合の基底となるとき０次元(zero-dimensional)と言う。
即ち X の任意の点 x と x ∈ U となる開集合 U に対して x ∈ V ⊂ U となる開かつ閉な V が
存在するとき X を０次元と言う。

0252Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/17(木) 07:07:27

>>251の修正

定義
X を位相空間とする。
X の開かつ閉な部分集合全体が X の開集合の基底となるとき X を０次元(zero-dimensional)と言う。
即ち X の任意の点 x と x ∈ U となる任意の開集合 U に対して
x ∈ V ⊂ U となる開かつ閉な V が存在するとき X を０次元と言う。

0253１３２人目の素数さん

2011/02/17(木) 09:30:07

うるさい

0254１３２人目の素数さん

2011/02/17(木) 10:20:03

米ＴＶ女性記者への集団性的暴行に国際団体が「殺人に等しい」と非難声明

・報道権利擁護を訴える国際団体「プレス・エンブレム・キャンペーン」（ＰＥＣ、
　本部ジュネーブ）は１６日、エジプトで反政府デモを取材していた米ＣＢＳニュースの
　女性記者が、カイロ市内で集団性的暴行を受けた暴行事件に関して「殺人に等しい」と
　厳しく非難する声明を発表した。

　英字紙などによると、ＰＥＣは、エジプトでの混乱をめぐり、外国人報道関係者の
　人権が完全に侵害されたのは今回が初めてとして非難。報道関係者を狙ったすべての
　暴行事件の調査を即座に始めるよう訴えている。

　暴行されたのは、ＣＢＳ番組「６０ミニッツ」を担当していたララ・ローガン記者（３９）。
　ＣＢＳによると、同記者ら取材班がムバラク前大統領の辞任直後の１１日、タハリール広場で
　デモを取材中、２００人以上の群衆に包囲され、同記者は取材班らと引き離された上で
　殴られたり性的暴行を受けた後、現場にいた女性たちやエジプト軍兵士に救助された。
　http://sankei.jp.msn.com/world/news/110217/mds11021708080000-n1.htm

※画像：CBSのララ・ローガン記者（ロイター）
　http://sankei.jp.msn.com/images/news/110217/mds11021708080000-p1.jpg

0255１３２人目の素数さん

2011/02/17(木) 10:21:13

0256Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/17(木) 11:12:18

定義
X を位相空間とする。
x、y ∈ X、y ∈ cl({x}) とする。
ここで、cl({x}) は {x} の閉包である。
このとき y は x の特殊化(specialization)と言い、
x は y の一般化(generalization)と言う。
y が x の特殊化であることを x → y と書く場合がある。

0257Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/17(木) 11:21:05

定義
X を位相空間とする。
E を X の閉集合とする。
x を E の点とし、cl({x}) を {x} の X における閉包とする。
E = cl({x}) となるとき x を E の生成点(generic point)と言う。

0258Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/17(木) 11:26:32

定義(過去スレ001の205の再記)
位相空間 X が可約とは、 X = F_1 ∪ F_2 となる、X の閉部分集合
F_1, F_2 で X ≠ F_1, X ≠ F_2 となるものが存在することをいう。
空集合でない位相空間は可約でないとき既約という。

位相空間 X の部分集合 A が既約とは、A に部分空間としての位相を
いれたときに、既約なことをいう。

0259Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/17(木) 11:30:06

定義
X を位相空間とする。
X の任意の既約閉集合(>>258)が生成点(>>257)を一意に持つとき X は穏和(sober)であると言う。

0260Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/17(木) 12:02:00

記法
A を単位元を持つ可換環とする。
A の冪零元の全体を冪零元根基(nilradical)と言い nil(A) と書く。

0261Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/17(木) 12:05:21

定義(過去スレ001の206の再記)
A を単位元を持つ可換環とする。
nil(A) (>>260) が 0 のとき A を被約(reduced)と言う。

0262Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/17(木) 12:41:21

命題
A を単位元を持つ可換環とする。
nil(A) (>>260) は A のイデアルである。

証明
a, b ∈ nil(A)、a^n = 0、a^m = 0 とする。
２項定理より、(a + b)^(n + m - 1) は (a^i)(b^j)、i + j = n + m - 1 の形の項の
整数係数の和である。
i ＜ n、j ＜ m なら i + j ＜ n + m - 1
よって、i + j = n + m - 1 なら i ≧ n または j ≧ m
よって、(a + b)^(n + m - 1) = 0
よって、a + b ∈ nil(A)

a ∈ nil(A)、a^n = 0 のとき任意の c ∈ A に対して (ca)^n = (c^n)(a^n) = 0
よって、ca ∈ nil(A)

以上から nil(A) は A のイデアルである。
証明終

0263Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/17(木) 12:59:03

注意
A を単位元を持つ可換環とする。
過去スレ001の163より nil(A) (>>260) は A のすべての素イデアルの共通集合と一致する。
これからも>>262は得られる。
しかし、過去スレ001の163はZornの補題を本質的に使っている。

I を A のイデアルとする。
上記から rad(I) (>>229) は I を含むすべての素イデアルの共通集合である。
>>234はこの事実を暗黙に使っている。

0264Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/17(木) 13:15:43

命題
A を単位元を持つ可換環とする。
このとき、Spec(A) が既約(>>258) ⇔ nil(A) (>>260)が素イデアル

証明
過去スレ001の208で証明済みである。

0265Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/17(木) 14:07:20

命題
A を単位元を持つ可換環とする。
Spec(A) は穏和空間(>>259)である。

証明
I を A のイデアルとし E = V(I) が既約(>>258)であるとする。
>>244より Spec(A/I) は既約である。
>>264より P = rad(I) (>>229)は素イデアルである。
>>229より、E = V(P) である。
>>232より、V(P) は {P} の閉包である。
よって、P は E の生成点(>>257)である。
>>237より E の生成点は E により一意に決まる。
証明終

0266１３２人目の素数さん

2011/02/17(木) 16:20:25

うるさい

じゃかあしいんじゃ

0267Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/17(木) 16:38:30

定義
X を位相空間とする。
KΩ を X の準コンパクト(過去スレ006の104)な開集合全体とする。
KΩ が以下の性質を満たすとき X を連接空間(coherent space)と呼ぶ。

(1) KΩ は X の位相の基底である。

(2) X ∈ KΩ

(3) U、V ∈ KΩ のとき U ∩ V ∈ KΩ

0268Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/17(木) 16:48:55

命題
完全不連結(>>245)な位相空間は T_1 空間(過去スレ018の233)である。

証明
任意の位相空間の連結成分は閉集合であることから明らかである。

0269Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/17(木) 16:56:06

命題
完全分離(>>250)な位相空間はHausdorffかつ完全不連結(>>245)である。

証明
X を完全分離な位相空間とする。
X がHausdorffであることは明らかである。
x、y ∈ X、x ≠ y とする。
x ∈ U、y ∈ X - U となる開かつ閉な U がある。
X の部分空間 {x, y} は連結でない。
よって、X は完全不連結である。
証明終

0270Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/17(木) 17:11:39

命題
０次元(>>252)の T_0 空間は正則(過去スレ006の210)（従ってHausdorff）である。

証明
X を０次元の T_0 空間とする。
x、y ∈ X、x ≠ y とする。
X は T_0 空間だから、
x ∈ U、y ∈ X - U または y ∈ U、x ∈ X - U となる開集合 U がある。
x ∈ U、y ∈ X - U と仮定してよい。
X は０次元だから x ∈ V ⊂ U となる開かつ閉な V がある。
y ∈ X - V であり、X - V は開集合だから X はHausdorffである。

E を X の閉集合で x ∈ X - E とする。
X - E は開集合だから x ∈ W ⊂ X - E となる開かつ閉な W がある。
E ⊂ X - W で X - W は開集合であるから X は正則である。
証明終

0271Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/18(金) 07:23:13

補題
X を位相空間とする。
x、y ∈ X とする。
x ∈ U、y ∈ V、X = U ∪ V、U ∩ V = φ となる開集合 U、V が存在しないとき
x ≡ y と書く。
このとき、≡ は X における同値関係である。

証明
推移律のみ証明すればよい。
x ≡ y かつ y ≡ z とする。
x ∈ U、z ∈ V、X = U ∪ V、U ∩ V = φ となる開集合 U、V が存在するとする。
y が U に含まれないなら y ∈ V となって x ≡ y に反する。
よって、y ∈ U である。
同様に y ∈ V である。
これは U ∩ V = φ に反する。
よって、x ≡ z である。
証明終

0272Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/18(金) 07:49:40

定義
X を位相空間とする。
X における>>271の同値関係 ≡ による同値類を X の準連結成分(quasi-component)と呼ぶ。

0273Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/18(金) 08:06:20

命題
X を位相空間とする。
X の点 x を含む X の準連結成分(>>272)は x を含む X の開かつ閉な部分集合全体の共通集合である。

証明
x を含む X の準連結成分を Q とする。
S を x を含む X の開かつ閉な部分集合全体の共通集合とする。
U を x を含む開かつ閉な部分集合とする。
Q ⊂ U でないとすると y ∈ Q - U となる y がある。
V = X - U とおけば V は開集合であり、
x ∈ U、y ∈ V、X = U ∪ V、U ∩ V = φ となり x ≡ y に矛盾である。
よって、Q ⊂ U である。
よって、Q ⊂ S である。

逆に、y ∈ S のとき x を含む任意の開かつ閉な部分集合 U に対して y ∈ U であるから
x ≡ y である。
よって、S ⊂ Q である。
証明終

0274Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/18(金) 08:17:02

命題
X を位相空間とする。
X の点 x を含む X の連結成分 S は x を含む X の準連結成分(>>272) Q に含まれる。

証明
y ∈ S とする。
x ∈ U、y ∈ V、X = U ∪ V、U ∩ V = φ となる X の開集合 U、V が存在するとする。
x ∈ S∩U、y ∈ S∩V、S = (S∩U)∪(S∩V)、(S∩U)∩(S∩V) = φ となる。
これは S が連結であることに反する。
よって、y ∈ Q である。
よって、S ⊂ Q である。
証明終

0275１３２人目の素数さん

2011/02/18(金) 09:21:00

うるさい

0276Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/18(金) 09:51:33

補題
X を準コンパクト(過去スレ006の104)な位相空間とする。
U を X の開集合とする。
(F_i)、i ∈ I を X の閉集合の族で ∩F_i ⊂ U とする。
このとき I の有限部分集合 J があり ∩{F_i； i ∈ J} ⊂ U となる。

証明
X の部分集合 E に対して E^c = X - E と書く。
U^c ⊂ ∪(F_i)^c である。
U^c は閉集合であるから準コンパクトである。
よって、I の有限部分集合 J があり U^c ⊂ ∪{(F_i)^c ； i ∈ J} ⊂ U となる。
よって、∩{F_i； i ∈ J} ⊂ U となる。
証明終

0277Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/18(金) 10:21:52

命題(Sura-Bura 1941)
X をコンパクト空間(過去スレ006の104)とする。
X の任意の連結成分は X の準連結成分(>>272)である。

証明
x を X の任意の点とし、S を x を含む X の連結成分とする。
>>274より S は X の準連結成分 Q に含まれる。
Q が連結であることを証明すればよい。
>>273より、Q は閉集合である。
Q = A ∪ B、A ∩ B = φ となる閉集合 A、B があるとする。
x ∈ A とする。
X はコンパクトだから過去スレ007の664より X は正規空間(過去スレ007の663)である。
よって、A ⊂ U, B ⊂ V となる開集合 U, V で U ∩ V = φ となるものがある。
>>273より Q は x を含む X の開かつ閉な部分集合全体の共通集合である。
Q ⊂ U ∪ V であるから、>>276より x を含む有限個の開かつ閉な部分集合 F_1、．．．、F_n があり、
F = F_1 ∩．．．∩ F_n は U ∪ V に含まれる。
よって、F = (F ∩ U)∪(F ∩ V)、(F ∩ U)∩(F ∩ V) = φ
F は開かつ閉だから F ∩ V は開集合である。
よって、F ∩ U = F - (F ∩ V) は開かつ閉である。
x ∈ F ∩ U だから Q ⊂ F ∩ U ⊂ U である。
よって、B ⊂ U ∩ V = φ
よって、B = φ
よって、Q は連結である。
証明終

0278１３２人目の素数さん

2011/02/18(金) 11:34:12

うるさい
潰すよ？

0279Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/18(金) 11:51:16

補題
既約(>>258)なHausdorff空間は一点のみからなる。

証明
X を既約なHausdorff空間とする。
X は空でないから少なくとも一点 x を含む。
X が x と異なる点 y を含むとする。
X はHausdorffだから x ∈ U、y ∈ V、X = U ∪ V、U ∩ V = φ となる開集合 U、V が存在する。
しかし、X は既約だから U ∩ V ≠ φ である。
よって、X = {x} である。
証明終

0280１３２人目の素数さん

2011/02/18(金) 11:53:24

うるさい

0281Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/18(金) 11:59:51

命題
X を位相空間とする。
以下の条件は同値である。

(1) X はStone空間(>>248)である。

(2) X は準コンパクト(過去スレ006の104)で完全分離(>>250)である。

(3) X は準コンパクト(過去スレ006の104)で０次元(>>252)の T_0 空間(過去スレ018の223)である。

(4) X はHausdorffで穏和(>>259)な連接空間(>>267)である。

証明
(1) ⇒ (2)
>>277より明らかである。

(2) ⇒ (1)
>>269より明らかである。

(1) ⇒ (3)
X が準コンパクトでT_0 空間であることは自明である。
>>277より X の任意の点 x に対して {x} は x を含む X の開かつ閉な部分集合全体の共通集合である。
よって、>>276より x ∈ U となる任意の開集合 U に対して
x を含む有限個の開かつ閉な部分集合 F_1、．．．、F_n があり ∩F_i ⊂ U となる。
∩F_i は開かつ閉であるから X は０次元である。

(続く)

0282Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/18(金) 12:00:45

>>281の続き

(3) ⇒ (2)
X は T_0 だから任意の x、y ∈ X、x ≠ y に対して x ∈ U、y ∈ X - U または y ∈ U、x ∈ X - U
となる開集合がある。
x ∈ U、y ∈ X - U と仮定してよい。
X は０次元だから x ∈ V ⊂ U となる開かつ閉な V がある。
このとき y ∈ X - V だから X は完全分離である。

(3) ⇒ (4)
上記から X はコンパクトであるから X の準コンパクト集合全体と X の閉集合全体は一致する。
よって、X の準コンパクトな開集合全体は開かつ閉な部分集合全体と一致する。
よって、X は連接空間である。
X はHausdorff空間だから>>279より X の既約部分集合は一点からなる。
よって、X は穏和である。

(4) ⇒ (3)
X はHausdorff連接空間だからコンパクトである。
よって、X の準コンパクトな開集合全体は開かつ閉な部分集合全体と一致する。
よって、０次元である。
証明終

0283１３２人目の素数さん

2011/02/18(金) 12:12:25

うっさいねん
いい加減にせえや

0284１３２人目の素数さん

2011/02/18(金) 12:26:27

くんまーさん、今日も精が出ますね。
ﾏﾀｰﾘ読ませてもらっとります。

0285Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/18(金) 12:32:15

補題
A を単位元を持つ可換環とする。
Spec(A) の開集合 U が準コンパクトであるためには A の有限生成イデアル I により
U = D(I) となることが必要十分である。

証明
必要性：
A の部分集合 S があり U = D(S) (>>222)となる。
>>225の(4)より、U = ∪{D(a)； a ∈ S} となる。
U は準コンパクトであるから S の有限部分集合 T があり U = ∪{D(a)； a ∈ T} となる。
>>225の(4)より、U = D(T) となる。
T で生成されるイデアルを I とすれば >>225の(3)より、U = D(I) となる。

十分性：
I = (a_1、．．．、a_n) を A の有限生成イデアルとする。
>>225の(4)より、D(I) = D(a_1)∪．．．D(a_n) である。
>>238より各 D(a_i) は準コンパクトである。
よって、D(I) は準コンパクトである。
証明終

0286Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/18(金) 12:47:01

補題
A を単位元を持つ可換環とする。
U と V を Spec(A) の準コンパクトな開集合とする。
このとき U∩V は準コンパクトである。

証明
>>285より A の有限生成イデアル I、J により U = D(I)、V = D(J) と書ける。
>>227より、D(IJ) = D(I)∩D(J) である。
I = (a_1、．．．、a_n)、J = (b_1、．．．、b_m) とすると、
IJ = ({a_ib_j； i = 1、．．．、n、j = 1、．．．、m}) である。
よって、IJ は有限生成である。
よって、>>285より U∩V = D(I)∩D(J) は準コンパクトである。
証明終

0287Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/18(金) 13:04:29

命題
A を単位元を持つ可換環とする。
Spec(A) は穏和(>>259)な連接空間(>>267)である。

証明
X = Spec(A) とおく。
>>265より X は穏和(>>259)である。
KΩ を X の準コンパクト(過去スレ006の104)な開集合全体とする。
KΩ が>>267の条件を満たすことを証明すればよい。

(1) a ∈ A、D(a) (>>223) の形の集合全体は X の位相の基底である。
>>238より各 D(a) は準コンパクトであるから D(a) ∈ KΩ である。
よって、KΩ は X の位相の基底である。

(2) D(1) = X は準コンパクトであるから X ∈ KΩ である。

(3) U、V ∈ KΩ のとき>>286より U ∩ V ∈ KΩ である。
証明終

0288Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/18(金) 14:34:06

命題
A を一般Boole環(>>5)とする。
A の有限生成イデアルは単項イデアルである。

証明
I を A の有限生成イデアルとする。
>>44より A は一般Boole代数(過去スレ021の373)と見なせる。
>>107より I は順序集合としての A のイデアル(過去スレ021の527)である。
よって、>>137より I は単項イデアルである。
証明終

0289Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/18(金) 15:11:57

命題(Stoneの表現定理)
A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
>>44より A はBoole環(>>6)と見なせる。
X = Spec(A) とおく。
X の開かつ閉な部分集合全体を S(X) とおく。
>>249より S(X) は包含関係に関してBoole代数である。
>>247より、X はStone空間(>>248)、特にHausdorff空間である。
>>238より任意の a ∈ A に対して D(a) は準コンパクトであるから D(a) ∈ S(X) である。
写像 ρ：A → S(X) を ρ(a) = D(a) で定義する。
このとき ρ はBoole代数の同型である。

証明
>>204よりρ：A → S(X) はBoole代数の単射準同型である。
他方、任意の U ∈ S(X) は準コンパクトであるから
>>285より、A の有限生成イデアル I により U = D(I) となる。
>>288より I は単項イデアルであるから ρ：A → S(X) は全射である。
証明終

0290１３２人目の素数さん

2011/02/18(金) 16:13:42

ほもっぽいな

0291Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/18(金) 16:30:35

命題
A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
Z_2 を２元体 {0, 1} とする。
f：A → Z_2 を任意の指標(>>90)とする。
このとき f はBoole代数としての準同型(>>30)である。

証明
f(1) = 1 を証明すればよい。
f(1) = 0 と仮定する。
任意の a ∈ A に対して f(a) = f(a∧1) = f(a)∧f(1) = f(a)∧0 = 0
これは f ≠ 0 に反する。
証明終

0292Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/18(金) 17:18:29

補題
X を任意の空でない集合とする。
Φ を X 上の集合環(過去スレ007の189)とする。
Φ は包含関係により一般Boole代数(過去スレ021の373)と見なせる。
Z_2 を２元体 {0, 1} とする。
任意の x ∈ ∪Φ に対して写像 x＾：Φ → Z_2 を x＾(E) = χ_E(x) により定義する。
ここで、χ_E は E の特性関数である。
このとき、x＾は Φ の指標(>>90)である。

証明
>>44より Φ は一般Boole環(過去スレ021の336)と見なせる。

E、F ∈ Φ のとき
χ_(E∩F)(x) = (χ_E)(x)(χ_F)(x)
χ_(EΔF)(x) = (χ_E)(x) + (χ_F)(x)
である。
よって、
x＾(E∩F) = x＾(E)x＾(F)
x＾(EΔF) = x＾(E) + x＾(F)
よって、x＾：Φ → Z_2 は一般Boole環としての準同型である。

x ∈ ∪Φ であるから x ∈ E となる E ∈ Φ がある。
x＾(E) = χ_E(x) = 1 であるから x＾ ≠ 0 である。
よって、x＾は一般Boole環としての Φ の指標(>>76)である。
よって、>>44より x＾は一般Boole代数としての Φ の指標である。
証明終

0293１３２人目の素数さん

2011/02/18(金) 18:49:10

猫来るな！

0294１３２人目の素数さん

2011/02/18(金) 18:59:26

猫うるさいぞ！

0295Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/19(土) 07:21:21

補題
A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
F を A の部分集合とする。
F’= {a’；a ∈ F} とおく。
このとき、以下が成り立つ。

(1) F はフィルター(過去スレ021の527) ⇔ F’はイデアル(過去スレ021の527)

(2) F は素フィルター(>>97) ⇔ F’は素イデアル(>>100)

(3) F は極大フィルター(>>96) ⇔ F’は極大イデアル(>>99)

証明
a ∈ A に a の補元 a’を対応させる写像は A の対合(過去スレ021の424)であることから明らか。

0296Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/19(土) 07:30:00

命題
A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
F ≠ A を A のフィルター(過去スレ021の527)とする。
以下の条件は同値である。

(1) 任意の a ∈ A に対して a ∈ F または a’∈ F

(2) F は素フィルターである。

(3) F は極大フィルターである。

証明
(1) ⇒ (2)
a ∈ A - F、b ∈ A、a∨b ∈ F とする。
a’∈ F だから a’∧(a∨b) ∈ F
a’∧(a∨b) = (a’∧a)∨(a’∧b) = 0∨(a’∧b) = a’∧b
よって、a’∧b ∈ F
a’∧b ≦ b だから b ∈ F
よって、F は素フィルターである。

(2) ⇒ (1)
任意の a ∈ A に対して a∨a’= 1 ∈ F
よって、a ∈ F または a’∈ F

(2) ⇔ (3)
>>75と>>203と>>295による。
証明終

0297Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/19(土) 08:11:05

命題
A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
f を A の任意の指標(>>90)とする。
このとき F = {x ∈ A；f(x) = 1} は A の極大フィルター(>>96)である。

証明
F’= {x’；x ∈ F} とおく。
任意の a ∈ A に対して f(a) = 1 ⇔ (f(a))’ = 0 ⇔ f(a’) = 0
よって、F’= {a ∈ A；f(a) = 0} である。
よって、F’は A の極大イデアルである(>>79)。
よって、>>296より F は A の極大フィルターである。
証明終

0298Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/19(土) 08:20:23

補題
X をStone空間(>>248)とする。
X の開かつ閉な部分集合全体を S(X) とおく。
>>249より S(X) は包含関係に関してBoole代数である。
Z_2 を２元体 {0, 1} とする。
S(X) の指標(>>90)の全体を S(X)＾と書く。
任意の x ∈ X に対して写像 x＾：S(X) → Z_2 を x＾(E) = χ_E(x) により定義する。
ここで、χ_E は E の特性関数である。
X ∈ S(X) であるから、>>292より x＾∈ S(X)＾である。
このとき、写像 x → x＾は X から S(X)＾への全単射である。

証明
x、y ∈ X、x ≠ y とする。
>>281より、X は完全分離(>>250)であるから、
x ∈ U、y ∈ X - U となる U ∈ S(X) がある。
x＾(U) = 1、y＾(U) = 0 だから x＾≠ y＾である。
よって、写像 x → x＾は単射である。

f ∈ S(X)＾を任意の指標とする。
Ψ = {E ∈ S(X)；f(E) = 1} とおく。
>>297より、Ψ は S(X) の極大フィルター(>>96)である。
Ψ は空集合を含まないから Ψ に属す有限個の集合は必ず交わる。
Ψ の各元は閉集合であり X はコンパクトだから ∩Ψ ≠ 0 である。
x ∈ ∩Ψ とする。
Ψ ⊂ {E ∈ S(X)；x＾(E) = 1} である。
Ψ は極大フィルターだから Ψ = {E ∈ S(X)；x＾(E) = 1} である。
よって、f = x＾である。
よって、写像 x → x＾は全射である。
証明終

0299Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/19(土) 10:16:02

命題
I を集合とする。
ε = {0, 1} を２元体とする。
I から ε への写像の全体を ε^I とする。
F に離散位相を入れ、ε^I にその直積位相を入れる。
このとき ε^I はStone空間(>>248)である。

証明
X = ε^I とおく。
X はTychonoffの定理(過去スレ009の432)より準コンパクトである。
X はHausdorff空間 ε の直積であるからHausdorff空間である。

S を I の任意の有限部分集合とし α：S → ε を任意の写像とする。
U(α, S) = {f ∈ X；各 i ∈ S に対して f(i) = α(i)} とおく。
U(α, S) の形の集合全体は X の位相の基底である。
各 i ∈ I に対して
D(i) = {f ∈ X； f(i) = 1}
V(i) = {f ∈ X； f(i) = 0}
とおく。
D(i) および V(i) は X の開集合であり V(i) = X - D(i) である。
よって D(i) および V(i) は X の開かつ閉な部分集合である。
上記の U(α, S) は D(i) または V(i) の有限個の共通集合であるから
X の開かつ閉な部分集合である。
よって、X は０次元(>>252)である。

以上から X は>>281の条件(3)を満たす。
よって、X はStone空間(>>248)である。
証明終

0300Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/19(土) 11:24:07

>>299
>F に離散位相を入れ、ε^I にその直積位相を入れる。

ε に離散位相を入れ、ε^I にその直積位相を入れる。

0301Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/19(土) 11:44:11

命題
A をBoole環(>>6)とする。
ε = {0, 1} を２元体とする。
A から ε への写像の全体を ε^A とする。
ε に離散位相を入れ、ε^A にその直積位相を入れる。
A の指標(>>90)の全体 X(A) は ε^A の部分集合であるから ε^A の部分空間としての位相が入る。
一方、>>79より f ∈ X(A) に Ker(f) を対応させることにより
X(A) から Spec(A)（>>78）への全単射 ψ が得られる。
このとき ψ は位相同型である。

証明
任意の a ∈ A に対して a＾= {f ∈ X(A)； f(a) = 1} とおく。
>>88より、a、b ∈ A のとき (ab)＾= (a＾)∩(b＾)
一方、(a’)＾ = {f ∈ X(A)； f(a’) = 1} = {f ∈ X(A)； f(a) = 0} である。
よって、>>299の証明より {a＾； a ∈ A} は X(A) の位相の基底である。

他方、>>225の(4)より、{D(a)； a ∈ A} は Spec(A) の位相の基底である。
任意の a ∈ A に対して
ψ^(-1)(D(a)) = {f ∈ X(A)； f(a) = 1} = a＾
よって、ψ は位相同型である。
証明終

0302Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/19(土) 11:52:10

命題
A をBoole環(>>6)とする。
ε = {0, 1} を２元体とする。
A から ε への写像の全体を ε^A とする。
ε に離散位相を入れ、ε^A にその直積位相を入れる。
A の指標(>>90)の全体 X(A) は ε^A の閉集合である。

証明
>>301よりε^A の部分空間としての X(A) の位相は Spec(A) と位相同型である。
他方、>>247より Spec(A) はコンパクトである。
ε^A はHausdorff空間であるから Spec(A) は閉集合である。
証明終

0303Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/19(土) 12:17:18

命題
X をStone空間(>>248)とする。
X の開かつ閉な部分集合全体を S(X) とおく。
>>249より S(X) は包含関係に関してBoole代数である。
S(X) の指標(>>90)の全体を S(X)＾と書く。
>>298より x ∈ X に x＾∈ S(X)＾を対応させる写像 γ：X → S(X)＾は全単射である。
一方、ε = {0, 1} を２元体としたとき S(X)＾は ε^S(X) (>>299)の部分空間としての位相が入る。
このとき、γ：X → S(X)＾は位相同型である。

証明
任意の E ∈ S(X) に対して E＾= {f ∈ S(X)＾； f(E) = 1} とおく。
x ∈ X のとき γ(x) ∈ E＾ ⇔ x＾(E) = 1 ⇔ x ∈ E
よって、γ^(-1)(E＾) = E
>>299の証明より {E＾； E ∈ S(X)} は S(X)＾の位相の基底である。
他方、X はStone空間であるから>>281の条件(3)より S(X) は X の位相の基底である。
よって、γ：X → S(X)＾は位相同型である。
証明終

0304Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/19(土) 13:09:32

定義
A をBoole代数とする。
ε = {0, 1} を２元体とする。
A から ε への写像の全体を ε^A とする。
ε に離散位相を入れ、ε^A にその直積位相を入れる。
A＾を A の指標(>>90)の全体とする。
A＾は ε^A の部分空間としての位相を入れることにより位相空間となる。
このとき、位相空間 A＾を A の指標空間と言う。

0305Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/19(土) 13:58:41

命題
BoolをBoole代数(過去スレ021の336)の圏とする。
Setを小さい集合(過去スレ017の321)全体の圏とする。
f：A → B をBoolにおける射(>>30)とする。
>>46より、Bool はCommRng(>>242)の充満(過去スレ017の362)な部分圏と見なせる。
よって、>>240より P ∈ Spec(B) に f^(-1)(P) ∈ Spec(A) を対応させることにより
写像 Spec(f)：Spec(B) → Spec(A) が得られる。
よって、A ∈ Bool に Spec(A) ∈ Set を対応させることにより
関手 Spec：(Bool)^o → Set が得られる。
ε = {0, 1} を２元体とする。
このとき、関手 Spec は (ε, 0) により表現可能(過去スレ017の653)である。

証明
A ∈ Bool のとき Hom(A, ε) は A の指標全体 X(A) である。
>>79より χ ∈ X(A) に Ker(χ) を対応させることにより
X(A) から Spec(A) への全単射が得られる。
f：A → B をBoolにおける射(>>30)とする。
χ ∈ X(B) のとき x ∈ Ker(χf) ⇔ χf(x) = 0 ⇔ f(x) ∈ Ker(χ) ⇔ x ∈ f^(-1)( Ker(χ))
よって、Ker(χf) = f^(-1)( Ker(χ))
よって、次の図式が可換である。

　X(B)　→　X(A)
　↓　　　　　↓
Spec(B)　→　Spec(A)

よって、関手 A → Hom(A, ε) と関手 A → Spec(A) は自然同型(過去スレ018の144)である。
このとき、1_ε ∈ Hom(ε, ε) には 0 イデアル ∈ Spec(ε) が対応する。
証明終

0306Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/19(土) 14:35:48

命題
BoolをBoole代数(過去スレ021の336)の圏とする。
f：A → B をBoolにおける射(>>30)とする。
A と B の指標空間(>>304)をそれぞれ A＾、B＾とする。
χ ∈ B＾に χf ∈ A＾を対応させることにより写像 f＾：B＾ → A＾が得られる。
このとき f＾は連続である。

証明
直接証明するのも簡単だが次のようにも証明出来る。
>>301より A＾は Spec(A) と位相同型である。
よって、本命題は>>240と>>305より明らかである。
証明終

0307１３２人目の素数さん

2011/02/19(土) 17:08:36

指標空間の双対空間はどのように定義されるんですか？

0308Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/19(土) 17:21:17

>>307
指標空間の開かつ閉な部分集合全体のなすBoole代数です。
これについて詳しいことはこれからやります。

0309１３２人目の素数さん

2011/02/20(日) 01:34:11.30

日本語でおk

0310１３２人目の素数さん

2011/02/20(日) 01:50:20.16

rde

0311Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/20(日) 04:05:10.11

>>309
（指標空間の双対空間は）指標空間の開かつ閉な部分集合全体のなすBoole代数です。

0312Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/20(日) 05:45:06.53

命題
X と Y を位相空間とし、f：X → Y を連続写像とする。
S(X) と S(Y) をそれぞれ X と Y の開かつ閉な部分集合全体とする。
>>249より S(X) と S(Y) はそれぞれ包含関係に関してBoole代数(過去スレ021の336)となる。
E ∈ S(Y) のとき f^(-1)(E) ∈ S(Y) である。
よって、E ∈ S(Y) に f^(-1)(E) ∈ S(Y) を対応させる写像 f^(-1)：S(Y) → S(X) が得られる。
このとき f^(-1)：S(Y) → S(X) はBoole代数の準同型(>>30)である。

証明
自明である。

0313Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/20(日) 06:27:17.91

命題(Stoneの表現定理)
A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
A の指標空間(>>304)を A＾とする。
A＾の開かつ閉な部分集合全体を S(A＾) とする。
>>249より S(X) は包含関係に関してBoole代数である。
任意の a ∈ A に対して a＾ = {χ ∈ A＾；χ(a) = 1} とおく。
このとき、a＾ ∈ S(A＾) であり、
写像 ρ：A → S(A＾) を ρ(a) = a＾で定義すると、
ρ はBoole代数の同型である。

証明
>>289と>>301より明らかである。

0314Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/20(日) 06:31:54.50

命題(Stoneの双対定理)
Boole代数(過去スレ021の336)の圏をBoolとする。
(Bool)^o をBoolの双対圏(過去スレ017の352)とする。
Stone空間(>>248)とその間の連続関数のなす圏をStoneとする。
>>306より A ∈ Bool に A の指標空間(>>304) A＾を対応させることにより
関手 Γ：(Bool)^o → Stone が得られる。
他方、>>312より、X ∈ Stone に X の開かつ閉な部分集合全体のなすBoole代数 S(X) を
対応させることにより関手 Σ：Stone → (Bool)^o が得られる。

このとき Σ は Γ の準逆関手(過去スレ017の394)である。
即ち、ΣΓ ～ 1_(Bool)^o、ΓΣ ～ 1_Stone である。
ここで、1_(Bool)^o と 1_Stone はそれぞれ (Bool)^o と Stone の恒等関手であり、
～は自然同型(過去スレ018の144)を表す。
よって、(Bool)^o と Stone は圏同値(過去スレ017の404)である。

証明
>>313と>>303より明らかである。

0315Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/20(日) 09:12:37.14

Stoneの双対定理(>>314)より
Boole代数の代数的性質はその指標空間の位相的性質に対応し、
Stone空間の位相的性質はその開かつ閉な部分集合全体のなすBoole代数の代数的性質に対応する。
その例をいくつか述べる。

0316Kummer ◆IxIr9aihfg

2011/02/20(日) 09:35:35.12

命題
A をBoole代数(過去スレ021の336)とし、A＾をその指標空間(>>304)とする。
このとき以下は同値である。

(1) A は有限である。

(2) A＾は有限である。

(3) A＾の位相は離散である。

証明
(1) ⇒ (2)
自明である。

(2) ⇒ (1)
Stoneの双対定理(>>314)より A は A＾の開かつ閉な部分集合全体のなすBoole代数と同型である。
よって、A＾が有限なら A も有限である。

(2) ⇒ (3)
A＾はStone空間(>>248)、従ってHausdorff空間であるから A＾の各点は閉集合である。
よって、A＾が有限なら A＾の各点は開集合である。
よって、A＾の位相は離散である。

(3) ⇒ (2)
A＾が離散なら A＾の各点は開集合である。
A＾はコンパクトであるから A＾は有限である。
証明終

0317１３２人目の素数さん

2011/02/20(日) 10:30:43.71

うるさい

0318ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY

2011/02/20(日) 11:13:41.66

たとえ馬鹿でも「こういう立派な数学の議論」がウルサイのかァ。アホ
は憐れやナ。

猫

0319１３２人目の素数さん

2011/02/20(日) 11:25:35.77

元院生に謝罪しろ

0320ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY

2011/02/20(日) 11:46:03.44

>>319
そやからオマエの名前と理由を出せっちゅうてるのや。オマエには脳は
付いとんのかァ！　ちゃんと読めや、この糞馬鹿め。

猫

0321ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY

2011/02/20(日) 11:58:11.91

>>319
コラァ、サッサと返事をシロ。

猫

0322１３２人目の素数さん

2011/02/20(日) 14:04:48.18

元院生に謝罪しろ

0323ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY

2011/02/20(日) 14:08:05.65

>>322
そやからオマエの名前と謝罪の理由を書けっちゅうてるのや。この陰湿
な卑怯者め。

猫

0324１３２人目の素数さん

2011/02/20(日) 14:44:19.40

脅迫罪だな　これは

0325ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY

2011/02/20(日) 15:06:11.61

>>324
そやから言うてるのや。裁判所へ訴えろや。ワシかて出頭したるがな。
ほしたらワシが脅迫とか恐喝みたいなカキコを掘り起こして騒ぎを大き
くしたるさかいナ、今後は２ちゃんではそういうカキコが出来なくナル
っちゅう事やろうナ。そやからワシはソレは大歓迎やがな。

サッサと手続きをせえやナ。

猫

0326１３２人目の素数さん

2011/02/20(日) 15:08:43.90

謝罪せよ

0327ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY

2011/02/20(日) 15:14:26.05

>>326
誰が誰に対してどういう理由で謝罪をスルのかを論理的に申し述べて下さい。
返事の記述が書き込まれるまで私が貴方を徹底追尾します。

猫

0328１３２人目の素数さん

2011/02/20(日) 15:31:06.55

謝罪するのだ

わかったな

0329ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY

2011/02/20(日) 15:35:30.52

>>328
なるほど。では：
１．貴方の所属とお名前。
２．誰が誰に対して謝罪スルのか。
３．その理由を論理的に明確に記述。
を条件として満たして戴きます。事と次第によっては私が貴方を逆告訴
スル可能性がアリマスが、ソレは貴方からの返答を受けてから分析スル
事になります。

お返事をお待ちします。

猫

0330ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY

2011/02/20(日) 15:38:24.74

>>328
コラァ、返事をシロ。

猫

0331１３２人目の素数さん

2011/02/20(日) 15:38:51.19

ん？　脅迫するの？

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