命題
P を有限順序集合とする。
Down(P) を P の下集合の全体(過去スレ021の516)とする。
Down(P) は包含関係で束(過去スレ021の156)となる。
D を P の下集合(過去スレ021の516)とする。
このとき、以下の条件は同値である。

(1) D は Down(P) の∨既約元(過去スレ021の403)である。

(2) D は P の単項イデアル(>>136)である。

証明
(1) ⇒ (2)
D は有限な下集合だから D = ↓a_1∪．．．∪↓a_n となる。
D は∨既約であるから D = ↓a_i となる i がある。

(2) ⇒ (1)
D = ↓a とする。
D = D_1∪D_2、D_1、D_2 ∈ Down(P) とする。
a ∈ D_1∪D_2 より a ∈ D_1 または a ∈ D_2
よって、D_1 = ↓a または D_2 = ↓a
よって、D は∨既約である。
証明終