命題
P を順序集合とする。
Down(P) を P の下集合の全体(過去スレ021の516)とする。
Down(P) は包含関係で束(過去スレ021の156)となる。
このとき、任意の a ∈ P に対して κ(a) = {D ∈ Down(P)；a ∈ P - D} は
Down(P) の素イデアル(>>100)である。

証明
φ ∈ κ(a) であるから κ(a) は空でない。
D ∈ κ(a)、D’⊂ D、D’∈ Down(P) なら a ∈ P - D’であるから D’∈ κ(a) である。
D、D’∈ κ(a) なら a ∈ D^c ∩ (D’)^c = (D∪D’)^c
よって、D∪D’∈ κ(a)
ここで D^c などは D の補集合を表す。
よって、κ(a) はDown(P)のイデアルである。

D、D’∈ Down(P)、D∩D’∈ κ(a) なら a ∈ (D∩D’)^c = D^c ∪ (D’)^c
よって、D ∈ κ(a) または D’∈ κ(a)
よって、κ(a) はDown(P)の素イデアルである。
証明終