命題(>>83の拡張)
X を分配束(過去スレ021の322)とする。
S を X の下向きの有向部分集合(過去スレ021の510)とする。
I を X のイデアルで S ∩ I = φ とする。
このとき I を含む X の素イデアル P で S ∩ P = φ となるものがある。

証明
Ψ = {J；J は A のイデアルで I ⊂ J かつ S ∩ J = φ} とおく。
I ∈ Ψ だから Ψ は空でない。
Φ を Ψ の空でない部分集合で包含関係に関して全順序集合になっているものとする。
L = ∪{J； J ∈ Φ} は X のイデアルで I ⊂ L である。
S ∩ L ≠ φ とすると S ∩ J ≠ φ となる J ∈ Φ があることになって矛盾である。
よって、L ∈ Φ である。
よって、Φ は帰納的な順序集合であるからZornの補題より Φ は極大元 P を持つ。
>>194より P は素イデアルである。
証明終