補題(>>82の拡張)
X を分配束(過去スレ021の322)とする。
S を X の下向きの有向部分集合(過去スレ021の510)とする。
I を X のイデアルで S ∩ I = φ とする。
Ψ = {J；J は X のイデアルで I ⊂ J かつ S ∩ J = φ} とおく。
P を Ψ の極大元とする。
このとき P は素イデアルである。

証明
S ∩ P = φ で S は空でないから P ≠ X である。
a と b を P に含まれない X の元とする。
a∧b ∈ P と仮定して矛盾を導けばよい。
P ＜ P∨↓a、P ＜ P∨↓b である。
よって、S ∩ (P∨↓a) ≠ φ、S ∩ (P∨↓b) ≠ φ である。
よって s ≦ x∨a、t ≦ y∨b となる s、t ∈ S、x、y ∈ P がある。
S は下向きの有向部分集合だから u ≦ x∨a、u ≦ y∨b となる u ∈ S がある。
u ≦ (x∨a)∧(y∨b) = (x∧y)∨(x∧b)∨(a∧y)∨(a∧b) ∈ P
よって、u ∈ P となって矛盾。
証明終