命題(有限なBoole代数の表現定理)
X を有限な一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
>>189より X はBoole代数(過去スレ021の336)である。
A を X の原子(過去スレ021の339)全体の集合とする。
P(A) を A の冪集合とする。
任意の x ∈ X に対して A↓(x) = {a ∈ A； a ≦ x} とおく。
このとき A-下写像(過去スレ021の297) A↓：X → P(A) はBoole代数の同型である。

証明
X は有限順序集合であるから原子的(過去スレ021の342)である。
よって、>>188より A↓：X → P(A) はBoole代数の準同型で順序埋め込みである。
S = {a_1、．．．、a_n} を P(A) の任意の空でない部分集合とする。
x = a_1∨．．．∨a_n とおく。
a ∈ A、a ≦ x とする。
a = a∧x = (a∧a_1)∨．．．∨(a∧a_n)
各 i に対して a∧a_i = 0 または a∧a_i = a である。
よって、a∧a_i = a となる i がある。
このとき a = a_i である。
よって、a ≦ x である。
よって、A↓(x) = S である。
一方、A↓(0) = φ であるから A↓：X → P(A) は全射である。
証明終