命題(原子的な一般Boole代数の表現定理)
X を原子的(過去スレ021の342)な一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
A を X の原子(過去スレ021の339)全体の集合とする。
P(A) を A の冪集合とする。
任意の x ∈ X に対して A↓(x) = {a ∈ A； a ≦ x} とおく。
このとき A-下写像(過去スレ021の297) A↓：X → P(A) は
一般Boole代数の準同型(>>29)で順序埋め込み(過去スレ021の227)である。

証明
過去スレ021の409より A は X の∨既約元(過去スレ021の403)全体と一致する。
よって、>>161より A は X の∨素元(>>157)全体と一致する。
>>186より、A は X において結び密(過去スレ021の914)である。
よって、>>165より A↓：X → P(A) は束埋め込み(>>166)である。
A↓(0) = φ であるから A↓ は一般Boole代数の準同型で順序埋め込みである。
証明終