命題
X を原子的(過去スレ021の342)な区分的相補束(過去スレ021の368)とする。
A を X の原子(過去スレ021の339)全体の集合とする。
任意の x ∈ X に対して A↓(x) = {a ∈ A； a ≦ x} とおく。
このとき x = sup A↓(x) である。

証明
X は原子的だから A↓(x) = φ なら x = 0 である。
よって、この場合 x = sup A↓(x) である。
よって、A↓(x) ≠ φ と仮定する。
x は A↓(x) の上限である。
u を A↓(x) の任意の上限とする。
m = x∧u とおく。
m = x であることを証明しよう。
0 ＜ m ≦ x である。
0 ＜ m ＜ x と仮定する。
m の区間 [0, x] における相対補元(過去スレ021の363)を m’とする。
0 ＜ m’＜ x である。
X は原子的だから a ≦ m’となる原子 a がある。
m’＜ x だから a ＜ x である。
よって、a ∈ A↓(x) である。
よって、a ≦ u である。
よって、a ≦ m である。
よって、a ≦ m∧m’= 0 となって矛盾。
よって、m = x である。
よって、x ≦ u であるから x = sup A↓(x) である。
証明終