命題
X をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
X は対称差(>>17) Δ を加法とし、交わり∧を乗法とすることによりBoole環(>>6)となる。

証明
a, b, c ∈ X とする。

(aΔb)Δc = ((aΔb)∧c’)∨((aΔb)’∧c)
= (((a∧b’)∨(b∧a’))∧c’)∨(((a’∨b)∧(b’∨a))∧c)
= (a∧b’∧c’)∨(a’∧b∧c’) ∨ ((a’∨b)∧b’)∨((a’∨b)∧a))∧c)
= (a∧b’∧c’)∨(a’∧b∧c’) ∨ ((a’∧b’)∨(b∧a))∧c)
= (a∧b’∧c’)∨(a’∧b∧c’) ∨ ((a’∧b’∧c)∨(a∧b∧c)

この右辺は a, b, c に関して対象だから aΔ(bΔc) に等しい。

aΔb = bΔa

aΔ0 = (a∧1)∨(0∧a’) = a∨0 = a
よって 0 は加法の単位元である。
aΔa = 0 であるから加法にかんする a の逆元は a である。
以上から L はΔ を加法とするアーベル群である。

c∧(aΔb) = c∧((a∧b’)∨(b∧a’)) = (c∧a∧b’)∨(c∧b∧a’)
(c∧a)Δ(c∧b) = ((c∧a)∧(c’∨b’))∨((c’∨a’)∧(c∧b)) = (c∧a∧b’)∨(c∧b∧a’)
よって、c∧(aΔb) = (c∧a)Δ(c∧b)
即ち加法分配法則が成り立つ。

a∧b = b∧a
a∧1 = 1∧a
よって、X は 1 を単位元とする可換環である。
a∧a = a であるから X はBoole環である。
証明終