命題
X を束(過去スレ021の156)とする。
a ∈ X を∨素元(>>157)とする。
このとき (↑a)^c は X の素イデアル(>>100)である。
ここで ↑a = {x ∈ X； a ≦ x} は a で生成される単項フィルター(>>136)であり
(↑a)^c は ↑a の X における補集合である。

証明
↑a は素フィルター(>>97)であるから X ≠ ↑a である。
よって、(↑a)^c は空でない。
x ∈ (↑a)^c、y ≦ x とする。
a ≦ y なら a ≦ x となって x ∈ (↑a)^c に反する。
よって、y ∈ (↑a)^c である。

a は∨素元だから a ≦ x∨y ⇒ a ≦ x または a ≦ y
対偶をとって x、y ∈ (↑a)^c ⇒ x∨y ∈ (↑a)^c
以上から (↑a)^c はイデアルである。

a ≦ x かつ a ≦ y ⇒ a ≦ x∧y
対偶をとって x∧y ∈ (↑a)^c ⇒ x ∈ (↑a)^c または y ∈ (↑a)^c
よって、(↑a)^c は素イデアルである。
証明終