命題(Blyth:Lattices and ordered algebraic structures)
X を空でない有限分配束(過去スレ021の322)とする。
B を X の∨既約元(過去スレ021の403)全体とする。
|B| = length(X) (過去スレ021の379)である。
ここで、|B| は B の元の個数である。

証明
C を length(X) = length(C) となる X の鎖(過去スレ021の377)とする。
X は最小元 0 = ∧X と最大元 1 = ∨X をもつ。
0 = 1 のときは命題は自明であるから 0 ≠ 1 と仮定する。
ψ：B → C - {0} を ψ(a) = min {x ∈ C：a ≦ x} により定義する。
任意の a ∈ B に対して 1 ∈ {x ∈ C：a ≦ x} であるから ψ(a) は一意に定まる。
x を C - {0} の任意の元とする。
ψ(a) = x となる a が存在することを証明しよう。
y_0 ∈ C を x の直前の元(過去スレ021の242)とする。
>>167より、B↓(y_0) ⊂ B↓(x) かつ B↓(y_0) ≠ B↓(x) である。
よって、a ∈ B↓(x) - B↓(y_0) がある。
y ∈ C：a ≦ y とする。
a ∈ B↓(y) である。
y ＜ x なら y ≦ y_0 より、a ∈ B↓(y) ⊂ B↓(y_0) となって a の定義に反する。
よって、x ≦ y である。
即ち ψ(a) = x である。
以上から ψ は全射である。

(続く)