命題
X を束(過去スレ021の156)とする。
B を X の空でない部分集合とする。
以下の条件は同値である。

(1) B-下写像(過去スレ021の297) B↓：X → P(X) は順序埋め込み(過去スレ021の227)である。

(2) B-下写像 B↓：X → P(X) は単射である。

(3) B は X において結び密(過去スレ021の914)である。

証明
(1) ⇒ (2)
自明である。

(2) ⇒ (1)
x、y ∈ X のとき B↓(x∧y) = B↓(x)∩B↓(y) である。
よって、>>122の双対より B↓ は順序埋め込みである。

(1) ⇒ (3)
x, y ∈ X とし、y は B↓(x) の上界とする。
B↓(x) ≦ B↓(y) であるから x ≦ y である。
よって x = sup B↓(x) である。

(3) ⇒ (2)
B↓(x) = B↓(y) なら過去スレ021の915より x = sup B↓(x) = sup B↓(y) = y
よって、B↓は単射である。
証明終