代数的整数論 022
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
0001１３２人目の素数さん
2011/02/06(日) 09:59:53Kummer ◆IxIr9aihfg（旧g2BU0D6YN2）が代数的整数論を語るスレです。
現在は代数的整数論の準備をしています。
代数的整数論のみに興味ある方はこのスレは必要になった段階で
参照することをお勧めします。
ただし、このスレが終了すると見れなくなる恐れがあるので、
適時チェックして内容をセーブしたほうが良いでしょう。
内容についてわからないことがあったら遠慮なく
質問してください。
その他、内容についてのご意見は歓迎します。
例えば、誤りの指摘、証明の改良など。
なお、このスレの主題に直接関係のないコメントについては
原則としてレスはしません（たとえそれが励ましの言葉であっても）。
0153Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/11(金) 10:16:19命題
X を分配束(過去スレ021の322)とする。
I を X の極大イデアル(>>99)とする。
このとき I は素イデアル(>>100)である。
証明
a と b を X の元で a ∈ X - I、ab ∈ I とする。
I は極大イデアルだから X = I∨↓a
よって、b ∈ I∨↓a
一方、>>115より、I∨↓a = {x ∈ X；x ≦ c∨a となる c ∈ I がある}
よって、b ≦ c∨a となる c ∈ I がある。
b = b∧(c∨a) = (b∧c)∨(b∧a) ∈ I
よって、I は素イデアルである。
証明終
0154Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/11(金) 11:54:20T を X の部分集合とする。
T-下写像(過去スレ021の297) T↓：X → P(X) を考える。
即ち x ∈ X のとき T↓(x) = T∩↓x = {t ∈ T； t ≦ x} である。
x、y ∈ X のとき T↓(x∧y) = T↓(x)∩T↓(y) である。
x、y ∈ X のとき T↓(x∨y) = T↓(x)∪T↓(y) となる条件を考えてみる。
T↓(x∨y) ⊃ T↓(x)∪T↓(y) であるから T↓(x∨y) ⊂ T↓(x)∪T↓(y) となればよい。
これは各 t ∈ T に対して t ≦ x∨y ⇒ t ≦ x または t ≦ y となることと同値である。
これは各 t ∈ T に対して単項フィルター↑t (過去スレ021の521)が素フィルター(>>97)
であることと同値である。
0155Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/11(金) 12:07:21X を束(過去スレ021の156)とする。
a を X の元とする。
は単項フィルター↑a (過去スレ021の521)が素フィルター(>>97)であるとき
a は∨素元(join-prime element)であるという。
0156Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/11(金) 12:11:45>これは各 t ∈ T に対して単項フィルター↑t (過去スレ021の521)が素フィルター(>>97)
>であることと同値である。
これは各 t ∈ T に対して t が X の最小元であるか
単項フィルター↑t (過去スレ021の521)が素フィルター(>>97)であることと同値である。
0157Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/11(金) 12:17:16定義
X を束(過去スレ021の156)とする。
a を X の元とする。
単項フィルター↑a (過去スレ021の521)が素フィルター(>>97)であるとき
a は∨素元(join-prime element)であるという。
0158Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/11(金) 12:20:21X を束(過去スレ021の156)とする。
a を X の元とする。
単項イデアル↓a (過去スレ021の521)が素イデアル(>>100)であるとき
a は∧素元(meet-prime element)であるという。
0159Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/11(金) 13:59:55N = {1、2、．．．} を自然数全体の集合とする。
x、y ∈ N、y が x で割れるとき x ≦ y と定義することにより N は束となる。
N の∨素元(>>157)とは何か？
0160Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/11(金) 14:37:30X を束(過去スレ021の156)とする。
p を X の元とする。
p が∨素元(>>157) ⇒ p が∨既約元(過去スレ021の403)
証明
p が∨素元であるとする。
↑p は素フィルター(>>97)であるから p は X の最小元ではない。
x、y ∈ X で p = x∨y とする。
x∨y ∈↑p だから p ≦ x または p ≦ y である。
x ≦ p だから p ≦ x なら p = x
同様に p ≦ y なら p = y
よって p は∨既約元である。
証明終
0161Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/11(金) 14:41:06X を分配束(過去スレ021の322)とする。
p を X の元とする。
p が∨素元(>>157) ⇔ p が∨既約元(過去スレ021の403)
証明
>>160より、p が∨素元なら p は∨既約元である。
p が∨既約元なら過去スレ021の413より、p は∨素元である。
証明終
0162１３２人目の素数さん
2011/02/11(金) 16:30:45Ｚ／１０５Ｚ、の可逆元のなす群
Ｕ（Ｚ／１０５Ｚ）
と同型。
__________
これの証明よろしくおねがいします
0163Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/11(金) 19:47:00X を束(過去スレ021の156)とする。
B を X の空でない部分集合とする。
以下の条件は同値である。
(1) B-下写像(過去スレ021の297) B↓：X → P(X) は順序埋め込み(過去スレ021の227)である。
(2) B-下写像 B↓：X → P(X) は単射である。
(3) B は X において結び密(過去スレ021の914)である。
証明
(1) ⇒ (2)
自明である。
(2) ⇒ (1)
x、y ∈ X のとき B↓(x∧y) = B↓(x)∩B↓(y) である。
よって、>>122の双対より B↓ は順序埋め込みである。
(1) ⇒ (3)
x, y ∈ X とし、y は B↓(x) の上界とする。
B↓(x) ≦ B↓(y) であるから x ≦ y である。
よって x = sup B↓(x) である。
(3) ⇒ (2)
B↓(x) = B↓(y) なら過去スレ021の915より x = sup B↓(x) = sup B↓(y) = y
よって、B↓は単射である。
証明終
0164Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/11(金) 20:09:45命題
X を束(過去スレ021の156)とする。
B を X の空でない部分集合とする。
以下の条件は同値である。
(1) B-下写像(過去スレ021の297) B↓：X → P(B) は順序埋め込み(過去スレ021の227)である。
(2) B-下写像 B↓：X → P(B) は単射である。
(3) B は X において結び密(過去スレ021の914)である。
証明
(1) ⇒ (2)
自明である。
(2) ⇒ (1)
x、y ∈ X のとき B↓(x∧y) = B↓(x)∩B↓(y) である。
よって、>>122の双対より B↓ は順序埋め込みである。
(1) ⇒ (3)
x, y ∈ X とし、y は B↓(x) の上界とする。
B↓(x) ≦ B↓(y) であるから x ≦ y である。
よって x = sup B↓(x) である。
(3) ⇒ (2)
B↓(x) = B↓(y) なら過去スレ021の915より x = sup B↓(x) = sup B↓(y) = y
よって、B↓は単射である。
証明終
0165Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/11(金) 20:11:05X を束(過去スレ021の156)とする。
B を X の空でない部分集合とする。
B は以下の条件を満たすとする。
(1) B の各元は X の∨素元(>>157)である。
(2) B は X において結び密(過去スレ021の914)である。
このとき、B-下写像 B↓：X → P(B) は束の準同型(過去スレ021の193)で単射である。
証明
>>154より、B↓は束の準同型である。
>>164より、B↓は単射である。
証明終
0166Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/12(土) 07:51:54X と Y を空でない束(過去スレ021の156)とする。
f：X → Y を束の準同型(過去スレ021の193)とする。
f が単射のとき f を束埋め込み(lattice embedding)または単に埋め込みと言う。
0167Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/12(土) 07:57:36X を極小条件(過去スレ021の397)を満たす空でない分配束(過去スレ021の322)とする。
B を X の∨既約元(過去スレ021の403)全体とする。
このとき B-下写像(過去スレ021の297) B↓：X → Down(B) (過去スレ021の516)は
束埋め込み(>>166)である。
証明
過去スレ021の416より、X の最小限でない任意の元は有限個の∨既約元の結びとなる。
よって、B は X において結び密(過去スレ021の914)である。
>>161より B は X の∨素元(>>157)全体と一致する。
よって、>>165より、B↓：X → Down(B) は束埋め込みである。
証明終
0168Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/12(土) 09:17:16X を空でない有限分配束(過去スレ021の322)とする。
B を X の∨既約元(過去スレ021の403)全体とする。
このとき B-下写像(過去スレ021の297) B↓：X → Down(B) (過去スレ021の516)は束同型である。
証明
X は有限順序集合だから極小条件(過去スレ021の397)を満たす。
よって、>>167より B↓：X → Down(B) は束埋め込み(>>166)である。
よって、B↓が全射であることを証明すればよい。
X は最小元 0 = inf X を持つ。
B↓(0) = φ である。
D = {x_1、．．．、x_n} を Down(B) の空でない元とする。
x = x_1∨．．．∨x_n とおく。
>>161より、B の各元は∨素元(>>157)である。
よって、y ≦ x、y ∈ B なら y ≦ x_i となる i がある。
D は B の下集合(過去スレ021の516)だから y ∈ D である。
よって、
逆の包含関係は明らかであるから B↓(x) = D である。
よって、B↓は全射である。
証明終
0169Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/12(土) 11:26:19X を束(過去スレ021の156)とする。
B を X の空でない部分集合とする。
B は以下の条件を満たすとする。
(1) B の各元は X の∨素元(>>157)である。
(2) B は X において結び密(過去スレ021の914)である。
このとき、X は分配束(過去スレ021の322)である。
証明
>>165より X は P(B) の部分束(過去スレ021の190)と同型である。
よって、X は分配束である。
証明終
0170Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/12(土) 11:28:13N = {1、2、．．．} を自然数全体の集合とする。
x、y ∈ N、y が x で割れるとき x ≦ y と定義することにより N は束となる。
B を N の∨素元(>>157)全体の集合とする(>>159参照)。
B は N において結び密(過去スレ021の914)である。
よって、>>169より N は分配束である。
0171Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/12(土) 18:12:47X を空でない有限分配束(過去スレ021の322)とする。
B を X の∨既約元(過去スレ021の403)全体とする。
|B| = length(X) (過去スレ021の379)である。
ここで、|B| は B の元の個数である。
証明
C を length(X) = length(C) となる X の鎖(過去スレ021の377)とする。
X は最小元 0 = ∧X と最大元 1 = ∨X をもつ。
0 = 1 のときは命題は自明であるから 0 ≠ 1 と仮定する。
ψ：B → C - {0} を ψ(a) = min {x ∈ C：a ≦ x} により定義する。
任意の a ∈ B に対して 1 ∈ {x ∈ C：a ≦ x} であるから ψ(a) は一意に定まる。
x を C - {0} の任意の元とする。
ψ(a) = x となる a が存在することを証明しよう。
y_0 ∈ C を x の直前の元(過去スレ021の242)とする。
>>167より、B↓(y_0) ⊂ B↓(x) かつ B↓(y_0) ≠ B↓(x) である。
よって、a ∈ B↓(x) - B↓(y_0) がある。
y ∈ C：a ≦ y とする。
a ∈ B↓(y) である。
y ＜ x なら y ≦ y_0 より、a ∈ B↓(y) ⊂ B↓(y_0) となって a の定義に反する。
よって、x ≦ y である。
即ち ψ(a) = x である。
以上から ψ は全射である。
(続く)
0172Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/12(土) 18:16:21次に ψ が単射であることを示そう。
ψ(a) = ψ(b) とする。
x ∈ C を ψ(a) の直前の元(過去スレ021の242)とする。
a∨x = b∨x = ψ(a)
よって、a = a∧(a∨x) = a∧(b∨x) = (a∧b)∨(a∧x)
a は∨既約だから a = a∧b または a = a∧x
よって、a ≦ b または a ≦ x
しかし、a ≦ x では有り得ないから a ≦ b である。
同様に b ≦ a である。
よって、a = b である。
よって、ψ は単射である。
よって、ψ は全単射である。
よって、|B| = |C| - 1 = length(X)
証明終
0173Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/12(土) 20:16:48命題
X を空でない有限分配束(過去スレ021の322)とする。
B を X の∨既約元(過去スレ021の403)全体とする。
|B| = length(X) (過去スレ021の379)である。
ここで、|B| は B の元の個数である。
証明
n = length(X) とする。
0 = x_0 ＜ x_1 ＜ ．．．＜ x_n = 1 を X における長さ n の鎖 C とする。
>>168より、φ = B↓(x_0) ⊂ B↓(x_1) ⊂ ．．．⊂ B↓(x_n) = B は
Down(B) における極大鎖である。
各 i、i = 0、．．．、n-1 に対して
|B↓(x_(i+1)) - B↓(x_i)| = 1 であることを証明しよう。
x = x_i、y = x_(i+1) とおく。
a、b ∈ B↓(y) - B↓(x) とする。
a∨x = b∨x = y
よって、a = a∧(a∨x) = a∧(b∨x) = (a∧b)∨(a∧x)
a は∨既約だから a = a∧b または a = a∧x
よって、a ≦ b または a ≦ x
しかし、a ≦ x では有り得ないから a ≦ b である。
同様に b ≦ a である。
よって、a = b である。
よって、|B↓(x_i)| = i、i = 0、．．．、n である。
よって、|B| = |B↓(x_n)| = n である。
証明終
0174１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 05:38:220175Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/13(日) 07:07:03X を分配束(過去スレ021の322)とする。
length(X) (過去スレ021の379)が有限なら X は有限集合である。
証明
X は空でないと仮定してよい。
B を X の∨既約元(過去スレ021の403)全体とする。
X は極小条件(過去スレ021の397)を満たすから
過去スレ021の416より、X の最小限でない任意の元は有限個の∨既約元の結びとなる。
よって、B が有限集合であることを示せばよい。
n = length(X) とする。
0 = x_0 ＜ x_1 ＜ ．．．＜ x_n = 1 を X における長さ n の鎖 C とする。
X は極小条件(過去スレ021の397)を満たすから>>167より
B-下写像(過去スレ021の297) B↓：X → Down(B) は束埋め込み(>>166)である。
よって、φ = B↓(x_0) ⊂ B↓(x_1) ⊂ ．．．⊂ B↓(x_n) = B は
Down(B) における鎖(過去スレ021の377)である。
>>173の証明と同様にして各 i、i = 0、．．．、n-1 に対して
|B↓(x_(i+1)) - B↓(x_i)| = 1 である。
よって、|B↓(x_i)| = i、i = 0、．．．、n である。
よって、|B| = |B↓(x_n)| = n である。
証明終
0176Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/13(日) 07:18:03命題
X を分配束(過去スレ021の322)とする。
length(X) (過去スレ021の379)が有限なら X は有限集合である。
証明
X は空でないと仮定してよい。
B を X の∨既約元(過去スレ021の403)全体とする。
X は極小条件(過去スレ021の397)を満たすから
過去スレ021の416より、X の最小限でない任意の元は有限個の∨既約元の結びとなる。
よって、B が有限集合であることを示せばよい。
n = length(X) とする。
X は昇鎖律(過去スレ021の395)を満たすから>>150より最大元 1 を持つ。
X は降鎖律(過去スレ021の396)を満たすから>>150の双対より最小元 0 を持つ。
0 = x_0 ＜ x_1 ＜ ．．．＜ x_n = 1 を X における長さ n の鎖 C とする。
X は極小条件(過去スレ021の397)を満たすから>>167より
B-下写像(過去スレ021の297) B↓：X → Down(B) は束埋め込み(>>166)である。
よって、φ = B↓(x_0) ⊂ B↓(x_1) ⊂ ．．．⊂ B↓(x_n) = B は
Down(B) における鎖(過去スレ021の377)である。
>>173の証明と同様にして各 i、i = 0、．．．、n-1 に対して
|B↓(x_(i+1)) - B↓(x_i)| = 1 である。
よって、|B↓(x_i)| = i、i = 0、．．．、n である。
よって、|B| = |B↓(x_n)| = n である。
証明終
0177Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/13(日) 08:22:46X を束(過去スレ021の156)とする。
a ∈ X を∨素元(>>157)とする。
このとき (↑a)^c は X の素イデアル(>>100)である。
ここで ↑a = {x ∈ X； a ≦ x} は a で生成される単項フィルター(>>136)であり
(↑a)^c は ↑a の X における補集合である。
証明
↑a は素フィルター(>>97)であるから X ≠ ↑a である。
よって、(↑a)^c は空でない。
x ∈ (↑a)^c、y ≦ x とする。
a ≦ y なら a ≦ x となって x ∈ (↑a)^c に反する。
よって、y ∈ (↑a)^c である。
a は∨素元だから a ≦ x∨y ⇒ a ≦ x または a ≦ y
対偶をとって x、y ∈ (↑a)^c ⇒ x∨y ∈ (↑a)^c
以上から (↑a)^c はイデアルである。
a ≦ x かつ a ≦ y ⇒ a ≦ x∧y
対偶をとって x∧y ∈ (↑a)^c ⇒ x ∈ (↑a)^c または y ∈ (↑a)^c
よって、(↑a)^c は素イデアルである。
証明終
0178Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/13(日) 09:34:02X を束(過去スレ021の156)とする。
X の素イデアル(>>100)全体の集合を Spec(X) と書く。
Spec はスペクトル(spectrum)を意味する。
0179Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/13(日) 09:52:02X を束(過去スレ021の156)とする。
X の∨素元(>>157)全体を JP(X) とする。
>>177より x ∈ JP(X) のとき (↑x)^c ∈ Spec(X) (>>178) である。
写像 f：JP(X) → Spec(X) を f(x) = (↑x)^c により定義する。
このとき f は順序埋め込み(過去スレ021の227)である。
証明
x、y ∈ X、x ≦ y とする。
↑y ⊂ ↑x であるから、(↑x)^c ⊂ (↑y)^c である。
逆に、x、y ∈ X、(↑x)^c ⊂ (↑y)^c とする。
↑y ⊂ ↑x であるから y ∈ ↑x である。
よって、x ≦ y である。
証明終
0181Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/13(日) 10:55:44X を極小条件(過去スレ021の397)を満たす束(過去スレ021の156)とする。
このとき>>179の写像 f：JP(X) → Spec(X) は順序同型である。
証明
>>179より f は順序埋め込み(過去スレ021の227)である。
よって、f が全射であることを証明すればよい。
過去スレ021の398より X は降鎖律(過去スレ021の396)を満たす。
よって、>>152の双対より X の任意のフィルター(過去スレ021の527)は単項フィルター(>>136)である。
一方、>>106より X の任意の素イデアルは素フィルターの補集合である。
よって、f は全射である。
証明終
0182Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/13(日) 11:03:39X を束(過去スレ021の156)とする。
X の∧素元(>>158)全体を MP(X) (MP は meet-prime の頭文字)とする。
x ∈ MP(X) のとき ↓x ∈ Spec(X) (>>178) である。
写像 g：MP(X) → Spec(X) を g(x) = ↓x により定義する。
このとき g は順序埋め込み(過去スレ021の227)である。
証明
x、y ∈ X、x ≦ y とする。
a ≦ x なら a ≦ y であるから ↓x ⊂ ↓y である。
逆に、x、y ∈ X、↓x ⊂ ↓y とする。
x ∈ ↓x であるから x ∈ ↓y である。
よって、x ≦ y である。
証明終
0183Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/13(日) 11:10:19X を極大条件(過去スレ021の397)を満たす束(過去スレ021の156)とする。
このとき>>182の写像 g：MP(X) → Spec(X) は順序同型である。
証明
>>182より f は順序埋め込み(過去スレ021の227)である。
よって、f が全射であることを証明すればよい。
過去スレ021の398より X は昇鎖律(過去スレ021の395)を満たす。
よって、>>152より X の任意のイデアル(過去スレ021の527)は単項イデアル(>>136)である。
よって、g は全射である。
証明終
0184Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/13(日) 11:20:35X を長さ(過去スレ021の379)有限な束(過去スレ021の156)とする。
X の∨素元(>>157)全体を JP(X) とする。
X の∧素元(>>158)全体を MP(X) とする。
このとき JP(X) と MP(X) は順序同型である。
証明
X は長さ有限だから昇鎖律(過去スレ021の395)および降鎖律(過去スレ021の396)を満たす。
よって、過去スレ021の398より X は極大条件(過去スレ021の397)および
極小条件(過去スレ021の397)を満たす。
よって、>>182と>>183より本命題が得られる。
証明終
0185Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/13(日) 12:10:08N = {1、2、．．．} を自然数全体の集合とする。
x、y ∈ N、y が x で割れるとき x ≦ y と定義することにより N は束となる。
Spec(N) (>>178) を決定せよ。
0186Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/13(日) 15:14:17X を原子的(過去スレ021の342)な区分的相補束(過去スレ021の368)とする。
A を X の原子(過去スレ021の339)全体の集合とする。
任意の x ∈ X に対して A↓(x) = {a ∈ A； a ≦ x} とおく。
このとき x = sup A↓(x) である。
証明
X は原子的だから A↓(x) = φ なら x = 0 である。
よって、この場合 x = sup A↓(x) である。
よって、A↓(x) ≠ φ と仮定する。
x は A↓(x) の上限である。
u を A↓(x) の任意の上限とする。
m = x∧u とおく。
m = x であることを証明しよう。
0 ＜ m ≦ x である。
0 ＜ m ＜ x と仮定する。
m の区間 [0, x] における相対補元(過去スレ021の363)を m’とする。
0 ＜ m’＜ x である。
X は原子的だから a ≦ m’となる原子 a がある。
m’＜ x だから a ＜ x である。
よって、a ∈ A↓(x) である。
よって、a ≦ u である。
よって、a ≦ m である。
よって、a ≦ m∧m’= 0 となって矛盾。
よって、m = x である。
よって、x ≦ u であるから x = sup A↓(x) である。
証明終
0187Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/13(日) 15:59:16X を原子的(過去スレ021の342)な一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
A を X の原子(過去スレ021の339)全体の集合とする。
P(A) を A の冪集合とする。
任意の x ∈ X に対して A↓(x) = {a ∈ A； a ≦ x} とおく。
このとき A-下写像(過去スレ021の297) A↓：X → P(A) は
一般Boole代数の準同型(>>29)で順序埋め込み(過去スレ021の227)である。
証明
過去スレ021の409より A は X の∨既約元(過去スレ021の403)全体と一致する。
よって、>>161より A は X の∨素元(>>157)全体と一致する。
>>186より、A は X において結び密(過去スレ021の914)である。
よって、>>165より A↓：X → P(A) は束埋め込み(>>166)である。
A↓(0) = φ であるから A↓ は一般Boole代数の準同型で順序埋め込みである。
証明終
0188Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/13(日) 16:06:18X を原子的(過去スレ021の342)なBoole代数(過去スレ021の336)とする。
A を X の原子(過去スレ021の339)全体の集合とする。
P(A) を A の冪集合とする。
任意の x ∈ X に対して A↓(x) = {a ∈ A； a ≦ x} とおく。
このとき A-下写像(過去スレ021の297) A↓：X → P(A) は
Boole代数の準同型(>>30)で順序埋め込み(過去スレ021の227)である。
証明
>>187より、A↓ は一般Boole代数の準同型で順序埋め込みである。
A↓(1) = A であるから A↓ はBoole代数の準同型である。
証明終
0189Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/13(日) 17:07:00有限な一般Boole代数(過去スレ021の373)はBoole代数(過去スレ021の336)である。
証明
X を有限な一般Boole代数とする。
X は束であるから sup X が存在する。
sup X は X の最大元であるから X はBoole代数である。
証明終
0190Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/13(日) 17:26:34X を有限な一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
>>189より X はBoole代数(過去スレ021の336)である。
A を X の原子(過去スレ021の339)全体の集合とする。
P(A) を A の冪集合とする。
任意の x ∈ X に対して A↓(x) = {a ∈ A； a ≦ x} とおく。
このとき A-下写像(過去スレ021の297) A↓：X → P(A) はBoole代数の同型である。
証明
X は有限順序集合であるから原子的(過去スレ021の342)である。
よって、>>188より A↓：X → P(A) はBoole代数の準同型で順序埋め込みである。
S = {a_1、．．．、a_n} を P(A) の任意の空でない部分集合とする。
x = a_1∨．．．∨a_n とおく。
a ∈ A、a ≦ x とする。
a = a∧x = (a∧a_1)∨．．．∨(a∧a_n)
各 i に対して a∧a_i = 0 または a∧a_i = a である。
よって、a∧a_i = a となる i がある。
このとき a = a_i である。
よって、a ≦ x である。
よって、A↓(x) = S である。
一方、A↓(0) = φ であるから A↓：X → P(A) は全射である。
証明終
0191Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/14(月) 05:47:03X をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
x、y、z ∈ X のとき
(1) x∧y ≦ z ⇔ y ≦ x’∨z
(2) x∨y ≧ z ⇔ y ≧ x’∧z
証明
(1) x∧y ≦ z なら x’∨(x∧y) ≦ x’∨z
x’∨(x∧y) = x’∨y だから x’∨y ≦ x’∨z
よって、y ≦ x’∨z
逆に y ≦ x’∨z なら x∧y ≦ x∧(x’∨z) = x∧z ≦ z
(2) は (1) の双対である。
証明終
0192Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/14(月) 06:03:50X を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
(y_i)、i ∈ I を X の元の族とし、∨y_i が存在するとする。
このとき任意の x ∈ X に対して x∧(∨y_i) = ∨(x∧y_i)
証明
y = ∨y_i とおく。
各 i に対して y_i ≦ y
よって、x∧y_i ≦ x∧y
よって、∨(x∧y_i) ≦ x∧y
逆向きの不等式を証明しよう。
z = ∨(x∧y_i) とおく。
x、y、z は区間 [0, x∨y] に含まれる。
x’を x の [0, x∨y] における補元とする。
各 i に対して x∧y_i ≦ z
>>191より、y_i ≦ x’∨z
よって、y ≦ x’∨z
再び>>191より、x∧y ≦ z
証明終
0193Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/14(月) 06:25:44X を完備(過去スレ018の914)かつ原子的(過去スレ021の342)なBoole代数(過去スレ021の336)とする。
A を X の原子(過去スレ021の339)全体の集合とする。
P(A) を A の冪集合とする。
任意の x ∈ X に対して A↓(x) = {a ∈ A； a ≦ x} とおく。
このとき A-下写像(過去スレ021の297) A↓：X → P(A) はBoole代数の同型である。
証明
>>188より A↓：X → P(A) はBoole代数の準同型(>>30)で順序埋め込み(過去スレ021の227)である。
Y = {y_i；i ∈ I} を P(A) の空でない部分集合とする。
y = ∨y_i とおく。
x ∈ A、x ≦ y のとき>>192より x = x∧y = ∨(x∧y_i)
x は原子だから x = x∧y_i となる i がある。
y_i は原子だから x = y_i である。
よって、x ∈ Y である。
よって、A↓(y) ⊂ Y である。
逆の包含関係は明らかであるから Y = A↓(y) である。
よって、A↓：X → P(A) は全射である。
証明終
0194Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/14(月) 08:17:55X を分配束(過去スレ021の322)とする。
S を X の下向きの有向部分集合(過去スレ021の510)とする。
I を X のイデアルで S ∩ I = φ とする。
Ψ = {J；J は X のイデアルで I ⊂ J かつ S ∩ J = φ} とおく。
P を Ψ の極大元とする。
このとき P は素イデアルである。
証明
S ∩ P = φ で S は空でないから P ≠ X である。
a と b を P に含まれない X の元とする。
a∧b ∈ P と仮定して矛盾を導けばよい。
P ＜ P∨↓a、P ＜ P∨↓b である。
よって、S ∩ (P∨↓a) ≠ φ、S ∩ (P∨↓b) ≠ φ である。
よって s ≦ x∨a、t ≦ y∨b となる s、t ∈ S、x、y ∈ P がある。
S は下向きの有向部分集合だから u ≦ x∨a、u ≦ y∨b となる u ∈ S がある。
u ≦ (x∨a)∧(y∨b) = (x∧y)∨(x∧b)∨(a∧y)∨(a∧b) ∈ P
よって、u ∈ P となって矛盾。
証明終
0195Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/14(月) 08:22:24X を分配束(過去スレ021の322)とする。
S を X の下向きの有向部分集合(過去スレ021の510)とする。
I を X のイデアルで S ∩ I = φ とする。
このとき I を含む X の素イデアル P で S ∩ P = φ となるものがある。
証明
Ψ = {J；J は A のイデアルで I ⊂ J かつ S ∩ J = φ} とおく。
I ∈ Ψ だから Ψ は空でない。
Φ を Ψ の空でない部分集合で包含関係に関して全順序集合になっているものとする。
L = ∪{J； J ∈ Φ} は X のイデアルで I ⊂ L である。
S ∩ L ≠ φ とすると S ∩ J ≠ φ となる J ∈ Φ があることになって矛盾である。
よって、L ∈ Φ である。
よって、Φ は帰納的な順序集合であるからZornの補題より Φ は極大元 P を持つ。
>>194より P は素イデアルである。
証明終
0196Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/14(月) 08:28:37X を分配束(過去スレ021の322)とする。
I を X のイデアルで a ∈ X - I とする。
このとき I を含む X の素イデアル P で a ∈ X - P となるものがある。
証明
a∧a = a であるから S = {a} は X の下向きの有向部分集合(過去スレ021の510)である。
よって本命題は>>195から得られる。
証明終
0197Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/14(月) 08:47:52X を束(過去スレ021の156)とする。
任意の a ∈ X に対して
V(a) = {P ∈ Spec(X) (>>178)； a ∈ P}
D(a) = Spec(X) - V(a)
とおく。
0198Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/14(月) 08:59:28X を束(過去スレ021の156)とする。
a、b ∈ X のとき、
V(a∧b) = V(a)∪V(b)
V(a∨b) = V(a)∩V(b)
a が補元(過去スレ021の369) a’を持てば
V(a’) = V(a)’
証明
V(a∧b) = V(a)∪V(b) と V(a∨b) = V(a)∩V(b) は明らかである。
V(a)∪V(a’) = V(a∧a’) = V(0) = Spec(X)
V(a)∩V(a’) = V(a∨a’) = V(1) = φ
よって、V(a’) = V(a)’
証明終
0199Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/14(月) 09:02:13X を束(過去スレ021の156)とする。
a、b ∈ X のとき、
D(a∧b) = D(a)∩D(b)
D(a∨b) = D(a)∪D(b)
a が補元(過去スレ021の369) a’を持てば
D(a’) = D(a)’
証明
>>198より明らかである。
0200Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/14(月) 12:01:58X を分配束(過去スレ021の322)とする。
I を X の任意のイデアルとする。
このとき、I = ∩{P ∈ Spec(X)；I ⊂ P}
証明
J = ∩{P ∈ Spec(X)；I ⊂ P} とおく。
a ∈ X - I なら>>196より I を含む X の素イデアル P で a ∈ X - P となるものがある。
よって、a ∈ X - J
即ち X - I ⊂ X - J である。
よって、J ⊂ I である。
逆の包含関係は明らかであるから I = J である。
証明終
0201Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/14(月) 12:14:18X を分配束(過去スレ021の322)とする。
Down(Spec(X)) を Spec(X) (>>178) の下集合の全体(過去スレ021の516)とする。
写像 ρ：X → Down(Spec(X)) を ρ(a) = D(a) (>>197) で定義する。
このとき ρ は束埋め込み(>>166)である。
証明
>>199より ρ は束の準同型(過去スレ021の193)である。
x、y ∈ X、D(x) = D(y) とする。
V(x) = V(y) (>>197)である。
単項イデアル(>>136) ↓x (過去スレ021の521)を含む素イデアル全体は V(x) であるから
>>200より ↓x = ∩{P ∈ V(x)}
よって、↓x = ↓y である。
よって、x = y である。
よって、ρ は単射である。
証明終
0202Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/14(月) 15:25:18X を有限な分配束(過去スレ021の322)とする。
Down(Spec(X)) を Spec(X) (>>178) の下集合の全体(過去スレ021の516)とする。
写像 ρ：X → Down(Spec(X)) を ρ(a) = D(a) (>>197) で定義する。
このとき ρ は束の同型である。
証明
>>201より ρ は束埋め込み(>>166)であるから ρ が全射であることを証明すればよい。
S = {P_1、．．．、P_n} を Down(Spec(X)) の空でない部分集合とする。
>>106より各 (P_i)^c は素フィルター(>>97)である。
>>138より各 (P_i)^c は単項フィルター(>>136) ↑a_i である。
a = ∨a_i とおく。
D(a) = S を証明しよう。
任意の P ∈ D(a) は P = (↑d)^c と書ける。
P ∈ D(a) ⇔ a ∈ P^c ⇔ a ∈ ↑d ⇔ d ≦ a ⇔ d ≦ a_i となる i がある
⇔ ↑a_i ⊂ ↑d ⇔ (↑d)^c ⊂ (↑a_i)^c ⇔ P ⊂ P_i ⇔ P ∈ S
よって、D(a) = S
一方、D(0) = φ であるから ρ は全射である。
証明終
0203Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/15(火) 07:50:04X を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
>>44より X は一般Boole環(>>5)と見なせる。
P を X の部分集合とする。
このとき、次の条件は同値である。
(1) P は束としての X の素イデアル(>>100)である。
(2) P は環としての X の素イデアルである。
証明
>>107より明らかである。
0204Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/15(火) 08:02:37X を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
Down(Spec(X)) を Spec(X) (>>178) の下集合の全体(過去スレ021の516)とする。
写像 ρ：X → Down(Spec(X)) を ρ(a) = D(a) (>>197) で定義する。
このとき ρ は一般Boole代数の単射準同型(>>29)である。
X がBoole代数(過去スレ021の336)のとき ρ はBoole代数の単射準同型(>>30)である。
証明
>>201より明らかである。
0205Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/15(火) 08:17:57X を有限な一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
P(Spec(X)) を Spec(X) (>>178) の冪集合とする。
写像 ρ：X → P(Spec(X)) を ρ(a) = D(a) (>>197) で定義する。
このとき ρ は束としての（従ってBoole代数としての）同型である。
証明
>>44より X は一般Boole環(>>5)と見なせる。
>>203と>>75より Spec(X) は X の極大イデアル(>>99)全体の集合である。
よって、本命題は>>202より明らかである。
証明終
0206Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/15(火) 08:20:39これは相補束(過去スレ021の330)でも成り立つ。
0207Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/15(火) 08:21:48X を相補束(過去スレ021の330)とする。
X の任意の素イデアルは極大イデアルである。
証明
P を X の素イデアルとする。
x ∈ X - P とする。
x の補元(過去スレ021の328)を y とする。
x∧y = 0 であるから y ∈ P である。
x∨y = 1 であるから (↓x)∨P= X
よって、P は極大イデアルである。
証明終
0208Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/15(火) 08:26:47命題(有限Boole代数の表現定理)
X を有限な一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
P(Spec(X)) を Spec(X) (>>178) の冪集合とする。
写像 ρ：X → P(Spec(X)) を ρ(a) = D(a) (>>197) で定義する。
このとき ρ は束としての（従ってBoole代数としての）同型である。
証明
>>44より X は一般Boole環(>>5)と見なせる。
>>153と>>203と>>75より Spec(X) は X の極大イデアル(>>99)全体の集合である。
よって、本命題は>>202より明らかである。
証明終
0209Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/15(火) 09:14:35X と Y を束(過去スレ021の156)とする。
f：X → Y を束としての準同型(過去スレ021の193)とする。
f(0) = 0、f(1) = 1 となるとき f を {0, 1}-準同型と言う。
0210Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/15(火) 09:36:25P を順序集合とする。
Down(P) を P の下集合の全体(過去スレ021の516)とする。
Down(P) は包含関係で束(過去スレ021の156)となる。
このとき、任意の a ∈ P に対して κ(a) = {D ∈ Down(P)；a ∈ P - D} は
Down(P) の素イデアル(>>100)である。
証明
φ ∈ κ(a) であるから κ(a) は空でない。
D ∈ κ(a)、D’⊂ D、D’∈ Down(P) なら a ∈ P - D’であるから D’∈ κ(a) である。
D、D’∈ κ(a) なら a ∈ D^c ∩ (D’)^c = (D∪D’)^c
よって、D∪D’∈ κ(a)
ここで D^c などは D の補集合を表す。
よって、κ(a) はDown(P)のイデアルである。
D、D’∈ Down(P)、D∩D’∈ κ(a) なら a ∈ (D∩D’)^c = D^c ∪ (D’)^c
よって、D ∈ κ(a) または D’∈ κ(a)
よって、κ(a) はDown(P)の素イデアルである。
証明終
0211Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/15(火) 10:40:54P を有限順序集合とする。
Down(P) を P の下集合の全体(過去スレ021の516)とする。
Down(P) は包含関係で束(過去スレ021の156)となる。
D を P の下集合(過去スレ021の516)とする。
このとき、以下の条件は同値である。
(1) D は Down(P) の∨既約元(過去スレ021の403)である。
(2) D は P の単項イデアル(>>136)である。
証明
(1) ⇒ (2)
D は有限な下集合だから D = ↓a_1∪．．．∪↓a_n となる。
D は∨既約であるから D = ↓a_i となる i がある。
(2) ⇒ (1)
D = ↓a とする。
D = D_1∪D_2、D_1、D_2 ∈ Down(P) とする。
a ∈ D_1∪D_2 より a ∈ D_1 または a ∈ D_2
よって、D_1 = ↓a または D_2 = ↓a
よって、D は∨既約である。
証明終
0212Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/15(火) 10:57:10P を順序集合とする。
Down(P) を P の下集合(過去スレ021の516)の全体とする。
Down(P) は包含関係で束(過去スレ021の156)となる。
任意の a ∈ P に対して κ(a) = {D ∈ Down(P)；a ∈ P - D} とおく。
>>210より、κ(a) ∈ Spec(Down(P)) (>>178)である。
このとき κ：P → Spec(Down(P)) は順序埋め込み(過去スレ021の227)である。
証明
任意の a ∈ P に対して ν(a) = {D ∈ Down(P)；a ∈ D} とおく。
κ(a) = ν(a)^c である(^c は補集合を表す)。
a、b ∈ P、a ≦ b とする。
ν(b) ⊂ ν(a) より κ(a) ⊂ κ(b)
逆に a、b ∈ P、κ(a) ⊂ κ(b) とする。
↓b ∈ ν(b)、ν(b) ⊂ ν(a) より ↓b ∈ ν(a)
よって、a ∈ ↓b
よって、a ≦ b
証明終
0213Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/15(火) 11:14:08P を有限順序集合とする。
Down(P) を P の下集合(過去スレ021の516)の全体とする。
Down(P) は包含関係で束(過去スレ021の156)となる。
任意の a ∈ P に対して κ(a) = {D ∈ Down(P)；a ∈ P - D} とおく。
>>210より、κ(a) ∈ Spec(Down(P)) (>>178)である。
このとき κ：P → Spec(Down(P)) は順序同型である。
証明
>>212より、κ が全射であることを証明すればよい。
π を Down(P) の素イデアルとする。
>>106より、π^c = Down(P) - π は素フィルターである。
Down(P) は有限集合であるから>>138より π^c は単項フィルターである。
π^c = ↑D とする。
π^c は素フィルターであるから D は Down(P) の∨素元(>>157)である。
>>161より D は Down(P) の∨既約元(過去スレ021の403)である。
よって、>>211より D = ↓a となる a ∈ P がある。
このとき π = κ(a) である。
証明終
0214Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/15(火) 13:53:29定義
X と Y を有界な束(過去スレ021の156)とする。
f：X → Y を束としての準同型(過去スレ021の193)とする。
f(0) = 0、f(1) = 1 となるとき f を {0, 1}-準同型と言う。
0215Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/15(火) 14:34:47任意の a ∈ P に対して a ∈ ↓a ∈ Down(P)
よって、κ(a) ≠ Down(P) である。
0216Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/15(火) 14:39:40X と Y を有界な束(過去スレ021の156)とする。
f：X → Y を{0, 1}-準同型(>>214)とする。
P を Y の任意の素イデアル(>>100)とする。
このとき f^(-1)(P) は X の素イデアルである。
証明
f(0) ∈ P より、0 ∈ f^(-1)(P) であるから f^(-1)(P) は空でない。
過去スレ021の589より f^(-1)(P) は X の下集合(過去スレ021の516)である。
x、y ∈ f^(-1)(P) とする。
f(x∨y) = f(x)∨f(y) ∈ P
よって、x∨y ∈ f^(-1)(P)
よって、f^(-1)(P) は X のイデアル(過去スレ021の527)である。
P ≠ Y だから f(1) = 1 は P に含まれない。
よって、1 は f^(-1)(P) に含まれない。
よって f^(-1)(P) ≠ X である。
x∧y ∈ f^(-1)(P) とする。
f(x∧y) = f(x)∧f(y) ∈ P
よって、f(x) ∈ P または f(y) ∈ P
よって、x ∈ f^(-1)(P) または y ∈ f^(-1)(P)
以上から f^(-1)(P) は X の素イデアルである。
証明終
0217Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/15(火) 15:05:43FinPoset を有限順序集合とその間の単調増加写像全体のなす圏とする。
f：X → Y を FinDLat における射とする。
>>216より、写像 f^(-1)：Spec(Y) → Spec(X) が得られる。
f^(-1) は明らかに FinPoset における射である。
よって、関手 Spec：FinDLat → (FinPoset)^o が得られる。
ここで、(FinPoset)^o はFinPosetの双対圏(過去スレ017の352)である。
逆に g：S → T を FinPoset における射とする。
過去スレ021の589より 写像 g^(-1)：Down(T) → Down(S) (過去スレ021の516)が得られる。
g^(-1) は明らかに FinDLat における射である。
よって、関手 Down：(FinPoset)^o → FinDLat が得られる。
>>202より合成関手 Down・Spec は単位関手 1_FinDLat に自然同型(過去スレ018の144)である。
>>213より合成関手 Spec・Down は単位関手 1_(FinPoset)^o に自然同型である。
よって、FinDLat と (FinPoset)^o は圏同値(過去スレ017の404)である。
0218Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/15(火) 16:01:05この種の双対定理で最初に発見されたものはStoneによるBoole代数と完全不連結なコンパクト空間の間の
双対定理である。
0219１３２人目の素数さん
2011/02/15(火) 16:24:310220１３２人目の素数さん
2011/02/16(水) 00:57:140221Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 07:36:33Stoneの表現定理(>>204)よりBoole代数の単射準同型 ρ：A → Down(Spec(A)) が得られる。
>>44より A はBoole環(>>6)と見なせる。
よって Spec(A) にはZariski位相(>>48)が入る。
この位相について調べてみよう。
0222Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 07:47:02A を単位元を持つ可換環とする。
A の素イデアル全体の集合をSpec(A)と書く(過去スレ001の81)。
S を A の部分集合とする。
V(S) = {P ∈ Spec(A)； S ⊂ P} と書く。
D(S) = Spec(A) - V(S) と書く。
0223Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 07:52:08A を単位元を持つ可換環とする。
a ∈ A のとき
V({a}) (>>222) を V(a) と書く。
D({a}) (>>222) を D(a) と書く。
a_1、．．．、a_n ∈ A のとき
V({a_1、．．．、a_n}) (>>222)を V(a_1、．．．、a_n) と書く。
D({a_1、．．．、a_n}) (>>222)を D(a_1、．．．、a_n) と書く。
0224Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 08:04:57A を単位元を持つ可換環とする。
>>222の記法の下で以下が成り立つ。
(1) V(0) = Spec(A)、V(1) = φ
(2) S ⊂ T ⊂ A のとき V(T) ⊂ V(S)
(3) S を A の部分集合とし、(S) を S で生成されるイデアルとする。
このとき V(S) = V((S)) である。
(4) (S_i), i ∈ I を A の部分集合の族とする。
このとき V(∪S_i) = ∩V(S_i) である。
(5) (J_i), i ∈ I を A のイデアルの族とする。
このとき V(ΣJ_i) = ∩V(J_i) である。
証明
自明である。
0225Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 08:07:57A を単位元を持つ可換環とする。
>>222の記法の下で以下が成り立つ。
(1) D(0) = φ、D(1) = Spec(A)
(2) S ⊂ T ⊂ A のとき D(S) ⊂ D(T)
(3) S を A の部分集合とし、(S) を S で生成されるイデアルとする。
このとき D(S) = D((S)) である。
(4) (S_i), i ∈ I を A の部分集合の族とする。
このとき D(∪S_i) = ∪D(S_i) である。
(5) (J_i), i ∈ I を A のイデアルの族とする。
このとき D(ΣJ_i) = ∪D(J_i) である。
証明
>>224から明らかである。
0226Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 08:18:33A を単位元を持つ可換環とする。
I と J を A のイデアルとし、P を A の素イデアルとする。
このとき、IJ ⊂ P ⇒ I ⊂ P または J ⊂ P
証明
I ⊂ P でないとする。
I - P の元 a がある。
aJ ⊂ P より J ⊂ P である。
証明終
0227Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 08:25:35A を単位元を持つ可換環とする。
I と J を A のイデアルとする。
このとき>>222の記法の下で以下が成り立つ。
(1) V(IJ) = V(I)∪V(J)
(2) D(IJ) = D(I)∩D(J)
証明
(2) は (1)から明らかであるから (1) のみを証明すればよい。
IJ ⊂ I、IJ ⊂ J と>>224の(2)より V(I)∪V(J) ⊂ V(IJ)
他方、>>226より、V(IJ) ⊂ V(I)∪V(J)
証明終
0228１３２人目の素数さん
2011/02/16(水) 08:31:580229Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 10:21:28A を単位元を持つ可換環とする。
I を A のイデアルとする。
rad(I) を I の根基(過去スレ001の164)とする。
即ち rad(I) は mod I で冪零となる A の元全体である。
このとき V(I) = V(rad(I)) である。
証明
I ⊂ rad(I) と>>224の(2)より V(rad(I)) ⊂ V(I)
P ∈ V(I) のとき任意の x ∈ rad(I) に対して x^n ∈ I ⊂ P となる n がある。
よって、x ∈ P である。
よって、rad(I) ⊂ P である。
よって、V(I) ⊂ V(rad(I)) である。
証明終
0230Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 10:25:40A を単位元を持つ可換環とする。
Y を Spec(A) (>>222) の任意の部分集合とする。
I(Y) = ∩{P；P ∈ Y} と書く。
0231Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 10:43:50A を単位元を持つ可換環とする。
P(A) を A の冪集合とする。
P(A) を包含関係により順序集合と見なす。
P(Spec(A)) を Spec(A) (>>222) の冪集合とする。
P(Spec(A)) を包含関係により順序集合と見なす。
(P(Spec(A)))^o を P(Spec(A)) の双対順序集合(過去スレ021の168)とする。
写像 V：P(A) → (P(Spec(A)))^o を S ∈ P(A) に V(S) (>>222) を対応させる写像とする。
写像 I：(P(Spec(A)))^o → P(A) を Y ∈ (P(Spec(A)))^o に I(Y) (>>230) を対応させる写像とする。
このとき、(P(A), V, I, (P(Spec(A))^o) はGalois対応(過去スレ021の642)である。
証明
S ∈ P(A)、Y ∈ P(Spec(A) のとき
V(S) ⊃ Y ⇔ S ⊂ I(Y)
を確かめればよいが、これは V(S) と I(Y) の定義から明らかである。
証明終
0232Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 11:58:29A を単位元を持つ可換環とする。
Y を Spec(A) (>>222) の任意の部分集合とする。
このとき、>>222と>>230の記法で V(I(Y)) は Y の閉包である。
証明
>>231より、(P(A), V, I, (P(Spec(A))^o) はGalois対応(過去スレ021の642)である。
過去スレ021の663より、VI：P(Spec(A)) → P(Spec(A)) は閉包作用子であり、
V(P(A)) は VI に関する閉元全体である。
Zariski位相の定義より V(P(A)) は Spec(A) の閉集合全体であるから
V(I(Y)) は Y の閉包である。
証明終
0233Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 11:59:43A を単位元を持つ可換環とする。
I を A のイデアルとする。
I = rad(I) (>>229) となるとき I を根基イデアルと言う。
0234Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 12:09:02A を単位元を持つ可換環とする。
写像 V：P(A) → P(Spec(A)) を S ∈ P(A) に V(S) (>>222) を対応させる写像とする。
写像 I：P(Spec(A)) → P(A) を Y ∈ P(Spec(A)) に I(Y) (>>230) を対応させる写像とする。
A の根基イデアル全体(>>233)を R(A) とする。
Spec(A) (>>222) の閉集合全体を C(A) とする。
写像 V の R(A) への制限を V^* とする。
写像 I の C(A) への制限を I^* とする。
このとき V^* は全単射であり I^* はその逆写像である。
証明
>>231より、(P(A), V, I, (P(Spec(A))^o) はGalois対応(過去スレ021の642)である。
よって、過去スレ021の696より本命題が得られる。
証明終
0235Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 12:19:48A を単位元を持つ可換環とする。
A がNoether環であれば Spec(A) はNoether空間(過去スレ001の214)である。
即ち Spec(A) の閉集合全体は包含関係に関して極小条件(過去スレ021の397)を満たす。
証明
>>234の写像 V^* は単調減少であることから明らかである。
0236Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 12:50:46A を単位元を持つ可換環とする。
P を A の素イデアルとする。
{P} の Spec(A) における閉包は V(P) (>>222) である。
よって、 P が極大イデアル ⇔ {P} が閉集合
証明
>>232より明らかである。
0237Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 13:19:47A を単位元を持つ可換環とする。
Spec(A) は T_0 空間(過去スレ018の223)である。
証明
Spec(A) の部分集合 T の閉包を cl(T) と書く。
P、Q ∈ Spec(A)、cl({P}) = cl({Q}) とする。
>>236より V(P) = V(Q) である。
よって、P ⊂ Q かつ Q ⊂ P となり P = Q である。
よって、過去スレ021の738より Spec(A) は T_0 空間である。
証明終
0238Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 13:59:01A を単位元を持つ可換環とする。
任意の a ∈ A に対して D(a) (>>223) は Spec(A) の部分空間として
準コンパクト(過去スレ006の104)である。
証明
>>225の(4)より、D(b)、b ∈ A の形の集合全体は Spec(A) のZariski位相(過去スレ001の160)の
開集合の基底である。
(a_λ)、λ ∈ Λ を A の元の族で D(a) ⊂ ∪{D(a_λ)；λ∈Λ} とする。
(a_λ)、λ ∈ Λ で生成される A のイデアルを I とする。
>>225より D(I) = ∪D(a_λ) である。
よって、D(a) ⊂ D(I)
よって、V(I) ⊂ V(a)
よって、IV(a) ⊂ IV(I) (>>230)
よって、rad(aA) ⊂ rad(I) (>>72)
よって、a^n ∈ I となる n がある。
よって、Λ の有限部分集合 Γ があり J を (a_λ)、λ ∈ Γ で生成されるイデアルとしたとき
a^n ∈ J となる。
V(J) ⊂ V(a^n) = V(a) であるから D(a) ⊂ D(J) = ∪{D(a_λ)；λ∈Γ}
よって、D(a) は準コンパクトである。
証明終
0239Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 15:29:23A と B を単位元を持つ可換環とする。
f：A → B を準同型とする（f(1) = 1 とする）。
任意の P ∈ Spec(B) に対して f^(-1)(P) ∈ Spec(A) である。
写像 ψ：Spec(B) → Spec(A) を ψ(P) = f^(-1)(P) により定義する。
このとき、任意の E ⊂ A に対して ψ^(-1)(D(E)) = D(f(E)) である。
特に任意の a ∈ A に対して ψ^(-1)(D(a)) = D(f(a)) である。
証明
任意の P ∈ Spec(B) に対して A/f^(-1)(P) は B/P に同型である。
よって、f^(-1)(P) ∈ Spec(A) である。
次に任意の E ⊂ A に対して ψ^(-1)(V(E)) = V(f(E)) を証明すればよい。
P ∈ ψ^(-1)(V(E)) ⇔ f^(-1)(P) ∈ V(E) ⇔ E ⊂ f^(-1)(P) ⇔ f(E) ⊂ P ⇔ P ∈ V(f(E))
よって、ψ^(-1)(V(E)) = V(f(E)) である。
証明終
0240Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 15:40:14命題
A と B を単位元を持つ可換環とする。
f：A → B を準同型とする（f(1) = 1 とする）。
任意の P ∈ Spec(B) に対して f^(-1)(P) ∈ Spec(A) である。
写像 ψ：Spec(B) → Spec(A) を ψ(P) = f^(-1)(P) により定義する。
このとき、任意の E ⊂ A に対して ψ^(-1)(D(E)) = D(f(E)) である。
特に任意の a ∈ A に対して ψ^(-1)(D(a)) = D(f(a)) である。
よって、ψ は連続である。
証明
任意の P ∈ Spec(B) に対して π：B → B/P を標準射とする。
g = πf：A → B/P とおく。
Ker(g) = f^(-1)(P) である。
よって、A/f^(-1)(P) は g(A) に同型である。
一方、g(1) = 1 で B/P ≠ 0 であるから g(A) ≠ 0 である。
よって、f^(-1)(P) ≠ A である。
よって、f^(-1)(P) ∈ Spec(A) である。
次に任意の E ⊂ A に対して ψ^(-1)(V(E)) = V(f(E)) を証明すればよい。
P ∈ ψ^(-1)(V(E)) ⇔ f^(-1)(P) ∈ V(E) ⇔ E ⊂ f^(-1)(P) ⇔ f(E) ⊂ P ⇔ P ∈ V(f(E))
よって、ψ^(-1)(V(E)) = V(f(E)) である。
証明終
0241Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 15:43:09f(1) = 1 となることが必要である。
0242Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 15:54:42(CommRng)^o をCommRngの双対圏(過去スレ017の352)とする。
Top_0 を T_0 位相空間(過去スレ018の223)と連続写像の圏とする。
f：A → B をCommRngにおける射とする。
>>237より、A ∈ CommRng に対して Spec(A) ∈ Top_0 である。
A ∈ CommRng に Spec(A) ∈ Top_0 を対応させ、
f：A → B に>>240の射 ψ：Spec(B) → Spec(A) を対応させることにより
関手 Spec：(CommRng)^o → Top_0 が得られる。
0243１３２人目の素数さん
2011/02/16(水) 17:29:19また、そのための問題点はどこにあるのか？ 大前研一氏が解説する。
「英語力」における中国人の向上ぶりは顕著だ。最近、中国を訪れた外国人が驚くのが、
英語に堪能な中国人が急増していることだ。私自身も、中国を訪れる度にそれを実感している。
以前、CCTV（中国中央電視台）に出演した時、流暢な英語を話すスタッフに
「何年留学したの？」と訊いたら、「一度も国外に出たことはありません」という答えが返ってきた。
彼らの多くはアメリカのテレビ番組を見たり、無料インターネット通話のスカイプ（Skype）による
1か月100ドルで英語が喋り放題のフィリピンの英会話トレーニングサービスを利用したりして、
ひたすら国内で英語力を磨いているのだ。
5年以内に中国で英語を喋る人の数がアメリカを抜く、というジョークのような話も耳にするが、
あながち的外れではないかもしれない。
かたや日本では、英語教員のTOEICの平均スコアが中学560 点、高校620点という統計がある。
文部科学省はすべての英語教員に730点以上を求めているが、たとえば韓国でトップ5の大学に
合格するには800点以上が必要だ。
つまり、日本の中学・高校の英語教員は、海外では“教わるレベル”であり、
そういう人が教えているのだから、日本人の英語力が上がらないのもむべなるかな、である。
http://www.news-postseven.com/archives/20110216_12823.html
0244Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 19:58:26A を単位元を持つ可換環とする。
I を A のイデアルとする。
f：A → A/I を標準写像とする。
写像 ψ：Spec(A/I) → Spec(A) を ψ(P) = f^(-1)(P) により定義する(>>240参照)。
このとき ψ は Spec(A/I) と V(I) (>>222) の位相同型を引き起こす。
証明
ψ が Spec(A/I) から V(I) への全単射 φ を引き起こすことは明らかである。
>>240より φ は連続である。
Spec(A/I) の任意の閉集合は V(J/I) の形である。
ここで J は A のイデアルで I ⊂ J である。
このとき φ(V(J/I)) = V(J) ⊂ V(I) である。
よって、φ は閉写像である。
よって、φ は位相同型である。
証明終
0245Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 20:29:53X を位相空間とする。
X の各連結成分が１点のみからなるとき X を完全不連結(totally disconnected)と言う。
0246Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 20:30:57A をBoole環(>>6)とする。
任意の a ∈ A に対して b = 1 + a とおく。
このとき、D(a) ∩ D(b) = φ かつ Spec(A) = D(a) ∪ D(b) である。
証明
ab = 0 である。
よって、>>227より、D(a) ∩ D(b) = D(ab) = D(0) = φ
他方、a + b = 1 と>>225より、D(a) ∪ D(b) = D(a, b) = D(1) = Spec(A)
証明終
0247Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 20:55:11A をBoole環(>>6)とする。
Spec(A) (>>222) は完全不連結(>>245)なコンパクト空間である。
証明
>>238より Spec(A) は準コンパクトである。
P, Q ∈ Spec(A)、P ≠ Q とする。
>>75より P と Q は極大イデアルである
よって、Q ⊂ P では有り得ない。
よって、a ∈ Q、a ∈ Spec(A) - P となる a ∈ A がある。
即ち P ∈ D(a)、Q ∈ Spec(A) - D(a)
一方、>>246より Spec(A) - D(a) は開集合である。
よって、Spec(A) はHausdorff空間である。
任意の P ∈ Spec(A) に対して P を含む Spec(A) の連結成分を S とする。
S が P 以外の点 Q を含むとする。
上記より P ∈ D(a)、Q ∈ Spec(A) - D(a) となる a ∈ A がある。
V = Spec(A) - D(a) とおく。
V は開集合である。
S = (S ∩ D(a))∪(S ∩ V) であるが、D(a) と V は交わらないから S が連結であることに矛盾する。
よって、Spec(A) は完全不連結である。
証明終
0248Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 20:58:50完全不連結(>>245)なコンパクト空間をStone空間と言う。
0249Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/17(木) 05:59:34X を位相空間とする。
X の開かつ閉な部分集合全体は X 上の集合代数(過去スレ007の196)である。
証明
自明である。
0250Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/17(木) 06:44:15X を位相空間とする。
任意の x、y ∈ X、x ≠ y に対して x ∈ U、y ∈ X - U となる開かつ閉な U があるとき
X を完全分離(totally separated)と言う。
0251Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/17(木) 06:56:40X を位相空間とする。
X の開かつ閉な部分集合全体が X の開集合の基底となるとき０次元(zero-dimensional)と言う。
即ち X の任意の点 x と x ∈ U となる開集合 U に対して x ∈ V ⊂ U となる開かつ閉な V が
存在するとき X を０次元と言う。
0252Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/17(木) 07:07:27定義
X を位相空間とする。
X の開かつ閉な部分集合全体が X の開集合の基底となるとき X を０次元(zero-dimensional)と言う。
即ち X の任意の点 x と x ∈ U となる任意の開集合 U に対して
x ∈ V ⊂ U となる開かつ閉な V が存在するとき X を０次元と言う。
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています