>>117の別証明

命題
X を分配束(過去スレ021の322)とする。
I を X の極大イデアル(>>99)とする。
このとき I は素イデアル(>>100)である。

証明
a と b を X の元で a ∈ X - I、ab ∈ I とする。
I は極大イデアルだから X = I∨↓a
よって、b ∈ I∨↓a
一方、>>115より、I∨↓a = {x ∈ X；x ≦ c∨a となる c ∈ I がある}
よって、b ≦ c∨a となる c ∈ I がある。
b = b∧(c∨a) = (b∧c)∨(b∧a) ∈ I
よって、I は素イデアルである。
証明終