命題
X を上半束(過去スレ021の115)で昇鎖律(過去スレ021の395)を満たすとする。
A を X の任意の空でない部分集合とする。
このとき A の空でない有限部分集合 F_0 があり sup A = ∨F_0 となる。

証明
過去スレ021の398より {∨F；F は A の空でない有限部分集合} は極大元 ∨F_0 を持つ。
任意の x ∈ A に対して F = (F_0)∨x とおく。
∨F_0 ≦ ∨F より ∨F_0 = ∨F である。
よって x ∈ ∨F_0 である。
よって、∨F_0 は A の最大元である。
よって、sup A = ∨F_0 である。
証明終