命題
X を上半束(過去スレ021の115)とする。
I と J を X のイデアル(過去スレ021の527)とする。
L = {x ∈ X； x ≦ a∨b となる a ∈ I、b ∈ J がある} とおく。
L は I と J を含む最小のイデアルである。

証明
S = {a∨b；a ∈ I、b ∈ J} とおく。
I は空でないから a_0 ∈ I となる元 a_0 がある。
同様に b_0 ∈ J となる元 b_0 がある。
(a_0)∨(b_0) ∈ S だから S は空でない。
S は上向きの有向部分集合(過去スレ021の510)である。
よって、>>112より L は S を含む最小のイデアル(過去スレ021の527)である。
任意の a ∈ I に対して a ≦ a∨(b_0) だから a ∈ L である。
よって、I ⊂ L である。
同様に J ⊂ L である。

I と J を含むイデアルは S を含むから L を含む。
よって、L は I と J を含む最小のイデアルである。
証明終