命題
X と Y を上半束(過去スレ021の115)とする。
f:X → Y を準同型(過去スレ021の144)とする。
Y が最小元 0 を持つとき Ker(f) (>>125) は空でなければ X のイデアル(過去スレ021の527)である。

証明
Ker(f) が>>123の条件を満たすことを示せばよい。

(1) 仮定より、Ker(f) は空でない。

(2) x ∈ Ker(f)、y ≦ x なら過去スレ021の147より f(y) ≦ f(x) = 0
よって、y ∈ Ker(f)

(3) x、y ∈ Ker(f) なら f(x∨y) = f(x)∨f(y) = 0∨0 = 0
よって、x∨y ∈ Ker(f)
証明終