補題
X を分配束(過去スレ021の322)とする。
I を X のイデアル(過去スレ021の527)とする。
a、b ∈ X のとき、(I∨↓a)∩(I∨↓b) ⊂ I∨↓(a∧b) である。
ここで ↓a = {x ∈ X； x ≦ a} であり(過去スレ021の521)、
I∨↓a は I と ↓a を含む最小のイデアルである(>>115)。

証明
>>115より、
I∨↓a = {z ∈ X；z ≦ x∨a、x ∈ I}
I∨↓b = {z ∈ X；z ≦ x∨b、x ∈ I}

よって、任意の z ∈ (I∨↓a)∩(I∨↓b) に対して
z ≦ x∨a、z ≦ y∨b となる x、y ∈ I がある。
よって、z ≦ (x∨a)∧(y∨b)

一方、分配律より
(x∨a)∧(y∨b) = ((x∨a)∧y)∨((x∨a)∧b) = (x∧y)∨(a∧y)∨(x∧b)∨(a∧b) ∈ I∨↓(a∧b)

よって、z ∈ I∨↓(a∧b)
即ち、(I∨↓a)∩(I∨↓b) ⊂ I∨↓(a∧b) である。
証明終