命題
X を前順序集合(過去スレ008の139)とする。
S を X の上向きの有向部分集合(過去スレ021の510)とする。
このとき↓S(過去スレ021の519)は S を含む最小のイデアル(過去スャ021の527)である。

証明
S は有向部分集合であるから空ではない。
過去スレ021の520より↓S = {x ∈ X； x ≦ s となる s ∈ S がある} である。
過去スレ021の530より↓S はイデアルである。
明らかに S ⊂↓S である。
S を含むイデアルは↓S を含む。
よって、↓S は S を含む最小のイデアルである。
証明終