命題
X を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
>>44より X は一般Boole環(過去スレ021の336)と見なせる。
I を X の部分集合とする。
I が順序集合としての X のイデアル(過去スレ021の527)であるためには
I が環としての X のイデアルであることが必要十分である。

証明
必要性：
I が順序集合としての X のイデアルであるとする。
>>103より、a、b ∈ I なら a∨b ∈ I である。
a + b ≦ a∨b であるから a + b ∈ I である。
よって、>>103の(2)より I は環としての X のイデアルである。

十分性：
I が環としての X のイデアルであるとする。
a、b ∈ I なら a∨b = a + b + ab ∈ I である。
a ∈ I、c ∈ X なら a∧c = ac ∈ I である。
よって、>>103より、I は順序集合としての X のイデアルである。
証明終