命題
X を束(過去スレ021の156)とする。
I を X のイデアル(過去スレ021の527)とする。
このとき、
I が素イデアル(>>100) ⇔ X - I が素フィルター(>>97)

証明
F = X - I とおく。

I が素イデアルであるとする。
最初に F が>>102の条件を満たすことを証明する。

(1) I ≠ φ であるから F ≠ X である。

(2) I は下集合(過去スレ021の516)であるから過去スレ021の518より
F は上集合(過去スレ021の517)である。

(3) a、b ∈ F ⇒ a∧b ∈ F は I が素イデアルであることから明らかである。

以上から F はフィルターである。

a、b ∈ F、a∨b ∈ F とする。
>>103より a、b ∈ P なら a∨b ∈ P である。
よって、a ∈ F または b ∈ F でなければならない。
よって、F は素フィルターである。

双対的に F が素フィルターなら I は素イデアルである。
証明終