代数的整数論 022
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0001１３２人目の素数さん
2011/02/06(日) 09:59:53Kummer ◆IxIr9aihfg（旧g2BU0D6YN2）が代数的整数論を語るスレです。
現在は代数的整数論の準備をしています。
代数的整数論のみに興味ある方はこのスレは必要になった段階で
参照することをお勧めします。
ただし、このスレが終了すると見れなくなる恐れがあるので、
適時チェックして内容をセーブしたほうが良いでしょう。
内容についてわからないことがあったら遠慮なく
質問してください。
その他、内容についてのご意見は歓迎します。
例えば、誤りの指摘、証明の改良など。
なお、このスレの主題に直接関係のないコメントについては
原則としてレスはしません（たとえそれが励ましの言葉であっても）。
0002１３２人目の素数さん
2011/02/06(日) 10:00:26001: http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1126510231/
002: http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1132643310/
003: http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1141019088/
004: http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1164286624/
005: http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1173998720/
006: http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1185363461/
007: http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1187904318/
008: http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1189335756/
009: http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1195560105/
010: http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1208646742/
011: http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212143770/
012: http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1246160488/
013: http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1247494646/
014: http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1251012346/
015: http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1255385658/
016: http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1262085373/
017: http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1264907022/
018: http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1268013108/
019: http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1269467269/
020: http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1273981720/
021: http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1293105173/
0003Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/06(日) 10:17:18Φ は集合環(過去スレ007の189)であるから
包含関係を順序とする一般Boole代数(過去スレ021の373)である。
過去スレ021で束論の基礎について述べたのはそれを測度論に応用するためであった。
束論の基礎としてはまだ述べるべきことは多いがこれから（一般）Boole代数について
述べることにする。
0004Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/06(日) 10:42:06X を集合とする。
X の冪集合 P(X) のBoole代数としての性質を調べよう。
A ∈ P(X) の特性関数 χ_A は X から X から２元体 F = Z/2Z = {0, 1} への写像と見なされる。
よって、A と χ_A を同一視することにより、
P(X) は X から F への写像全体の集合 F^X と同一視される。
f, g ∈ F^X のとき f + g ∈ F^X および fg ∈ F^X を
(f + g)(x) = f(x) + g(x)、(fg)(x) = f(x)g(x) により定義する。
この算法により F^X は単位元を持つ可換環となる。
A, B ∈ P(X) のとき F^X において
χ_A + χ_B = χ_(AΔB)、(χ_A)(χ_B) = χ_(A∩B) である。
ここで AΔB は A と B の対称差、即ち (A - B)∪(B - A) である。
よって、P(X) は AΔB を加法とし、A∩B を積とすることにより F^X と同型な可換環となる。
この環は任意の A ∈ P(X) に対して A^2 = A となる性質を持つ。
0005Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/06(日) 10:49:19A を単位元を持つとは限らない環とする。
任意の a ∈ A に対して a^2 = a となるとき A を一般Boole環(generalized Boolean ring)と言う。
0007Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/06(日) 10:54:37A を一般Boole環(>>5)とする。
任意の a ∈ A に対して a + a = 0 である。
証明
a + a = (a + a)(a + a) = a^2 + a^2 + a^2 + a^2 = a + a + a + a
よって、a + a = 0
証明終
0008Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/06(日) 10:56:33一般Boole環(>>5)は可換環である。
証明
a, b ∈ A に対して
a + b = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a + b + ab + ba
よって、ab + ba = 0
一方、>>5より、ab + ab = 0
よって、ab = ba
証明終
0009Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/06(日) 11:00:14簡単なことだがこの事実は重要である。
0010Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/06(日) 11:49:14A を一般Boole環(>>5)とする。
A の任意の部分環は一般Boole環である。
証明
自明である。
0011Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/06(日) 11:50:16A を一般Boole環(>>5)とする。
A の任意のイデアル I に対して A/I は一般Boole環である。
証明
自明である。
0013Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/06(日) 12:17:59X を集合とする。
F を２元体 {0, 1} とする。
X から F への写像全体の集合を F^X と書く。
f、g ∈ F^X のとき f + g ∈ F^X と fg ∈ F^X を
各 x ∈ X に対して
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(fg)(x) = f(x)g(x)
で定義する。
このとき F^X はBoole環(>>6)である。
0014Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/06(日) 12:25:30X を集合とする。
F を２元体 {0, 1} とする。
f を X から F への写像とする。
X の部分集合 {x ∈ X；f(x) = 1} を f の台と言い S(f) と書く。
F^(X) = {f ∈ F^X； S(f) が有限集合} と書く。
F^(X) は F^X の（単位元をもつとは限らない）部分環である。
>>13より F^X はBoole環(>>6)であるから>>10より F^(X) は一般Boole環(>>5)である。
0015Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/06(日) 13:34:40零因子を持たない一般Boole環で零環 0 でないものは２元体 {0, 1} に同型である。
証明
A ≠ 0 を零因子を持たない一般Boole環とする。
a ≠ 0 を A の任意の非零元とする。
b を A の任意の元とする。
a(b + ab) = ab + (a^2)b = ab + ab = 0
よって、b + ab = 0
よって、ab = -b = b
よって、a は A の単位元 1 である。
よって、A = {0, 1}
証明終
0016Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/06(日) 17:42:34X をBoole代数(>>336)とする。
a, b ∈ X のとき a＼b = a∧b’と書く。
ここで b’は b の補元(過去スレ021の328)である。
0017Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/06(日) 17:47:33X をBoole代数(>>336)とする。
a, b ∈ X のとき aΔb = (a＼b)∨(b＼a) と書き a と b の対称差(symmetric difference)と言う。
aΔb は a + b とも書く場合がある。
0018Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/06(日) 18:11:20X をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
X は対称差(>>17) Δ を加法とし、交わり∧を乗法とすることによりBoole環(>>6)となる。
証明
a, b, c ∈ X とする。
(aΔb)Δc = ((aΔb)∧c’)∨((aΔb)’∧c)
= (((a∧b’)∨(b∧a’))∧c’)∨(((a’∨b)∧(b’∨a))∧c)
= (a∧b’∧c’)∨(a’∧b∧c’) ∨ ((a’∨b)∧b’)∨((a’∨b)∧a))∧c)
= (a∧b’∧c’)∨(a’∧b∧c’) ∨ ((a’∧b’)∨(b∧a))∧c)
= (a∧b’∧c’)∨(a’∧b∧c’) ∨ ((a’∧b’∧c)∨(a∧b∧c)
この右辺は a, b, c に関して対象だから aΔ(bΔc) に等しい。
aΔb = bΔa
aΔ0 = (a∧1)∨(0∧a’) = a∨0 = a
よって 0 は加法の単位元である。
aΔa = 0 であるから加法にかんする a の逆元は a である。
以上から L はΔ を加法とするアーベル群である。
c∧(aΔb) = c∧((a∧b’)∨(b∧a’)) = (c∧a∧b’)∨(c∧b∧a’)
(c∧a)Δ(c∧b) = ((c∧a)∧(c’∨b’))∨((c’∨a’)∧(c∧b)) = (c∧a∧b’)∨(c∧b∧a’)
よって、c∧(aΔb) = (c∧a)Δ(c∧b)
即ち加法分配法則が成り立つ。
a∧b = b∧a
a∧1 = 1∧a
よって、X は 1 を単位元とする可換環である。
a∧a = a であるから X はBoole環である。
証明終
0019Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/06(日) 18:53:54>X をBoole代数(>>336)とする。
X をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
0020Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/06(日) 19:09:30X を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
a, b ∈ X とする。
a ≦ c、b ≦ c となる c ∈ X がある（例えば c = a∨b）。
b’を b の区間 [0, c] における相対補元(過去スレ021の363)とする。
このとき a∧b’は c のとり方によらない。
証明
a ≦ d、b ≦ d とし b”を b の区間 [0, d] における相対補元とする。
a∧b’= a∧b”を示せばよい。
d を c∨d で置き換えることにより c ≦ d と仮定してよい。
b∧(c∧b”) = b∧b”= 0
b∨(c∧b”) = (b∨c)∧(b∨b”) = c∧d = c
よって、c∧b”は b の [0, c] における相対補元である。
分配束(過去スレ021の322)における相対補元の一意性(過去スレ021の324)より
c∧b”= b’である。
よって、a∧b’= a∧(c∧b”) = a∧b”
証明終
0021Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/06(日) 19:12:28X を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
a, b ∈ X のとき a ≦ c、b ≦ c となる c ∈ X がある（例えば c = a∨b）。
b’を b の区間 [0, c] における相対補元(過去スレ021の363)とする。
>>20より a∧b’は c のとり方によらない。
このとき、a＼b = a∧b’と書く。
0022Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/06(日) 19:13:39X を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
a, b ∈ X のとき aΔb = (a＼b)∨(b＼a) と書き a と b の対称差(symmetric difference)と言う。
aΔb は a + b とも書く場合がある。
0023Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/06(日) 19:20:26X を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
X は対称差(>>22) Δ を加法とし、交わり∧を乗法とすることにより一般Boole環(>>5)となる。
証明
a, b, c ∈ X とする。
区間 [0, a∨b∨c] はBoole代数(過去スレ021の336)である。
よって>>18より本命題が得られる。
証明終
0024Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/06(日) 19:28:55X を一般Boole環(>>5)とする。
a、b ∈ X、a = ab のとき a ≦ b と定義することにより X は順序集合となる。
証明
a、b、c ∈ X とする。
(1) a = aa より a ≦ a
(2) a ≦ b かつ b ≦ a なら a = ab かつ b = ba
>>8より X は可換環であるから a = b
(3) a ≦ b かつ b ≦ c なら a = ab かつ b = bc
よって、a = (ab)(bc) = abc = ac
よって、a ≦ c
証明終
0025Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/06(日) 19:52:18X を一般Boole環(>>5)とする。
X は>>24で定義した順序により束(過去スレ021の156)になる。
a、b ∈ X のとき ab = a∧b、a + b + ab = a∨b である。
証明
a、b ∈ X とする。
ab = (ab)a であるから ab ≦ a
同様に ab ≦ b
c ≦ a、c ≦ b とする。
c = ca、c = cb である。
c = c^2 = (ca)(cb) = cab
よって、c ≦ ab
以上から ab = a∧b である。
次に a + b + ab = a∨b を証明しよう。
a(a + b + ab) = a + ab + ab = a
よって、a ≦ a + b + ab
同様に b ≦ a + b + ab
a ≦ c、b ≦ c とする。
a = ac、b = bc である。
(a + b + ab)c = ac + bc + abc = a + b + ab
よって、a + b + ab ≦ c
以上から a + b + ab = a∨b である。
証明終
0026１３２人目の素数さん
2011/02/06(日) 21:35:402NN - 2ちゃんねるニュース速報+ナビゲーター
http://www.2nn.jp/
0027Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/06(日) 21:58:32X を一般Boole環(>>5)とする。
X は>>24で定義した順序により一般Boole代数(過去スレ021の373)になる。
証明
>>25より、X は>>24で定義した順序により束になる。
a、b ∈ X のとき ab = a∧b、a + b + ab = a∨b である。
分配律を証明しよう。
a∧(b∨c) = a(b + c + bc) = ab + ac + abc
(a∧b)∨(a∧c) = ab + ac + abc
よって、a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c)
a∨(b∧c) = a∨bc= a + bc + abc
(a∨b)∧(a∨c) = (a + b + ab)(a + c + ac)
= a + ac + ac + ab + bc + abc + ab + abc + abc
= a + (ac + ac) + (ab + ab) + bc + (abc + abc + abc)
= a + bc + abc
よって、a∨(b∧c) = (a∨b)∧(a∨c)
次に X が区分的相補束(過去スレ021の368)であることを証明する。
0 = 0a であるから 0 ≦ a
よって、0 は X の最小元である。
a ≦ b のとき a = ab
a∨(a + b) = a + a + b + a + ab = b + ab + ab = b
a∧(a + b) = a + ab = a + a = 0
よって、a + b は区間 [0, b] における a の相対補元(過去スレ021の363)
以上から X は一般Boole代数(過去スレ021の373)である。
証明終
0028Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/06(日) 22:04:47X をBoole環(>>6)とする。
X は>>24で定義した順序によりBoole代数(過去スレ021の336)になる。
証明
>>27より、X は一般Boole代数であるから X が最大元を持つことを証明すればよい。
任意の a ∈ X に対して a = a1 だから a ≦ 1 である。
よって、1 は X の最大元である。
証明終
0029Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/06(日) 22:14:42X と Y を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
写像 f：X → Y は束としての準同型(過去スレ021の193)で f(0) = 0 となるとき
一般Boole代数としての準同型と言う。
0030Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/06(日) 22:15:55X と Y をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
写像 f：X → Y は束としての準同型(過去スレ021の193)で f(0) = 0 かつ f(1) = 1 となるとき
Boole代数としての準同型と言う。
0031Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/06(日) 22:20:14X と Y を一般Boole環(>>5)とする。
f：X → Y を環の準同型とする。
>>27より X と Y は一般Boole代数(過去スレ021の373)になる。
このとき f は一般Boole代数としての準同型(>>29)である。
証明
a、b ∈ X のとき ab = a∧b、a + b + ab = a∨b である。
よって、
f(a∧b) = f(ab) = f(a)f(b) = f(a)∧f(b)
f(a∨b) = f(a + b + ab) = f(a) + f(b) + f(a)f(b) = f(a)∨f(b)
よって、f は束としての準同型(過去スレ021の193)である。
f(0) = 0 であるから f は一般Boole代数としての準同型である。
証明終
0032Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/06(日) 22:25:07X と Y をBoole環(>>6)とする。
f：X → Y を単位元を持つ環の準同型（即ち、環の準同型で単位元を単位元に写すもの）とする。
>>28より X と Y はBoole代数(過去スレ021の336)になる。
このとき f はBoole代数としての準同型(>>30)である。
証明
>>31より f は一般Boole代数としての準同型(>>29)である。
f(1) = 1 であるから f はBoole代数としての準同型である。
証明終
0033Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/06(日) 23:33:29X と Y を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
f：X → Y を一般Boole代数の準同型(>>29)とする。
>>23より X と Y は一般Boole環(>>5)になる。
このとき f は一般Boole環としての準同型である。
証明
a, b ∈ X のとき a ≦ c、b ≦ c となる c ∈ X がある（例えば c = a∨b）。
b’を区間 [0, c] における b の相対補元(過去スレ021の363)とする。
b∧b’= 0、b∨b’= c である。
よって、f(a) ≦ f(c)、f(b) ≦ f(c)
f(b)∧f(b’) = f(0)、f(b)∨f(b’) = f(c) である。
よって、f(b’) は区間 [0, f(c)] における f(b) の相対補元である。
よって、f(a＼b) = f(a∧b’) = f(a)∧f(b’) = f(a)∧f(b)’= f(a)＼f(b)’
同様に f(b＼a) = f(b)＼f(a)’
よって、
f(aΔb) = f((a＼b)∨(b＼a)) = f(a＼b)∨f(b＼a) = (f(a)＼f(b)’)∨(f(b)＼f(a)’)
= f(a)Δf(b)
一方、f(a∧b) = f(a)∧f(b)
よって、f は一般Boole環としての準同型である。
証明終
0034Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/06(日) 23:38:22X と Y をBoole環(>>6)とする。
f：X → Y を単位元を持つ環の準同型（即ち、環の準同型で単位元を単位元に写すもの）とする。
このとき f をBoole環としての準同型とい言う。
0035Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/06(日) 23:39:42X と Y をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
f：X → Y をBoole代数の準同型(>>29)とする。
>>18より X と Y はBoole環(>>6)になる。
このとき f はBoole環としての準同型(>>34)である。
証明
>>33と f(1) = 1 より明らかである。
0036Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/07(月) 09:47:22X を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
a, b ∈ X、a ≦ b のとき aΔb = b＼a
証明
a ≦ c、b ≦ c となる c ∈ X をとる。
区間 [0, c] における b の相対補元(過去スレ021の363)を b’とする。
a ≦ b より a∧b’≦ b∧b’= 0
よって、a＼b = a∧b’= 0
よって、aΔb = (a＼b)∨(b＼a) = b＼a
証明終
0037Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/07(月) 10:00:46X を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
a, b ∈ X のとき a＼b = a＼(a∧b)
証明
a ≦ c、b ≦ c となる c ∈ X をとる。
x ∈ [0, c] のとき区間 [0, c] における元 x の相対補元(過去スレ021の363)を x’とする。
a＼(a∧b) = a∧(a∧b)’= a∧(a’∨b’) = (a∧a’)∨(a∧b’) = 0∨(a∧b’) = a∧b’= a＼b
証明終
0038Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/07(月) 10:07:15X を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
a, b ∈ X、a∧b = 0 のとき aΔb = a∨b
ここで、aΔb は a と b の対称差(>>22)である。
証明
a ≦ c、b ≦ c となる c ∈ X をとる。
x ∈ [0, c] のとき区間 [0, c] における元 x の相対補元(過去スレ021の363)を x’とする。
>>37より、a＼b = a＼(a∧b) = a＼0 = a∧0’= a∧c = a
同様に b＼a = b
よって、aΔb = (a＼b)∨(b＼a) = a∨b
証明終
0039Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/07(月) 10:17:22ある集合 Ω 上の集合環(過去スレ007の189)における演算と良く似ている。
これは偶然でないことを後に示す。
0040Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/07(月) 10:32:58X を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
a, b ∈ X、a ≦ b のとき (b＼a)∨a = b
証明
区間 [0, b] における a の相対補元(過去スレ021の363)を a’とする。
(b＼a)∨a = (b∧a’)∨a = (b∨a)∧(a’∨a) = b∧b = b
証明終
0041Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/07(月) 10:38:09X を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
a, b ∈ X のとき a∨b = (aΔb)Δ(a∧b)
ここで、aΔb は a と b の対称差(>>22)である。
証明
>>37より、
aΔb = (a＼b)∨(b＼a) = (a＼(a∧b))∨(b＼(a∧b))
>>38と>>40より
(aΔb)Δ(a∧b) = (aΔb)∨(a∧b) = (a＼(a∧b))∨(b＼(a∧b))∨(a∧b) = a∨b
証明終
0042Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/07(月) 10:42:310043１３２人目の素数さん
2011/02/07(月) 11:15:35書き写しか何かなんだな
0044Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/07(月) 11:30:32一般Boole環(>>5)全体の類(過去スレ017の323)GBoolRngは
環としての準同型を射とすることにより圏となる。
Setを小さい集合(過去スレ017の321)全体の圏とすれば
GBoolRngはSet上の準具象圏(過去スレ019の794)である。
一般Boole代数(過去スレ021の373)全体の類GBoolAlgは
一般Boole代数としての準同型(>>29)を射とすることにより圏となる。
GBoolAlgはSet上の準具象圏(過去スレ019の794)である。
>>27よりGBoolRngの対象は>>24で定義した順序によりGBoolAlgの対象となる。
>>31よりGBoolRngにおける射はGBoolAlgにおける射と見なせる。
よって、準具象関手(>>760) F：GBoolRng → GBoolAlg が得られる。
>>23よりGBoolAlgの対象はGBoolRngの対象となる。
>>33よりGBoolAlgにおける射はGBoolRngにおける射と見なせる。
よって、準具象関手(>>760) G：GBoolAlg → GBoolRng が得られる。
このとき GF = 1_GBoolRng、FG = 1_GBoolAlg である。
よって、GBoolRng と GBoolAlg は準具象圏として同型である。
証明
X ∈ GBoolRng とする。
>>27より a, b ∈ X のとき F(X) において a∨b = a + b + ab、a∧b = ab である。
(続く)
0045Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/07(月) 11:31:53>>27の証明より b + (a∨b) = a + b + b + ab = a + ab は
区間 [0, a∨b] における b の相対補元である。
よって、a＼b = a∧b’= a(a + ab) = a + ab
同様に b＼a = b + ab
よって、
aΔb = (a＼b)∨(b＼a) = (a + ab) + (b + ab) + (a + ab)(b + ab)
= a + b + ab + ab + ab + ab = a + b
一方、a∧b = ab
よって、GF(X) = X である。
逆に Y ∈ GBoolAlg とする。
>>23より、a, b ∈ Y のとき G(Y) において a + b = aΔb、ab = a∧b である。
よって、>>41より a + b + ab = (aΔb)Δ(a∧b) = a∨b
よって、FG(Y) = Y である。
証明終
0046Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/07(月) 12:15:49Boole環(>>6)全体の類(過去スレ017の323)BoolRngは
単位元を持つ環の準同型（即ち、環の準同型で単位元を単位元に写すもの）準同型を
射とすることにより圏となる。
Setを小さい集合(過去スレ017の321)全体の圏とすれば
BoolRngはSet上の準具象圏(過去スレ019の794)である。
Boole代数(過去スレ021の336)全体の類BoolAlgは
Boole代数としての準同型(>>30)を射とすることにより圏となる。
BoolAlgはSet上の準具象圏(過去スレ019の794)である。
>>28よりBoolRngの対象は>>24で定義した順序によりBoolAlgの対象となる。
>>32よりBoolRngにおける射はBoolAlgにおける射と見なせる。
よって、準具象関手(>>760) F：BoolRng → BoolAlg が得られる。
>>18よりBoolAlgの対象はBoolRngの対象となる。
>>35よりBoolAlgにおける射はBoolRngにおける射と見なせる。
よって、準具象関手(>>760) G：BoolAlg → BoolRng が得られる。
このとき GF = 1_BoolRng、FG = 1_BoolAlg である。
よって、BoolRng と BoolAlg は準具象圏として同型である。
証明
>>44より明らかである。
0047Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/07(月) 12:17:28この事実はStoneにより1935年に始めて発表された
(Subsumption of Boolean algebra under the theory of rings, Proc. Nat. Acad. Sci. 21(1935))。
この命題は証明自体は簡単である。
しかし、BooleがBoole代数の概念を発表したのが1847年。
このあいだ90年近くこの事実に誰も気づかなかった、少なくとも誰も発表しなかったというのは面白い。
Stoneのこの発見によりBoole代数の理論は急速に発展することになる。
0048Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/07(月) 13:32:28Aの素イデアル全体の集合をSpec(A)と書いた(過去スレ001の81)。
a ∈ A に対して D(a) = {P ∈ Spec(A)； a ∈ A - P} と書く。
D(a) の形の集合全体は Spec(A) のZariski位相(過去スレ001の160)の開集合の基底である。
Spec(A) の冪集合はBoole代数(過去スレ021の336)であるから>>46よりBoole環と見なせる。
A がBoole環(>>6)のとき a → D(a) は A から Spec(A) の冪集合への
単射準同型となる。
これがStoneによるBoole代数の表現定理である。
これを一般Boole環(>>5)に拡張して証明しよう。
0049Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/07(月) 13:40:32A を単位元をもつとは限らず可換とも限らない環とする。
A の元 a は ax = 0 となる A の元 x ≠ 0 があるとき左零因子と言う。
同様に、A の元 a は ya = 0 となる A の元 y ≠ 0 があるとき右零因子と言う。
A の元は左零因子かつ右零因子であるとき零因子と言う。
0050Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/07(月) 13:42:22A を単位元をもつとは限らない可換環とする。
I を A のイデアルとする。
I ≠ A で A/I が零因子(>>49)をもたないとき I を A の素イデアルと言う。
即ち I ≠ A で ab ∈ I なら a ∈ I または b ∈ I となるとき I を素イデアルと言う。
0051Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/07(月) 13:44:25A を単位元をもつとは限らない可換環とする。
I を A のイデアルとする。
I ≠ A で I を含む A のイデアルは I と A のみであるとき I を A の極大イデアルと言う。
0052Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/07(月) 13:52:13A を単位元をもつとは限らない可換環とする。
S を A の空でない部分集合とする。
S が次の条件(*)を満たすとき積閉であるという。
(*) a∈ S、b ∈ S なら ab ∈ S
0053Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/07(月) 14:51:02定義
A を単位元をもつとは限らない可換環とする。
I を A のイデアルとする。
I ≠ A で A/I が０以外の零因子(>>49)をもたないとき I を A の素イデアルと言う。
即ち I ≠ A で ab ∈ I なら a ∈ I または b ∈ I となるとき I を素イデアルと言う。
0054Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/07(月) 15:25:31M を A の極大イデアル(>>51)とする。
このとき M は A の素イデアル(>>53)とは限らない。
例
A を素数位数のアーベル群とする。
a, b ∈ A のとき ab = 0 と乗法を定義すれば A は可換環になる。
A のイデアルは 0 と A だけであるから 0 は A の極大イデアルである。
しかし、0 は A の素イデアルではない。
0055Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/07(月) 15:39:31A を単位元をもつとは限らない可換環とする。
Z を有理整数環とする。
B = Z×A を集合としての直積とする。
B に次の算法を定義する。
(n, x) + (m, y) = (n + m, x + y)
(n, x)(m, y) = (nm, ny + mx + xy)
このとき B は (1, 0) を単位元とする可換環である。
{0}×A は B のイデアルであり、x → (0, x) により A は {0}×A と同型になる。
A と {0}×A を同一視して B を 単位元の添加により A から得られる環と言う。
0056Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/07(月) 15:45:01>>55の B はBoole環にはならない。
よって、>>55を次のように拡張する。
0057Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/07(月) 15:47:36K を単位元をもつ可換環とする。
A を単位元をもつとは限らない K 上の可換代数とする。
B = K×A を集合としての直積とする。
B に次の算法を定義する。
(α, x) + (β, y) = (α + β, x + y)
(α, x)(β, y) = (αβ, αy + βx + xy)
このとき B は (1, 0) を単位元とする K 上の可換代数である。
{0}×A は B の K-イデアルであり、x → (0, x) により A は {0}×A と同型になる。
A と {0}×A を同一視して B を 単位元の添加により A から得られる K 上の可換代数と言う。
0058Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/07(月) 15:52:07F を２元体 {0, 1} とする。
>>9より A は F 上の可換代数と見なせる。
このとき B を単位元の添加により A から得られる F 上の可換代数（>>57）とすれば
B はBoole環(>>6)である。
0059Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/07(月) 16:42:41K-CommAlg を単位元をもつとは限らない K 上の可換代数全体の類(過去スレ017の323)のなす圏とする。
K-UCommAlg を単位元をもつ K 上の可換代数全体の類(過去スレ017の323)のなす圏とする。
K-UCommAlg の射は単位元を単位元に写す K-準同型とする。
K-UCommAlg は K-CommAlg の充満ではない部分圏である。
A ∈ K-CommAlg に対して B を単位元の添加により A から得られる K 上の可換代数(>>57)とする。
このとき B は A の (K-UCommAlg)-反射(過去スレ018の135)である。
これを確かめるのは読者に任す。
0060Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/07(月) 17:06:49K を単位元をもつ可換環とする。
A を単位元をもつとは限らない K 上の可換代数とする。
A のイデアルとは特に断らないかぎり A の環としてのイデアルで K-部分加群となっているものを言う。
0061Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/07(月) 17:10:31K を単位元をもつ可換環とする。
A を単位元をもつとは限らない K 上の可換代数とする。
I を A のイデアルとする。
A の元 u は A の任意の元 x に対して xu ≡ x (mod I) となるとき
A の I を法とする単位元、または A の mod I の単位元と言う。
0062Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/07(月) 17:13:44K を単位元をもつ可換環とする。
A を単位元をもつとは限らない K 上の可換代数とする。
I を A のイデアル(>>60)とする。
A の I を法とする単位元（>>61）が存在するとき I を正則イデアルと言う。
0063Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/07(月) 20:30:25K を可換体とする。
A を単位元をもつとは限らない K 上の可換代数とする。
B を単位元の添加により A から得られる K 上の可換代数（>>57）とする。
J を A に含まれない B のイデアルとする。
I = A ∩ J とおく。
このとき A の mod I の単位元(>>62) u があり J = K(u - 1) + I となる。
証明
J は A に含まれないから α + a ∈ J となる 0 ≠ α ∈ K と a ∈ A がある。
1 + (1/α)a = (1/α)(α + a) より、1 + (1/α)a ∈ J である。
u = -(1/α)a とおけば u ∈ A で u - 1 ∈ J
y を J の任意の元とする。
y = β + x、β ∈ K、x ∈ A と書ける。
y = β + x = -β(u - 1) + (x + βu)
x + βu = y + β(u - 1) ∈ A ∩ J = I
よって、J ⊂ K(u - 1) + I
逆の包含関係は明らかであるから J = K(u - 1) + I である。
任意の x ∈ A に対して xu - x = x(u - 1) ∈ J ∩ A = I
よって、 u は A の mod I の単位元である。
証明終
0064Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/07(月) 21:13:23K を可換体とする。
A を単位元をもつとは限らない K 上の可換代数とする。
B を単位元の添加により A から得られる K 上の可換代数（>>57）とする。
I を A の正則イデアル(>>62)とし、u を A の mod I の単位元(>>61)とする。
J = K(u - 1) + I とおく。
このとき J は A に含まれない B のイデアルで I = A ∩ J となる。
証明
A(u - 1) ⊂ I より、AJ ⊂ A(u - 1) + AI ⊂ I
J は B の K-部分加群だから J は B のイデアル(>>60)である。
u - 1 ∈ J だから J は A に含まれない。
y = α(u - 1) + x、α ∈ K、x ∈ I を A ∩ J の元とする。
α ≠ 0 とすると u - 1 = (1/α)(y - x) ∈ A となって矛盾。
よって、α = 0 となり y ∈ I である。
よって、A ∩ J ⊂ I である。
逆の包含関係は明らかであるから I = A ∩ J である。
証明終
0065Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/07(月) 21:35:14K を単位元をもつ可換環とする。
A を単位元をもつとは限らない K 上の可換代数とする。
I を A の正則イデアル(>>62)とする。
J ⊃ I を A のイデアルとする。
このとき J は正則イデアルである。
証明
u を A の mod I の単位元(>>62)とする。
u は A の mod J の単位元である。
よって J は正則イデアルである。
証明終
0066Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/07(月) 21:37:08K を単位元をもつ可換環とする。
A を単位元をもつとは限らない K 上の可換代数とする。
I ≠ A を A の正則イデアル(>>62)とする。
このとき A の正則な極大イデアル M で I を含むものが存在する。
証明
Zornの補題より I を含む極大イデアル M が存在する。
>>65より M は正則である。
証明終
0067Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/08(火) 05:26:45K を単位元をもつ可換環とする。
A を単位元を持つ K 上の可換代数とする。
A が 0 と A 以外のイデアルを持たないなら A は体である。
証明
x ≠ 0 を A の任意の非零元とする。
xA は A の K-部分加群であるから A のイデアルである。
xA は x = x1 を含むから 0 ではない。
よって、xA = A である。
よって xy = 1 となる y ∈ A がある。
よって A は体である。
証明終
0068Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/08(火) 05:30:12K を単位元をもつ可換環とする。
A を単位元をもつとは限らない K 上の可換代数とする。
I を A のイデアル(>>60)とする。
このとき I が正則(>>62)な極大イデアルであるためには A/I が体であることが必要十分である。
証明
必要性：
I が正則な極大イデアルであるとする。
A/I ≠ 0 は単位元を持つ可換環であり 0 と A/I 以外のイデアルを持たない。
よって、>>67より A/I は体である。
十分性：
自明である。
証明終
0069Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/08(火) 06:06:01K を可換体とする。
A を単位元をもつとは限らない K 上の可換代数とする。
B を単位元の添加により A から得られる K 上の可換代数（>>57）とする。
I^*(B) を A に含まれない B のイデアル全体とする。
I^*(A) を A の正則イデアル(>>62)全体とする。
>>63より J ∈ I^*(B) のとき A ∩ J ∈ I^*(A) である。
このとき J ∈ I^*(B) に A ∩ J ∈ I^*(A) を対応させる写像
ψ：I^*(B) → I^*(A) は全単射である。
証明
>>64より ψ は全射である。
J、J’∈ I^*(B)、A ∩ J = A ∩ J’= I とする。
>>63より、A の mod I の単位元(>>62) u、v があり
J = K(u - 1) + I、J’= K(v - 1) + I となる。
A/I の単位元は一意であるから u - v ∈ I である。
よって、u = v + a となる a ∈ I がある。
u - 1 = v - 1 + a
よって、J = K(u - 1) + I = K(v - 1) + Ka + I = K(v - 1) + I = J’
よって、ψ は単射である。
証明終
0070Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/08(火) 06:21:16K を可換体とする。
A を単位元をもつとは限らない K 上の可換代数とする。
B を単位元の添加により A から得られる K 上の可換代数（>>57）とする。
M^*(B) を A と異なる B の極大イデアル全体とする。
M^*(A) を A の正則(>>62)な極大イデアル全体とする。
このとき J ∈ M^*(B) に A ∩ J を対応させることにより
全単射 φ：M^*(B) → M^*(A) が得られる。
証明
A の正則イデアル(>>62)全体を I^*(A) とする。
>>69より、J ∈ M^*(B) のとき A ∩ J は I^*(A) の極大元である。
>>65より A ∩ J ∈ M^*(A) である。
よって、>>69より φ：M^*(B) → M^*(A) は全単射である。
証明終
0071Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/08(火) 07:49:14K を可換体とする。
A を単位元をもつとは限らない K 上の可換代数とする。
B を単位元の添加により A から得られる K 上の可換代数（>>57）とする。
B のすべての極大イデアルの共通集合を B の Jacobson根基といい、
rad(B) と書いた(過去スレ001の238)。
このとき rad(B) ⊂ A であり rad(B) は
A の正則(>>62)な極大イデアル全体の共通集合と一致する。
証明
M^*(B) を A と異なる B の極大イデアル全体とする。
M^*(A) を A の正則な極大イデアル全体とする。
>>70より、∩M^*(A) = ∩{A ∩ J； J ∈ M^*(B)}
A は B の極大イデアルであるから、この右辺は rad(B) である。
証明終
0072Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/08(火) 07:53:44K を可換体とする。
A を単位元をもつとは限らない K 上の可換代数とする。
A の正則(>>62)な極大イデアル全体の共通集合を A の根基といい rad(A) と書く。
0073Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/08(火) 15:57:24A を一般Boole環(>>5)とする。
A が 0 と A 以外のイデアルを持たないとする。
このとき A = 0 または A = {0, 1} である。
証明
A ≠ 0 とする。
a ≠ 0 を A の元とする。
a = a^2 ∈ aA
よって aA は 0 でないイデアルである。
よって aA = A である。
{x；ax = 0} は A のイデアルであるが aA = A より A では有り得ない。
よって、{x；ax = 0} = {0} である。
よって、a は零因子ではない。
よって、>>15より A = {0, 1} である。
証明終
0074Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/08(火) 16:05:15A を一般Boole環(>>5)とする。
A の任意の極大イデアル P に対して A/P は２元体 {0, 1} である。
よって、P は正則(>>62)である。
証明
>>73より明らかである。
0075Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/08(火) 16:19:28A を一般Boole環(>>5)とする。
P を A のイデアルとする。
このとき、以下の条件は同値である。
(1) P は素イデアルである。
(2) P は正則素イデアルである。
(3) P は極大イデアルである。
(4) P は正則極大イデアルである。
証明
(1) ⇒ (2)
>>11と>>15より明らかである。
(2) ⇒ (3)
>>11と>>15より明らかである。
(3) ⇒ (4)
>>74で証明済み。
(4) ⇒ (1)
>>74より明らかである。
証明終
0076Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/08(火) 17:12:28A を一般Boole環(>>5)とする。
F を２元体 {0, 1} とする。
準同型 f：A → F で f = 0 でないものを A の指標という。
0078Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/08(火) 17:22:43A を一般Boole環(>>5)とする。
A の素イデアル(>>53)全体の集合を Spec(A) と書く。
Spec はスペクトル(spectrum)を意味する。
0079Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/08(火) 17:35:39A を一般Boole環(>>5)とする。
f ∈ X(A)（>>77）に Ker(f) を対応させることにより
X(A) から Spec(A)（>>78）への全単射が得られる。
証明
F を２元体 {0, 1} とする。
f ∈ X(A) のとき f ≠ 0 であるから f(A) = F である。
よって、A/Ker(f) は F と同型である。
よって、Ker(f) ∈ Spec(A) である。
P = Ker(f) のとき {x ∈ A；f(x) = 1} = A - P であるから f は P で一意に決まる。
よって、写像 f → Ker(f) は単射である。
逆に P ∈ Spec(A) のとき>>75より A/P は F に同型である。
よって、f ∈ X(A) で Ker(f) = P となるものがある。
よって、写像 f → Ker(f) は全射である。
証明終
0080Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/08(火) 18:16:08A を一般Boole環(>>5)とする。
a を A の任意の元とする。
aA は a を含む最小のイデアルである。
証明
aA は A のイデアルである。
a = a^2 ∈ aA
I を A のイデアルで a ∈ I とすると aA ⊂ I である。
よって、aA は a を含む最小のイデアルである。
証明終
0081Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/08(火) 18:24:31例
Z を有理整数環とし、A = 2Z とおく。
A は単位元を持たない可換環である。
2A = 4Z であるから 2 は 2A に含まれない。
0082Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/08(火) 18:27:07A を一般Boole環(>>5)とする。
S を A の積閉(>>52)な部分集合とする。
I を A のイデアルで S ∩ I = φ とする。
Ψ = {J；J は A のイデアルで I ⊂ J かつ S ∩ J = φ} とおく。
P を Ψ の極大元とする。
このとき P は素イデアルである。
証明
S ∩ P = φ で S は空でないから P ≠ A である。
a と b を P に含まれない A の元とする。
>>80より P ≠ P + aA である。
同様に P ≠ P + bA である。
よって、S ∩ (P + aA) ≠ φ、S ∩ (P + bA) ≠ φ である。
S は積閉だから S ∩ (P + aA)(P + bA) ≠ φ である。
一方、(P + aA)(P + bA) ⊂ P + abA だから S ∩ (P + abA) ≠ φ である。
よって、ab は P に含まれない。
よって、P は素イデアルである。
証明終
0083Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/08(火) 18:29:28A を一般Boole環(>>5)とする。
S を A の積閉(>>52)な部分集合とする。
I を A のイデアルで S ∩ I = φ とする。
このとき I を含む A の素イデアル P で S ∩ P = φ となるものがある。
証明
Ψ = {J；J は A のイデアルで I ⊂ J かつ S ∩ J = φ} とおく。
I ∈ Ψ だから Ψ は空でない。
Φ を Ψ の空でない部分集合で包含関係に関して全順序集合になっているものとする。
L = ∪{J； J ∈ Φ} は A のイデアルで I ⊂ L である。
S ∩ L ≠ φ とすると S ∩ J ≠ φ となる J ∈ Φ があることになって矛盾である。
よって、L ∈ Φ である。
よって、Φ は帰納的な順序集合であるからZornの補題より Φ は極大元 P を持つ。
>>82より P は素イデアルである。
証明終
0084Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/08(火) 18:49:41A を一般Boole環(>>5)とする。
I を A のイデアルで、a ∈ A - I とする。
このとき f ∈ X(A)（>>77）で f(a) = 1 となるものがある。
証明
S = {a} とおく。
a^2 = a だから S は積閉(>>52)である。
>>83より I を含む A の素イデアル P で S ∩ P = φ となるものがある。
>>79より f ∈ X(A) で Ker(f) = P となるものがある。
a は P に含まれないから f(a) = 1 である。
証明終
0085Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/08(火) 18:52:31A を一般Boole環(>>5)とする。
a ≠ 0 を A の任意の非零元とする。
このとき f ∈ X(A)（>>77）で f(a) = 1 となるものがある。
証明
>>84において I = 0 とすればよい。
0086Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/08(火) 18:56:28Hahn-Banachの定理がBanach空間の理論で重要なことと同様に
>>85はBoole代数の理論において重要である。
0087Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/08(火) 19:44:15A をBoole環(>>6)とする。
任意の χ ∈ X(A)（>>77）に対して χ(1) = 1 である。
証明
任意の χ ∈ X(A) に対して χ(a) = 1 となる a ∈ A がある。
χ(a) = χ(a1) = χ(a)χ(1) = 1
よって、χ(1) = 1
証明終
0088Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/08(火) 19:46:13A を一般Boole環(>>5)とする。
P(X(A)) を X(A)（>>77）の冪集合とする。
P(X(A)) はBoole代数(過去スレ021の336)であるから>>46よりBoole環と見なせる。
a を A の任意の元とする。
f(a) = {χ ∈ X(A)；χ(a) = 1} とおく。
このとき f：A → P(X(A)) は環の単射準同型である。
A がBoole環(>>6)のとき f(1) = X(A) である。
証明
a、b ∈ A のとき、
f(a + b) = {χ ∈ X(A)； χ(a + b) = 1} = {χ ∈ X(A)； χ(a) + χ(b) = 1}
= {χ ∈ X(A)； {χ(a), χ(b)} = {0, 1}} = f(a)Δf(b)
f(ab) = {χ ∈ X(A)； χ(ab) = 1} = {χ ∈ X(A)； χ(a)χ(b) = 1}
= {χ ∈ X(A)； χ(a) = 1、χ(b) = 1} = f(a)∩f(b)
よって、f は環準同型である。
f(a) = φ とする。
>>85より a = 0 である。
よって、f は単射である。
A がBoole環(>>6)であるとする。
>>87より f(1) = X(A) である。
証明終
0089１３２人目の素数さん
2011/02/08(火) 21:12:080090Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/09(水) 05:30:35A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
F を２元体 {0, 1} とする。
F は一般Boole環(>>5)であるから>>44よりBoole代数(過去スレ021の336)と見なせる。
一般Boole代数としての準同型(>>29) f：A → F で f = 0 でないものを A の指標という。
A の指標の全体を X(A) と書く。
0091Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/09(水) 05:56:27A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
P(X(A)) を X(A)（>>90）の冪集合とする。
P(X(A)) を X の冪集合とする。
P(X(A)) はBoole代数(過去スレ021の336)である。
a を A の任意の元とする。
f(a) = {χ ∈ X(A)；χ(a) = 1} とおく。
このとき f：A → P(X(A)) は一般Boole代数の単射準同型(>>29)である。
A がBoole代数(過去スレ021の336)のとき f(1) = X(A) である。
証明
>>44より明らかである。
0092Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/09(水) 06:02:33一般Boole代数(過去スレ021の373)は、ある集合 X 上の集合環(過去スレ007の189)と同型である。
Boole代数(過去スレ021の336)は、ある集合 X 上の集合代数(過去スレ007の196)と同型である。
0093Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/09(水) 06:11:54A を一般Boole環(>>5)とする。
X = Spec(A)（>>78）とおく。
P(X) を X の冪集合とする。
P(X) はBoole代数(過去スレ021の336)であるから>>46よりBoole環と見なせる。
a を A の任意の元とする。
f(a) = {P ∈ X；a ∈ X - P} とおく。
このとき f：A → P(X) は環の単射準同型である。
A がBoole環(>>6)のとき f(1) = X である。
証明
>>79より明らかである。
0094１３２人目の素数さん
2011/02/09(水) 08:02:100095Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/09(水) 08:29:58X を前順序集合(過去スレ008の139)とする。
I を X のイデアル(過去スレ021の139)とする。
I ≠ X で I を含む X のイデアルは I と X のみであるとき I を X の極大イデアルと言う。
0096Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/09(水) 08:32:06X を前順序集合(過去スレ008の139)とする。
F を X のフィルター(過去スレ021の527)とする。
F ≠ X で F を含む X のフィルターは F と X のみであるとき F を X の極大フィルターと言う。
0097Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/09(水) 09:06:32X を束(過去スレ021の156)とする。
F を X のフィルター(過去スレ021の527)とする。
F ≠ X で a∨b ∈ F ⇒ a ∈ F または b ∈ F となるとき F を素フィルター(prime filter)と言う。
0098Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/09(水) 09:41:48X を束(過去スレ021の156)とする。
I を X のイデアル(過去スレ021の139)とする。
I ≠ X で a∧b ∈ I ⇒ a ∈ I または b ∈ I となるとき I を素イデアル(prime ideal)と言う。
0099Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/09(水) 09:47:00定義
X を前順序集合(過去スレ008の139)とする。
I を X のイデアル(過去スレ021の527)とする。
I ≠ X で I を含む X のイデアルは I と X のみであるとき I を X の極大イデアルと言う。
0100Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/09(水) 09:48:38定義
X を束(過去スレ021の156)とする。
I を X のイデアル(過去スレ021の527)とする。
I ≠ X で a∧b ∈ I ⇒ a ∈ I または b ∈ I となるとき I を素イデアル(prime ideal)と言う。
0101Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/09(水) 09:54:42X を束(過去スレ021の156)とする。
I を X の部分集合とする。
I がイデアル(過去スレ021の527)であるためには以下の条件を満たすことが必要十分である。
(1) I は空でない。
(2) a ∈ I、b ≦ a ⇒ b ∈ I
(3) a、b ∈ I ⇒ a∨b ∈ I
証明
自明である。
0102Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/09(水) 09:56:59X を束(過去スレ021の156)とする。
F を X の部分集合とする。
F がフィルター(過去スレ021の527)であるためには以下の条件を満たすことが必要十分である。
(1) F は空でない。
(2) a ∈ F、a ≦ b ⇒ b ∈ F
(3) a、b ∈ F ⇒ a∧b ∈ F
証明
自明である。
0103Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/09(水) 10:04:09X を束(過去スレ021の156)とする。
I を X の部分集合とする。
I がイデアル(過去スレ021の527)であるためには以下の条件を満たすことが必要十分である。
(1) I は空でない。
(2) a ∈ I、b ∈ X ⇒ a∧b ∈ I
(3) a、b ∈ I ⇒ a∨b ∈ I
証明
自明である。
0104Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/09(水) 10:07:10X を束(過去スレ021の156)とする。
F を X の部分集合とする。
F がフィルター(過去スレ021の527)であるためには以下の条件を満たすことが必要十分である。
(1) F は空でない。
(2) a ∈ F、b ∈ X ⇒ a∨b ∈ F
(3) a、b ∈ F ⇒ a∧b ∈ F
証明
自明である。
0105Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/09(水) 10:43:45X を集合とする。
P(X) を X の冪集合とする。
P(X) のフィルター(過去スレ021の527) F で P(X) と異なるものは、
過去スレ006の75で定義したフィルターと同じものである。
0106Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/09(水) 11:06:01X を束(過去スレ021の156)とする。
I を X のイデアル(過去スレ021の527)とする。
このとき、
I が素イデアル(>>100) ⇔ X - I が素フィルター(>>97)
証明
F = X - I とおく。
I が素イデアルであるとする。
最初に F が>>102の条件を満たすことを証明する。
(1) I ≠ φ であるから F ≠ X である。
(2) I は下集合(過去スレ021の516)であるから過去スレ021の518より
F は上集合(過去スレ021の517)である。
(3) a、b ∈ F ⇒ a∧b ∈ F は I が素イデアルであることから明らかである。
以上から F はフィルターである。
a、b ∈ F、a∨b ∈ F とする。
>>103より a、b ∈ P なら a∨b ∈ P である。
よって、a ∈ F または b ∈ F でなければならない。
よって、F は素フィルターである。
双対的に F が素フィルターなら I は素イデアルである。
証明終
0107Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/09(水) 11:44:37X を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
>>44より X は一般Boole環(過去スレ021の336)と見なせる。
I を X の部分集合とする。
I が順序集合としての X のイデアル(過去スレ021の527)であるためには
I が環としての X のイデアルであることが必要十分である。
証明
必要性：
I が順序集合としての X のイデアルであるとする。
>>103より、a、b ∈ I なら a∨b ∈ I である。
a + b ≦ a∨b であるから a + b ∈ I である。
よって、>>103の(2)より I は環としての X のイデアルである。
十分性：
I が環としての X のイデアルであるとする。
a、b ∈ I なら a∨b = a + b + ab ∈ I である。
a ∈ I、c ∈ X なら a∧c = ac ∈ I である。
よって、>>103より、I は順序集合としての X のイデアルである。
証明終
0108Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/09(水) 15:47:04X、Y を束とする。
f：X → Y を束の準同型とする。
Y が最小元 0 を持つとき Ker(f) = {x ∈ X； f(x) = 0} と書き、f の核(kernel)と呼ぶ。
0109Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/09(水) 15:58:08X、Y を束とする。
f：X → Y を束の準同型とする。
Y が最小元 0 を持つとき Ker(f) (>>108) は空でなければ X のイデアル(過去スレ021の527)である。
証明
Ker(f) が>>103の条件を満たすことを示せばよい。
(1) 仮定より、Ker(f) は空でない。
(2) a ∈ Ker(f)、b ∈ X なら f(a∧b) = f(a)∧f(b) = 0∧f(b) = 0
よって、a∧b ∈ Ker(f)
(3) a、b ∈ Ker(f) なら f(a∨b) = f(a)∨f(b) = 0∨0 = 0
よって、a∨b ∈ Ker(f)
証明終
0110Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/09(水) 16:13:32X を束とする。
F_2 = {0, 1} を２個の元からなるBoole代数(過去スレ021の336)とする。
f：X → F_2 を束の準同型(過去スレ021の193)とする。
f が全射であれば Ker(f) (>>108) は X の素イデアル(>>100)である。
証明
f は全射であるから Ker(f) は空でない。
よって、>>109より Ker(f) はイデアル(過去スレ021の527)である。
f は全射であるから Ker(f) ≠ X である。
a∧b ∈ Ker(f) なら f(a∧b) = f(a)∧f(b) = 0
よって f(a) = 0 または f(b) = 0 である。
よって a ∈ Ker(f) または b ∈ Ker(f) である。
よって Ker(f) は素イデアルである。
証明終
0111Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/09(水) 19:17:20X を束とする。
P を X の素イデアル(>>100)とする。
F_2 = {0, 1} を２個の元からなるBoole代数(過去スレ021の336)とする。
このとき束の全射準同型(過去スレ021の193) f：X → F_2 があり、
P = Ker(f) (>>108) となる。
証明
写像 f：X → F_2 を x ∈ P のとき f(x) = 0、x ∈ X - P のとき f(x) = 1 と定義する。
f(x∧y) = 0 ⇔ x∧y ∈ P ⇔ x ∈ P または y ∈ P ⇔ f(x)∧f(y) = 0
F = X - P とおく。
>>106より F は素フィルタ－(>>97)だから
f(x∨y) = 1 ⇔ x∨y ∈ F ⇔ x ∈ F または y ∈ F ⇔ f(x)∨f(y) = 1
以上から f は束の全射準同型である。
証明終
0112Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/09(水) 19:51:53X を前順序集合(過去スレ008の139)とする。
S を X の上向きの有向部分集合(過去スレ021の510)とする。
このとき↓S(過去スレ021の519)は S を含む最小のイデアル(過去スャ021の527)である。
証明
S は有向部分集合であるから空ではない。
過去スレ021の520より↓S = {x ∈ X； x ≦ s となる s ∈ S がある} である。
過去スレ021の530より↓S はイデアルである。
明らかに S ⊂↓S である。
S を含むイデアルは↓S を含む。
よって、↓S は S を含む最小のイデアルである。
証明終
0113Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/09(水) 22:05:28X を束(過去スレ021の156)とする。
A を X の空でない部分集合とする。
S = {a_1∨．．．∨a_n； a_1、．．．、a_n は A の元の任意の有限列} とおく。
このとき↓S(過去スレ021の519)は A を含む最小のイデアル(過去スレ021の527)である。
証明
>>112より明らかである。
0114Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/09(水) 22:14:53X を束(過去スレ021の156)とする。
I と J を X のイデアル(過去スレ021の527)とする。
I ∩ J は X のイデアルである。
証明
x ∈ I、y ∈ J のとき x∧y ∈ I ∩ J である。
よって、I ∩ J は空でない。
よって、I ∩ J は X のイデアルである。
証明終
0115Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/09(水) 22:20:45X を束(過去スレ021の156)とする。
I と J を X のイデアル(過去スレ021の527)とする。
I∨J = {x ∈ X； x ≦ a∨b となる a ∈ I、b ∈ J がある} とおく。
I∨J は I と J を含む最小のイデアルである。
証明
>>112より明らかである。
0116Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/10(木) 06:16:41X を分配束(過去スレ021の322)とする。
I を X のイデアル(過去スレ021の527)とする。
a、b ∈ X のとき、(I∨↓a)∩(I∨↓b) ⊂ I∨↓(a∧b) である。
ここで ↓a = {x ∈ X； x ≦ a} であり(過去スレ021の521)、
I∨↓a は I と ↓a を含む最小のイデアルである(>>115)。
証明
>>115より、
I∨↓a = {z ∈ X；z ≦ x∨a、x ∈ I}
I∨↓b = {z ∈ X；z ≦ x∨b、x ∈ I}
よって、任意の z ∈ (I∨↓a)∩(I∨↓b) に対して
z ≦ x∨a、z ≦ y∨b となる x、y ∈ I がある。
よって、z ≦ (x∨a)∧(y∨b)
一方、分配律より
(x∨a)∧(y∨b) = ((x∨a)∧y)∨((x∨a)∧b) = (x∧y)∨(a∧y)∨(x∧b)∨(a∧b) ∈ I∨↓(a∧b)
よって、z ∈ I∨↓(a∧b)
即ち、(I∨↓a)∩(I∨↓b) ⊂ I∨↓(a∧b) である。
証明終
0117Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/10(木) 06:29:30X を分配束(過去スレ021の322)とする。
I を X の極大イデアル(>>99)とする。
このとき I は素イデアル(>>100)である。
証明
a と b を X の元で a ∈ X - I、b ∈ X - I とする。
>>116より、(I∨↓a)∩(I∨↓b) ⊂ I∨↓(a∧b) である。
一方、I は極大イデアルだから
X = I∨↓a、X = I∨↓b
よって、X = I∨↓(a∧b)
よって、a∧b ∈ X - I である。
証明終
0118Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/10(木) 06:57:50X を束(過去スレ021の156)とする。
Φ を X のイデアル(過去スレ021の527)からなる集合とする。
∩Φ は空でなければ X のイデアル(過去スレ021の527)である。
証明
∩Φ は下集合(過去スレ021の516)である。
x、y ∈ ∩Φ のとき各 I ∈ Φ に対して x∨y ∈ I である。
よって、x∨y ∈ ∩Φ である。
よって、>>103より ∩Φ はイデアルである。
証明終
0119Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/10(木) 07:09:30X を束(過去スレ021の156)とする。
A を X の空でない部分集合とする。
このとき A を含む最小のイデアル(過去スレ021の527)が存在する。
証明
Φ を A を含む X のイデアル(過去スレ021の527)からなる集合とする。
X ∈ Φ だから Φ は空ではない。
>>118より ∩Φ は X のイデアルである。
よって、∩Φ が求めるものである。
証明終
0120Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/10(木) 07:23:47X を束(過去スレ021の156)とする。
A を X の空でない部分集合とする。
>>119より A を含む最小のイデアル I が存在する。
I を A で生成されるイデアルと言い、I = (A] と書く。
0121Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/10(木) 07:25:55X を束(過去スレ021の156)とする。
A を X の空でない部分集合とする。
>>119の双対より A を含む最小のフィルター(過去スレ021の527) F が存在する。
F を A で生成されるフィルターと言い、F = [A) と書く。
0122Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/10(木) 08:22:46X と Y を上半束(過去スレ021の115)とする。
ｆ:X → Y を準同型(過去スレ021の144)とする。
f が単射であれば f は順序埋め込み(過去スレ021の227)である。
証明
過去スレ021の147より f は順序を保存する。
x、y ∈ X、f(x) ≦ f(y) とする。
f(x∨y) = f(x)∨f(y) = f(y)
f は単射だから x∨y = y
よって、x ≦ y
よって、f は順序埋め込みである。
証明終
0123Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/10(木) 08:38:15X を上半束(過去スレ021の115)とする。
I を X の部分集合とする。
I がイデアル(過去スレ021の527)であるためには以下の条件を満たすことが必要十分である。
(1) I は空でない。
(2) a ∈ I、b ≦ a ⇒ b ∈ I
(3) a、b ∈ I ⇒ a∨b ∈ I
証明
自明である。
0124Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/10(木) 08:40:44X を下半束(過去スレ021の116)とする。
F を X の部分集合とする。
F がフィルター(過去スレ021の527)であるためには以下の条件を満たすことが必要十分である。
(1) F は空でない。
(2) a ∈ F、a ≦ b ⇒ b ∈ F
(3) a、b ∈ F ⇒ a∧b ∈ F
証明
自明である。
0125Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/10(木) 08:47:34X と Y を上半束(過去スレ021の115)とする。
f:X → Y を準同型(過去スレ021の144)とする。
Y が最小元 0 を持つとき Ker(f) = {x ∈ X； f(x) = 0} と書き、f の核(kernel)と呼ぶ。
0126Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/10(木) 08:52:34X と Y を上半束(過去スレ021の115)とする。
f:X → Y を準同型(過去スレ021の144)とする。
Y が最小元 0 を持つとき Ker(f) (>>125) は空でなければ X のイデアル(過去スレ021の527)である。
証明
Ker(f) が>>123の条件を満たすことを示せばよい。
(1) 仮定より、Ker(f) は空でない。
(2) x ∈ Ker(f)、y ≦ x なら過去スレ021の147より f(y) ≦ f(x) = 0
よって、y ∈ Ker(f)
(3) x、y ∈ Ker(f) なら f(x∨y) = f(x)∨f(y) = 0∨0 = 0
よって、x∨y ∈ Ker(f)
証明終
0127Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/10(木) 08:55:04X と Y を下半束(過去スレ021の116)とする。
f:X → Y を準同型(過去スレ021の144)とする。
Y が最大元 1 を持つとき f^(-1) は空でなければ X のフィルター(過去スレ021の527)である。
証明
>>126の双対である。
0128Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/10(木) 11:59:52X を上半束(過去スレ021の115)とする。
Φ を X のイデアル(過去スレ021の527)からなる集合とする。
∩Φ は空でなければ X のイデアル(過去スレ021の527)である。
証明
∩Φ は下集合(過去スレ021の516)である。
>>123より、x、y ∈ ∩Φ のとき各 I ∈ Φ に対して x∨y ∈ I である。
よって、x∨y ∈ ∩Φ である。
よって、>>123より ∩Φ はイデアルである。
証明終
0129Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/10(木) 12:05:28X を下半束(過去スレ021の116)とする。
Φ を X のフィルター(過去スレ021の527)からなる集合とする。
∩Φ は空でなければ X のフィルターである。
証明
>>128の双対である。
0130Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/10(木) 12:09:10X を上半束(過去スレ021の115)とする。
A を X の空でない部分集合とする。
このとき A を含む最小のイデアル(過去スレ021の527)が存在する。
証明
Φ を A を含む X のイデアル(過去スレ021の527)からなる集合とする。
X ∈ Φ だから Φ は空ではない。
A ⊂ ∩Φ だから ∩Φ は空でない。
よって、>>128より ∩Φ は X のイデアルである。
よって、∩Φ が求めるものである。
証明終
0131Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/10(木) 12:11:25X を下半束(過去スレ021の116)とする。
A を X の空でない部分集合とする。
このとき A を含む最小のフィルター(過去スレ021の527)が存在する。
証明
>>130の双対である。
0132Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/10(木) 14:39:15X を上半束(過去スレ021の115)とする。
A を X の空でない部分集合とする。
>>130より A を含む最小のイデアル I が存在する。
I を A で生成されるイデアルと言い、I = (A] と書く。
0133Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/10(木) 14:42:45X を下半束(過去スレ021の116)とする。
A を X の空でない部分集合とする。
>>131より A を含む最小のフィルター(過去スレ021の527) F が存在する。
F を A で生成されるフィルターと言い、I = [A) と書く。
0134Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/10(木) 15:02:42X を上半束(過去スレ021の115)とする。
A を X の空でない部分集合とする。
S = {a_1∨．．．∨a_n； a_1、．．．、a_n は A の元の任意の有限列} とおく。
このとき (A] (>>132) は ↓S(過去スレ021の519)である。
即ち、(A] = {x ∈ X； x ≦ a_1∨．．．∨a_n となる A の元 a_1、．．．、a_n がある}
証明
>>112より明らかである。
0135Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/10(木) 15:10:01X を下半束(過去スレ021の116)とする。
A を X の空でない部分集合とする。
S = {a_1∧．．．∧a_n； a_1、．．．、a_n は A の元の任意の有限列} とおく。
このとき [A) (>>133) は ↑S(過去スレ021の519)である。
即ち、[A) = {x ∈ X； a_1∧．．．∧a_n ≦ x となる A の元 a_1、．．．、a_n がある}
証明
>>134の双対である。
0136Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/10(木) 16:35:29定義
X を前順序集合(過去スレ008の139)とする。
X のイデアル(過去スレ021の527)で最大元を持つものを主イデアル(principal ideal)
または単項イデアルと言う。
X のフィルター(過去スレ021の527)で最小元を持つものを主フィルター(principal filter)
または単項フィルターと言う。
0137Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/10(木) 16:47:47X を上半束(過去スレ021の115)とする。
X の有限個の元で生成されるイデアル(過去スレ021の527)は単項イデアルである。
証明
A = {a_1、．．．、a_n} を X の有限部分集合とし I を A で生成されるイデアル(>>132)とする。
>>134より I = {x ∈ X； x ≦ a_1∨．．．∨a_n} である。
よって、I は a_1∨．．．∨a_n で生成される単項イデアルである。
証明終
0138Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/10(木) 16:51:04X を下半束(過去スレ021の116)とする。
X の有限個の元で生成されるフィルター(>>133)は単項フィルター(>>136)である。
証明
>>137の双対である。
0139Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/10(木) 18:07:07X を上半束(過去スレ021の115)とする。
I と J を X のイデアル(過去スレ021の527)とする。
L = {x ∈ X； x ≦ a∨b となる a ∈ I、b ∈ J がある} とおく。
L は I と J を含む最小のイデアルである。
証明
S = {a∨b；a ∈ I、b ∈ J} とおく。
I は空でないから a_0 ∈ I となる元 a_0 がある。
同様に b_0 ∈ J となる元 b_0 がある。
(a_0)∨(b_0) ∈ S だから S は空でない。
S は上向きの有向部分集合(過去スレ021の510)である。
よって、>>112より L は S を含む最小のイデアル(過去スレ021の527)である。
任意の a ∈ I に対して a ≦ a∨(b_0) だから a ∈ L である。
よって、I ⊂ L である。
同様に J ⊂ L である。
I と J を含むイデアルは S を含むから L を含む。
よって、L は I と J を含む最小のイデアルである。
証明終
0140Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/10(木) 18:11:30X を上半束(過去スレ021の115)とする。
I と J を X のイデアル(過去スレ021の527)とする。
I∪J で生成されるイデアル(>>132)を I∨J と書く。
>>139より I∨J = {x ∈ X； x ≦ a∨b となる a ∈ I、b ∈ J がある} である。
0141Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/10(木) 18:15:01X を下半束(過去スレ021の116)とする。
F と G を X のフィルター(過去スレ021の527)とする。
H = {x ∈ X； a∧b ≦ x となる a ∈ F、b ∈ G がある} とおく。
H は F と G を含む最小のフィルターである。
証明
>>139の双対である。
0142Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/10(木) 18:26:18X を下半束(過去スレ021の116)とする。
F と G を X のフィルター(過去スレ021の527)とする。
F∪G で生成されるフィルター(>>133)を F∨G と書く。
>>141より F∨G = {x ∈ X； a∧b ≦ x となる a ∈ F、b ∈ G がある} である。
0143Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/10(木) 18:43:41X を上半束(過去スレ021の115)とする。
I(X) を X のイデアル(過去スレ021の527)全体とする。
I(X) は包含関係に関して上半束となる。
証明
>>139より明らかである。
0144Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/10(木) 20:08:29X を上半束(過去スレ021の115)とする。
I(X) を X のイデアル(過去スレ021の527)全体とする。
>>143より I(X) は包含関係に関して上半束となる。
写像 ψ：X → I(X) を ψ(x) = ↓x (過去スレ021の521)で定義する。
即ち ψ(x) は x で生成される単項イデアル(>>136)である。
このとき ψ は単射準同型(過去スレ021の144)である。
従って、>>122より ψ は順序埋め込み(過去スレ021の227)である。
証明
>>137より、x、y ∈ X のとき {x, y} で生成されるイデアルは ↓(x∨y) である。
よって、↓(x∨y) = ↓x∨↓y (>>140)である。
よって、ψ(x∨y) = ψ(x)∨ψ(y) である。
よって、ψ は上半束の準同型である。
ψ(x) = ψ(y) なら x ∈ ↓y より x ≦ y
同様に y ∈ ↓x より y ≦ x
よって、x = y である。
よって、ψ は単射である。
証明終
0145Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/10(木) 20:11:53X を束(過去スレ021の156)とする。
I(X) を X のイデアル(過去スレ021の527)全体とする。
I(X) は包含関係に関して束となる。
証明
>>114と>>143より明らかである。
0146Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/10(木) 20:17:41X を束(過去スレ021の156)とする。
I(X) を X のイデアル(過去スレ021の527)全体とする。
>>145より I(X) は包含関係に関して束となる。
写像 ψ：X → I(X) を ψ(x) = ↓x (過去スレ021の521)で定義する。
即ち ψ(x) は x で生成される単項イデアル(>>136)である。
このとき ψ は束の単射準同型(過去スレ021の193)である。
従って、>>122より ψ は順序埋め込み(過去スレ021の227)である。
証明
>>144より ψ は上半束としての単射準同型(過去スレ021の144)である。
x、y ∈ X のとき明らかに ↓(x∧y) = ↓x∧↓y である。
よって、ψ は束の準同型である。
証明終
0147Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/11(金) 05:27:14X を束(過去スレ021の156)とする。
I(X) を X のイデアル(過去スレ021の527)全体とする。
X が最小元 0 を持つとき I_0(X) = I(X) とおく。
X が最小元 0 を持たないとき I_0(X) = I(X)∪{φ} とおく。
0148Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/11(金) 06:13:15X を束(過去スレ021の156)とする。
I_0(X) (>>147)は包含関係に関して完備束(過去スレ018の914)となる。
証明
Φ を X のイデアルからなる集合とする。
過去スレ018の915より inf Φ が I_0(X) において存在することを証明すればよい。
I_0(X) は最大元 X を持つ。
よって、Φ が空集合のとき X は I_0(X) における Φ の下限である。
よって、Φ は空集合でないとする。
>>128より ∩Φ は空でなければ X のイデアルである。
この場合、∩Φ は I_0(X) における Φ の下限である。
∩Φ が空のときは X は最小元 0 を持たない。
この場合、空集合 は I_0(X) における Φ の下限である。
証明終
0149Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/11(金) 08:26:28X を上半束(過去スレ021の115)で昇鎖律(過去スレ021の395)を満たすとする。
A を X の任意の空でない部分集合とする。
このとき A の空でない有限部分集合 F_0 があり sup A = ∨F_0 となる。
証明
過去スレ021の398より {∨F；F は A の空でない有限部分集合} は極大元 ∨F_0 を持つ。
任意の x ∈ A に対して F = (F_0)∨x とおく。
∨F_0 ≦ ∨F より ∨F_0 = ∨F である。
よって x ∈ ∨F_0 である。
よって、∨F_0 は A の最大元である。
よって、sup A = ∨F_0 である。
証明終
0150Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/11(金) 08:55:12命題
X を上半束(過去スレ021の115)で昇鎖律(過去スレ021の395)を満たすとする。
A を X の任意の空でない部分集合とする。
このとき A の空でない有限部分集合 F_0 があり sup A = ∨F_0 となる。
証明
過去スレ021の398より {∨F；F は A の空でない有限部分集合} は極大元 ∨F_0 を持つ。
任意の x ∈ A に対して F = (F_0)∨x とおく。
∨F_0 ≦ ∨F より ∨F_0 = ∨F である。
よって x ∈ ∨F_0 である。
よって、∨F_0 は A の上界である。
A の任意の上界 a は F_0 の上界であるから ∨F_0 ≦ a である。
よって、sup A = ∨F_0 である。
証明終
0151Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/11(金) 09:01:06X を上半束(過去スレ021の115)で昇鎖律(過去スレ021の395)を満たすとする。
X が最小元を持てば X は完備束(過去スレ018の914)である。
証明
>>150と過去スレ018の915による。
0152Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/11(金) 09:08:33X を上半束(過去スレ021の115)で昇鎖律(過去スレ021の395)を満たすとする。
X の任意のイデアル(過去スレ021の527)は単項イデアル(>>136)である。
証明
I を X の任意のイデアルとする。
>>150より、I の空でない有限部分集合 F_0 があり sup I = ∨F_0 となる。
∨F_0 ∈ I だから ∨F_0 は I の最大元である。
よって I は ∨F_0 で生成される単項イデアルである。
証明終
0153Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/11(金) 10:16:19命題
X を分配束(過去スレ021の322)とする。
I を X の極大イデアル(>>99)とする。
このとき I は素イデアル(>>100)である。
証明
a と b を X の元で a ∈ X - I、ab ∈ I とする。
I は極大イデアルだから X = I∨↓a
よって、b ∈ I∨↓a
一方、>>115より、I∨↓a = {x ∈ X；x ≦ c∨a となる c ∈ I がある}
よって、b ≦ c∨a となる c ∈ I がある。
b = b∧(c∨a) = (b∧c)∨(b∧a) ∈ I
よって、I は素イデアルである。
証明終
0154Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/11(金) 11:54:20T を X の部分集合とする。
T-下写像(過去スレ021の297) T↓：X → P(X) を考える。
即ち x ∈ X のとき T↓(x) = T∩↓x = {t ∈ T； t ≦ x} である。
x、y ∈ X のとき T↓(x∧y) = T↓(x)∩T↓(y) である。
x、y ∈ X のとき T↓(x∨y) = T↓(x)∪T↓(y) となる条件を考えてみる。
T↓(x∨y) ⊃ T↓(x)∪T↓(y) であるから T↓(x∨y) ⊂ T↓(x)∪T↓(y) となればよい。
これは各 t ∈ T に対して t ≦ x∨y ⇒ t ≦ x または t ≦ y となることと同値である。
これは各 t ∈ T に対して単項フィルター↑t (過去スレ021の521)が素フィルター(>>97)
であることと同値である。
0155Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/11(金) 12:07:21X を束(過去スレ021の156)とする。
a を X の元とする。
は単項フィルター↑a (過去スレ021の521)が素フィルター(>>97)であるとき
a は∨素元(join-prime element)であるという。
0156Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/11(金) 12:11:45>これは各 t ∈ T に対して単項フィルター↑t (過去スレ021の521)が素フィルター(>>97)
>であることと同値である。
これは各 t ∈ T に対して t が X の最小元であるか
単項フィルター↑t (過去スレ021の521)が素フィルター(>>97)であることと同値である。
0157Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/11(金) 12:17:16定義
X を束(過去スレ021の156)とする。
a を X の元とする。
単項フィルター↑a (過去スレ021の521)が素フィルター(>>97)であるとき
a は∨素元(join-prime element)であるという。
0158Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/11(金) 12:20:21X を束(過去スレ021の156)とする。
a を X の元とする。
単項イデアル↓a (過去スレ021の521)が素イデアル(>>100)であるとき
a は∧素元(meet-prime element)であるという。
0159Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/11(金) 13:59:55N = {1、2、．．．} を自然数全体の集合とする。
x、y ∈ N、y が x で割れるとき x ≦ y と定義することにより N は束となる。
N の∨素元(>>157)とは何か？
0160Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/11(金) 14:37:30X を束(過去スレ021の156)とする。
p を X の元とする。
p が∨素元(>>157) ⇒ p が∨既約元(過去スレ021の403)
証明
p が∨素元であるとする。
↑p は素フィルター(>>97)であるから p は X の最小元ではない。
x、y ∈ X で p = x∨y とする。
x∨y ∈↑p だから p ≦ x または p ≦ y である。
x ≦ p だから p ≦ x なら p = x
同様に p ≦ y なら p = y
よって p は∨既約元である。
証明終
0161Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/11(金) 14:41:06X を分配束(過去スレ021の322)とする。
p を X の元とする。
p が∨素元(>>157) ⇔ p が∨既約元(過去スレ021の403)
証明
>>160より、p が∨素元なら p は∨既約元である。
p が∨既約元なら過去スレ021の413より、p は∨素元である。
証明終
0162１３２人目の素数さん
2011/02/11(金) 16:30:45Ｚ／１０５Ｚ、の可逆元のなす群
Ｕ（Ｚ／１０５Ｚ）
と同型。
__________
これの証明よろしくおねがいします
0163Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/11(金) 19:47:00X を束(過去スレ021の156)とする。
B を X の空でない部分集合とする。
以下の条件は同値である。
(1) B-下写像(過去スレ021の297) B↓：X → P(X) は順序埋め込み(過去スレ021の227)である。
(2) B-下写像 B↓：X → P(X) は単射である。
(3) B は X において結び密(過去スレ021の914)である。
証明
(1) ⇒ (2)
自明である。
(2) ⇒ (1)
x、y ∈ X のとき B↓(x∧y) = B↓(x)∩B↓(y) である。
よって、>>122の双対より B↓ は順序埋め込みである。
(1) ⇒ (3)
x, y ∈ X とし、y は B↓(x) の上界とする。
B↓(x) ≦ B↓(y) であるから x ≦ y である。
よって x = sup B↓(x) である。
(3) ⇒ (2)
B↓(x) = B↓(y) なら過去スレ021の915より x = sup B↓(x) = sup B↓(y) = y
よって、B↓は単射である。
証明終
0164Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/11(金) 20:09:45命題
X を束(過去スレ021の156)とする。
B を X の空でない部分集合とする。
以下の条件は同値である。
(1) B-下写像(過去スレ021の297) B↓：X → P(B) は順序埋め込み(過去スレ021の227)である。
(2) B-下写像 B↓：X → P(B) は単射である。
(3) B は X において結び密(過去スレ021の914)である。
証明
(1) ⇒ (2)
自明である。
(2) ⇒ (1)
x、y ∈ X のとき B↓(x∧y) = B↓(x)∩B↓(y) である。
よって、>>122の双対より B↓ は順序埋め込みである。
(1) ⇒ (3)
x, y ∈ X とし、y は B↓(x) の上界とする。
B↓(x) ≦ B↓(y) であるから x ≦ y である。
よって x = sup B↓(x) である。
(3) ⇒ (2)
B↓(x) = B↓(y) なら過去スレ021の915より x = sup B↓(x) = sup B↓(y) = y
よって、B↓は単射である。
証明終
0165Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/11(金) 20:11:05X を束(過去スレ021の156)とする。
B を X の空でない部分集合とする。
B は以下の条件を満たすとする。
(1) B の各元は X の∨素元(>>157)である。
(2) B は X において結び密(過去スレ021の914)である。
このとき、B-下写像 B↓：X → P(B) は束の準同型(過去スレ021の193)で単射である。
証明
>>154より、B↓は束の準同型である。
>>164より、B↓は単射である。
証明終
0166Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/12(土) 07:51:54X と Y を空でない束(過去スレ021の156)とする。
f：X → Y を束の準同型(過去スレ021の193)とする。
f が単射のとき f を束埋め込み(lattice embedding)または単に埋め込みと言う。
0167Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/12(土) 07:57:36X を極小条件(過去スレ021の397)を満たす空でない分配束(過去スレ021の322)とする。
B を X の∨既約元(過去スレ021の403)全体とする。
このとき B-下写像(過去スレ021の297) B↓：X → Down(B) (過去スレ021の516)は
束埋め込み(>>166)である。
証明
過去スレ021の416より、X の最小限でない任意の元は有限個の∨既約元の結びとなる。
よって、B は X において結び密(過去スレ021の914)である。
>>161より B は X の∨素元(>>157)全体と一致する。
よって、>>165より、B↓：X → Down(B) は束埋め込みである。
証明終
0168Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/12(土) 09:17:16X を空でない有限分配束(過去スレ021の322)とする。
B を X の∨既約元(過去スレ021の403)全体とする。
このとき B-下写像(過去スレ021の297) B↓：X → Down(B) (過去スレ021の516)は束同型である。
証明
X は有限順序集合だから極小条件(過去スレ021の397)を満たす。
よって、>>167より B↓：X → Down(B) は束埋め込み(>>166)である。
よって、B↓が全射であることを証明すればよい。
X は最小元 0 = inf X を持つ。
B↓(0) = φ である。
D = {x_1、．．．、x_n} を Down(B) の空でない元とする。
x = x_1∨．．．∨x_n とおく。
>>161より、B の各元は∨素元(>>157)である。
よって、y ≦ x、y ∈ B なら y ≦ x_i となる i がある。
D は B の下集合(過去スレ021の516)だから y ∈ D である。
よって、
逆の包含関係は明らかであるから B↓(x) = D である。
よって、B↓は全射である。
証明終
0169Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/12(土) 11:26:19X を束(過去スレ021の156)とする。
B を X の空でない部分集合とする。
B は以下の条件を満たすとする。
(1) B の各元は X の∨素元(>>157)である。
(2) B は X において結び密(過去スレ021の914)である。
このとき、X は分配束(過去スレ021の322)である。
証明
>>165より X は P(B) の部分束(過去スレ021の190)と同型である。
よって、X は分配束である。
証明終
0170Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/12(土) 11:28:13N = {1、2、．．．} を自然数全体の集合とする。
x、y ∈ N、y が x で割れるとき x ≦ y と定義することにより N は束となる。
B を N の∨素元(>>157)全体の集合とする(>>159参照)。
B は N において結び密(過去スレ021の914)である。
よって、>>169より N は分配束である。
0171Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/12(土) 18:12:47X を空でない有限分配束(過去スレ021の322)とする。
B を X の∨既約元(過去スレ021の403)全体とする。
|B| = length(X) (過去スレ021の379)である。
ここで、|B| は B の元の個数である。
証明
C を length(X) = length(C) となる X の鎖(過去スレ021の377)とする。
X は最小元 0 = ∧X と最大元 1 = ∨X をもつ。
0 = 1 のときは命題は自明であるから 0 ≠ 1 と仮定する。
ψ：B → C - {0} を ψ(a) = min {x ∈ C：a ≦ x} により定義する。
任意の a ∈ B に対して 1 ∈ {x ∈ C：a ≦ x} であるから ψ(a) は一意に定まる。
x を C - {0} の任意の元とする。
ψ(a) = x となる a が存在することを証明しよう。
y_0 ∈ C を x の直前の元(過去スレ021の242)とする。
>>167より、B↓(y_0) ⊂ B↓(x) かつ B↓(y_0) ≠ B↓(x) である。
よって、a ∈ B↓(x) - B↓(y_0) がある。
y ∈ C：a ≦ y とする。
a ∈ B↓(y) である。
y ＜ x なら y ≦ y_0 より、a ∈ B↓(y) ⊂ B↓(y_0) となって a の定義に反する。
よって、x ≦ y である。
即ち ψ(a) = x である。
以上から ψ は全射である。
(続く)
0172Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/12(土) 18:16:21次に ψ が単射であることを示そう。
ψ(a) = ψ(b) とする。
x ∈ C を ψ(a) の直前の元(過去スレ021の242)とする。
a∨x = b∨x = ψ(a)
よって、a = a∧(a∨x) = a∧(b∨x) = (a∧b)∨(a∧x)
a は∨既約だから a = a∧b または a = a∧x
よって、a ≦ b または a ≦ x
しかし、a ≦ x では有り得ないから a ≦ b である。
同様に b ≦ a である。
よって、a = b である。
よって、ψ は単射である。
よって、ψ は全単射である。
よって、|B| = |C| - 1 = length(X)
証明終
0173Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/12(土) 20:16:48命題
X を空でない有限分配束(過去スレ021の322)とする。
B を X の∨既約元(過去スレ021の403)全体とする。
|B| = length(X) (過去スレ021の379)である。
ここで、|B| は B の元の個数である。
証明
n = length(X) とする。
0 = x_0 ＜ x_1 ＜ ．．．＜ x_n = 1 を X における長さ n の鎖 C とする。
>>168より、φ = B↓(x_0) ⊂ B↓(x_1) ⊂ ．．．⊂ B↓(x_n) = B は
Down(B) における極大鎖である。
各 i、i = 0、．．．、n-1 に対して
|B↓(x_(i+1)) - B↓(x_i)| = 1 であることを証明しよう。
x = x_i、y = x_(i+1) とおく。
a、b ∈ B↓(y) - B↓(x) とする。
a∨x = b∨x = y
よって、a = a∧(a∨x) = a∧(b∨x) = (a∧b)∨(a∧x)
a は∨既約だから a = a∧b または a = a∧x
よって、a ≦ b または a ≦ x
しかし、a ≦ x では有り得ないから a ≦ b である。
同様に b ≦ a である。
よって、a = b である。
よって、|B↓(x_i)| = i、i = 0、．．．、n である。
よって、|B| = |B↓(x_n)| = n である。
証明終
0174１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 05:38:220175Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/13(日) 07:07:03X を分配束(過去スレ021の322)とする。
length(X) (過去スレ021の379)が有限なら X は有限集合である。
証明
X は空でないと仮定してよい。
B を X の∨既約元(過去スレ021の403)全体とする。
X は極小条件(過去スレ021の397)を満たすから
過去スレ021の416より、X の最小限でない任意の元は有限個の∨既約元の結びとなる。
よって、B が有限集合であることを示せばよい。
n = length(X) とする。
0 = x_0 ＜ x_1 ＜ ．．．＜ x_n = 1 を X における長さ n の鎖 C とする。
X は極小条件(過去スレ021の397)を満たすから>>167より
B-下写像(過去スレ021の297) B↓：X → Down(B) は束埋め込み(>>166)である。
よって、φ = B↓(x_0) ⊂ B↓(x_1) ⊂ ．．．⊂ B↓(x_n) = B は
Down(B) における鎖(過去スレ021の377)である。
>>173の証明と同様にして各 i、i = 0、．．．、n-1 に対して
|B↓(x_(i+1)) - B↓(x_i)| = 1 である。
よって、|B↓(x_i)| = i、i = 0、．．．、n である。
よって、|B| = |B↓(x_n)| = n である。
証明終
0176Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/13(日) 07:18:03命題
X を分配束(過去スレ021の322)とする。
length(X) (過去スレ021の379)が有限なら X は有限集合である。
証明
X は空でないと仮定してよい。
B を X の∨既約元(過去スレ021の403)全体とする。
X は極小条件(過去スレ021の397)を満たすから
過去スレ021の416より、X の最小限でない任意の元は有限個の∨既約元の結びとなる。
よって、B が有限集合であることを示せばよい。
n = length(X) とする。
X は昇鎖律(過去スレ021の395)を満たすから>>150より最大元 1 を持つ。
X は降鎖律(過去スレ021の396)を満たすから>>150の双対より最小元 0 を持つ。
0 = x_0 ＜ x_1 ＜ ．．．＜ x_n = 1 を X における長さ n の鎖 C とする。
X は極小条件(過去スレ021の397)を満たすから>>167より
B-下写像(過去スレ021の297) B↓：X → Down(B) は束埋め込み(>>166)である。
よって、φ = B↓(x_0) ⊂ B↓(x_1) ⊂ ．．．⊂ B↓(x_n) = B は
Down(B) における鎖(過去スレ021の377)である。
>>173の証明と同様にして各 i、i = 0、．．．、n-1 に対して
|B↓(x_(i+1)) - B↓(x_i)| = 1 である。
よって、|B↓(x_i)| = i、i = 0、．．．、n である。
よって、|B| = |B↓(x_n)| = n である。
証明終
0177Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/13(日) 08:22:46X を束(過去スレ021の156)とする。
a ∈ X を∨素元(>>157)とする。
このとき (↑a)^c は X の素イデアル(>>100)である。
ここで ↑a = {x ∈ X； a ≦ x} は a で生成される単項フィルター(>>136)であり
(↑a)^c は ↑a の X における補集合である。
証明
↑a は素フィルター(>>97)であるから X ≠ ↑a である。
よって、(↑a)^c は空でない。
x ∈ (↑a)^c、y ≦ x とする。
a ≦ y なら a ≦ x となって x ∈ (↑a)^c に反する。
よって、y ∈ (↑a)^c である。
a は∨素元だから a ≦ x∨y ⇒ a ≦ x または a ≦ y
対偶をとって x、y ∈ (↑a)^c ⇒ x∨y ∈ (↑a)^c
以上から (↑a)^c はイデアルである。
a ≦ x かつ a ≦ y ⇒ a ≦ x∧y
対偶をとって x∧y ∈ (↑a)^c ⇒ x ∈ (↑a)^c または y ∈ (↑a)^c
よって、(↑a)^c は素イデアルである。
証明終
0178Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/13(日) 09:34:02X を束(過去スレ021の156)とする。
X の素イデアル(>>100)全体の集合を Spec(X) と書く。
Spec はスペクトル(spectrum)を意味する。
0179Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/13(日) 09:52:02X を束(過去スレ021の156)とする。
X の∨素元(>>157)全体を JP(X) とする。
>>177より x ∈ JP(X) のとき (↑x)^c ∈ Spec(X) (>>178) である。
写像 f：JP(X) → Spec(X) を f(x) = (↑x)^c により定義する。
このとき f は順序埋め込み(過去スレ021の227)である。
証明
x、y ∈ X、x ≦ y とする。
↑y ⊂ ↑x であるから、(↑x)^c ⊂ (↑y)^c である。
逆に、x、y ∈ X、(↑x)^c ⊂ (↑y)^c とする。
↑y ⊂ ↑x であるから y ∈ ↑x である。
よって、x ≦ y である。
証明終
0181Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/13(日) 10:55:44X を極小条件(過去スレ021の397)を満たす束(過去スレ021の156)とする。
このとき>>179の写像 f：JP(X) → Spec(X) は順序同型である。
証明
>>179より f は順序埋め込み(過去スレ021の227)である。
よって、f が全射であることを証明すればよい。
過去スレ021の398より X は降鎖律(過去スレ021の396)を満たす。
よって、>>152の双対より X の任意のフィルター(過去スレ021の527)は単項フィルター(>>136)である。
一方、>>106より X の任意の素イデアルは素フィルターの補集合である。
よって、f は全射である。
証明終
0182Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/13(日) 11:03:39X を束(過去スレ021の156)とする。
X の∧素元(>>158)全体を MP(X) (MP は meet-prime の頭文字)とする。
x ∈ MP(X) のとき ↓x ∈ Spec(X) (>>178) である。
写像 g：MP(X) → Spec(X) を g(x) = ↓x により定義する。
このとき g は順序埋め込み(過去スレ021の227)である。
証明
x、y ∈ X、x ≦ y とする。
a ≦ x なら a ≦ y であるから ↓x ⊂ ↓y である。
逆に、x、y ∈ X、↓x ⊂ ↓y とする。
x ∈ ↓x であるから x ∈ ↓y である。
よって、x ≦ y である。
証明終
0183Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/13(日) 11:10:19X を極大条件(過去スレ021の397)を満たす束(過去スレ021の156)とする。
このとき>>182の写像 g：MP(X) → Spec(X) は順序同型である。
証明
>>182より f は順序埋め込み(過去スレ021の227)である。
よって、f が全射であることを証明すればよい。
過去スレ021の398より X は昇鎖律(過去スレ021の395)を満たす。
よって、>>152より X の任意のイデアル(過去スレ021の527)は単項イデアル(>>136)である。
よって、g は全射である。
証明終
0184Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/13(日) 11:20:35X を長さ(過去スレ021の379)有限な束(過去スレ021の156)とする。
X の∨素元(>>157)全体を JP(X) とする。
X の∧素元(>>158)全体を MP(X) とする。
このとき JP(X) と MP(X) は順序同型である。
証明
X は長さ有限だから昇鎖律(過去スレ021の395)および降鎖律(過去スレ021の396)を満たす。
よって、過去スレ021の398より X は極大条件(過去スレ021の397)および
極小条件(過去スレ021の397)を満たす。
よって、>>182と>>183より本命題が得られる。
証明終
0185Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/13(日) 12:10:08N = {1、2、．．．} を自然数全体の集合とする。
x、y ∈ N、y が x で割れるとき x ≦ y と定義することにより N は束となる。
Spec(N) (>>178) を決定せよ。
0186Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/13(日) 15:14:17X を原子的(過去スレ021の342)な区分的相補束(過去スレ021の368)とする。
A を X の原子(過去スレ021の339)全体の集合とする。
任意の x ∈ X に対して A↓(x) = {a ∈ A； a ≦ x} とおく。
このとき x = sup A↓(x) である。
証明
X は原子的だから A↓(x) = φ なら x = 0 である。
よって、この場合 x = sup A↓(x) である。
よって、A↓(x) ≠ φ と仮定する。
x は A↓(x) の上限である。
u を A↓(x) の任意の上限とする。
m = x∧u とおく。
m = x であることを証明しよう。
0 ＜ m ≦ x である。
0 ＜ m ＜ x と仮定する。
m の区間 [0, x] における相対補元(過去スレ021の363)を m’とする。
0 ＜ m’＜ x である。
X は原子的だから a ≦ m’となる原子 a がある。
m’＜ x だから a ＜ x である。
よって、a ∈ A↓(x) である。
よって、a ≦ u である。
よって、a ≦ m である。
よって、a ≦ m∧m’= 0 となって矛盾。
よって、m = x である。
よって、x ≦ u であるから x = sup A↓(x) である。
証明終
0187Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/13(日) 15:59:16X を原子的(過去スレ021の342)な一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
A を X の原子(過去スレ021の339)全体の集合とする。
P(A) を A の冪集合とする。
任意の x ∈ X に対して A↓(x) = {a ∈ A； a ≦ x} とおく。
このとき A-下写像(過去スレ021の297) A↓：X → P(A) は
一般Boole代数の準同型(>>29)で順序埋め込み(過去スレ021の227)である。
証明
過去スレ021の409より A は X の∨既約元(過去スレ021の403)全体と一致する。
よって、>>161より A は X の∨素元(>>157)全体と一致する。
>>186より、A は X において結び密(過去スレ021の914)である。
よって、>>165より A↓：X → P(A) は束埋め込み(>>166)である。
A↓(0) = φ であるから A↓ は一般Boole代数の準同型で順序埋め込みである。
証明終
0188Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/13(日) 16:06:18X を原子的(過去スレ021の342)なBoole代数(過去スレ021の336)とする。
A を X の原子(過去スレ021の339)全体の集合とする。
P(A) を A の冪集合とする。
任意の x ∈ X に対して A↓(x) = {a ∈ A； a ≦ x} とおく。
このとき A-下写像(過去スレ021の297) A↓：X → P(A) は
Boole代数の準同型(>>30)で順序埋め込み(過去スレ021の227)である。
証明
>>187より、A↓ は一般Boole代数の準同型で順序埋め込みである。
A↓(1) = A であるから A↓ はBoole代数の準同型である。
証明終
0189Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/13(日) 17:07:00有限な一般Boole代数(過去スレ021の373)はBoole代数(過去スレ021の336)である。
証明
X を有限な一般Boole代数とする。
X は束であるから sup X が存在する。
sup X は X の最大元であるから X はBoole代数である。
証明終
0190Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/13(日) 17:26:34X を有限な一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
>>189より X はBoole代数(過去スレ021の336)である。
A を X の原子(過去スレ021の339)全体の集合とする。
P(A) を A の冪集合とする。
任意の x ∈ X に対して A↓(x) = {a ∈ A； a ≦ x} とおく。
このとき A-下写像(過去スレ021の297) A↓：X → P(A) はBoole代数の同型である。
証明
X は有限順序集合であるから原子的(過去スレ021の342)である。
よって、>>188より A↓：X → P(A) はBoole代数の準同型で順序埋め込みである。
S = {a_1、．．．、a_n} を P(A) の任意の空でない部分集合とする。
x = a_1∨．．．∨a_n とおく。
a ∈ A、a ≦ x とする。
a = a∧x = (a∧a_1)∨．．．∨(a∧a_n)
各 i に対して a∧a_i = 0 または a∧a_i = a である。
よって、a∧a_i = a となる i がある。
このとき a = a_i である。
よって、a ≦ x である。
よって、A↓(x) = S である。
一方、A↓(0) = φ であるから A↓：X → P(A) は全射である。
証明終
0191Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/14(月) 05:47:03X をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
x、y、z ∈ X のとき
(1) x∧y ≦ z ⇔ y ≦ x’∨z
(2) x∨y ≧ z ⇔ y ≧ x’∧z
証明
(1) x∧y ≦ z なら x’∨(x∧y) ≦ x’∨z
x’∨(x∧y) = x’∨y だから x’∨y ≦ x’∨z
よって、y ≦ x’∨z
逆に y ≦ x’∨z なら x∧y ≦ x∧(x’∨z) = x∧z ≦ z
(2) は (1) の双対である。
証明終
0192Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/14(月) 06:03:50X を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
(y_i)、i ∈ I を X の元の族とし、∨y_i が存在するとする。
このとき任意の x ∈ X に対して x∧(∨y_i) = ∨(x∧y_i)
証明
y = ∨y_i とおく。
各 i に対して y_i ≦ y
よって、x∧y_i ≦ x∧y
よって、∨(x∧y_i) ≦ x∧y
逆向きの不等式を証明しよう。
z = ∨(x∧y_i) とおく。
x、y、z は区間 [0, x∨y] に含まれる。
x’を x の [0, x∨y] における補元とする。
各 i に対して x∧y_i ≦ z
>>191より、y_i ≦ x’∨z
よって、y ≦ x’∨z
再び>>191より、x∧y ≦ z
証明終
0193Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/14(月) 06:25:44X を完備(過去スレ018の914)かつ原子的(過去スレ021の342)なBoole代数(過去スレ021の336)とする。
A を X の原子(過去スレ021の339)全体の集合とする。
P(A) を A の冪集合とする。
任意の x ∈ X に対して A↓(x) = {a ∈ A； a ≦ x} とおく。
このとき A-下写像(過去スレ021の297) A↓：X → P(A) はBoole代数の同型である。
証明
>>188より A↓：X → P(A) はBoole代数の準同型(>>30)で順序埋め込み(過去スレ021の227)である。
Y = {y_i；i ∈ I} を P(A) の空でない部分集合とする。
y = ∨y_i とおく。
x ∈ A、x ≦ y のとき>>192より x = x∧y = ∨(x∧y_i)
x は原子だから x = x∧y_i となる i がある。
y_i は原子だから x = y_i である。
よって、x ∈ Y である。
よって、A↓(y) ⊂ Y である。
逆の包含関係は明らかであるから Y = A↓(y) である。
よって、A↓：X → P(A) は全射である。
証明終
0194Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/14(月) 08:17:55X を分配束(過去スレ021の322)とする。
S を X の下向きの有向部分集合(過去スレ021の510)とする。
I を X のイデアルで S ∩ I = φ とする。
Ψ = {J；J は X のイデアルで I ⊂ J かつ S ∩ J = φ} とおく。
P を Ψ の極大元とする。
このとき P は素イデアルである。
証明
S ∩ P = φ で S は空でないから P ≠ X である。
a と b を P に含まれない X の元とする。
a∧b ∈ P と仮定して矛盾を導けばよい。
P ＜ P∨↓a、P ＜ P∨↓b である。
よって、S ∩ (P∨↓a) ≠ φ、S ∩ (P∨↓b) ≠ φ である。
よって s ≦ x∨a、t ≦ y∨b となる s、t ∈ S、x、y ∈ P がある。
S は下向きの有向部分集合だから u ≦ x∨a、u ≦ y∨b となる u ∈ S がある。
u ≦ (x∨a)∧(y∨b) = (x∧y)∨(x∧b)∨(a∧y)∨(a∧b) ∈ P
よって、u ∈ P となって矛盾。
証明終
0195Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/14(月) 08:22:24X を分配束(過去スレ021の322)とする。
S を X の下向きの有向部分集合(過去スレ021の510)とする。
I を X のイデアルで S ∩ I = φ とする。
このとき I を含む X の素イデアル P で S ∩ P = φ となるものがある。
証明
Ψ = {J；J は A のイデアルで I ⊂ J かつ S ∩ J = φ} とおく。
I ∈ Ψ だから Ψ は空でない。
Φ を Ψ の空でない部分集合で包含関係に関して全順序集合になっているものとする。
L = ∪{J； J ∈ Φ} は X のイデアルで I ⊂ L である。
S ∩ L ≠ φ とすると S ∩ J ≠ φ となる J ∈ Φ があることになって矛盾である。
よって、L ∈ Φ である。
よって、Φ は帰納的な順序集合であるからZornの補題より Φ は極大元 P を持つ。
>>194より P は素イデアルである。
証明終
0196Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/14(月) 08:28:37X を分配束(過去スレ021の322)とする。
I を X のイデアルで a ∈ X - I とする。
このとき I を含む X の素イデアル P で a ∈ X - P となるものがある。
証明
a∧a = a であるから S = {a} は X の下向きの有向部分集合(過去スレ021の510)である。
よって本命題は>>195から得られる。
証明終
0197Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/14(月) 08:47:52X を束(過去スレ021の156)とする。
任意の a ∈ X に対して
V(a) = {P ∈ Spec(X) (>>178)； a ∈ P}
D(a) = Spec(X) - V(a)
とおく。
0198Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/14(月) 08:59:28X を束(過去スレ021の156)とする。
a、b ∈ X のとき、
V(a∧b) = V(a)∪V(b)
V(a∨b) = V(a)∩V(b)
a が補元(過去スレ021の369) a’を持てば
V(a’) = V(a)’
証明
V(a∧b) = V(a)∪V(b) と V(a∨b) = V(a)∩V(b) は明らかである。
V(a)∪V(a’) = V(a∧a’) = V(0) = Spec(X)
V(a)∩V(a’) = V(a∨a’) = V(1) = φ
よって、V(a’) = V(a)’
証明終
0199Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/14(月) 09:02:13X を束(過去スレ021の156)とする。
a、b ∈ X のとき、
D(a∧b) = D(a)∩D(b)
D(a∨b) = D(a)∪D(b)
a が補元(過去スレ021の369) a’を持てば
D(a’) = D(a)’
証明
>>198より明らかである。
0200Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/14(月) 12:01:58X を分配束(過去スレ021の322)とする。
I を X の任意のイデアルとする。
このとき、I = ∩{P ∈ Spec(X)；I ⊂ P}
証明
J = ∩{P ∈ Spec(X)；I ⊂ P} とおく。
a ∈ X - I なら>>196より I を含む X の素イデアル P で a ∈ X - P となるものがある。
よって、a ∈ X - J
即ち X - I ⊂ X - J である。
よって、J ⊂ I である。
逆の包含関係は明らかであるから I = J である。
証明終
0201Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/14(月) 12:14:18X を分配束(過去スレ021の322)とする。
Down(Spec(X)) を Spec(X) (>>178) の下集合の全体(過去スレ021の516)とする。
写像 ρ：X → Down(Spec(X)) を ρ(a) = D(a) (>>197) で定義する。
このとき ρ は束埋め込み(>>166)である。
証明
>>199より ρ は束の準同型(過去スレ021の193)である。
x、y ∈ X、D(x) = D(y) とする。
V(x) = V(y) (>>197)である。
単項イデアル(>>136) ↓x (過去スレ021の521)を含む素イデアル全体は V(x) であるから
>>200より ↓x = ∩{P ∈ V(x)}
よって、↓x = ↓y である。
よって、x = y である。
よって、ρ は単射である。
証明終
0202Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/14(月) 15:25:18X を有限な分配束(過去スレ021の322)とする。
Down(Spec(X)) を Spec(X) (>>178) の下集合の全体(過去スレ021の516)とする。
写像 ρ：X → Down(Spec(X)) を ρ(a) = D(a) (>>197) で定義する。
このとき ρ は束の同型である。
証明
>>201より ρ は束埋め込み(>>166)であるから ρ が全射であることを証明すればよい。
S = {P_1、．．．、P_n} を Down(Spec(X)) の空でない部分集合とする。
>>106より各 (P_i)^c は素フィルター(>>97)である。
>>138より各 (P_i)^c は単項フィルター(>>136) ↑a_i である。
a = ∨a_i とおく。
D(a) = S を証明しよう。
任意の P ∈ D(a) は P = (↑d)^c と書ける。
P ∈ D(a) ⇔ a ∈ P^c ⇔ a ∈ ↑d ⇔ d ≦ a ⇔ d ≦ a_i となる i がある
⇔ ↑a_i ⊂ ↑d ⇔ (↑d)^c ⊂ (↑a_i)^c ⇔ P ⊂ P_i ⇔ P ∈ S
よって、D(a) = S
一方、D(0) = φ であるから ρ は全射である。
証明終
0203Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/15(火) 07:50:04X を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
>>44より X は一般Boole環(>>5)と見なせる。
P を X の部分集合とする。
このとき、次の条件は同値である。
(1) P は束としての X の素イデアル(>>100)である。
(2) P は環としての X の素イデアルである。
証明
>>107より明らかである。
0204Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/15(火) 08:02:37X を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
Down(Spec(X)) を Spec(X) (>>178) の下集合の全体(過去スレ021の516)とする。
写像 ρ：X → Down(Spec(X)) を ρ(a) = D(a) (>>197) で定義する。
このとき ρ は一般Boole代数の単射準同型(>>29)である。
X がBoole代数(過去スレ021の336)のとき ρ はBoole代数の単射準同型(>>30)である。
証明
>>201より明らかである。
0205Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/15(火) 08:17:57X を有限な一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
P(Spec(X)) を Spec(X) (>>178) の冪集合とする。
写像 ρ：X → P(Spec(X)) を ρ(a) = D(a) (>>197) で定義する。
このとき ρ は束としての（従ってBoole代数としての）同型である。
証明
>>44より X は一般Boole環(>>5)と見なせる。
>>203と>>75より Spec(X) は X の極大イデアル(>>99)全体の集合である。
よって、本命題は>>202より明らかである。
証明終
0206Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/15(火) 08:20:39これは相補束(過去スレ021の330)でも成り立つ。
0207Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/15(火) 08:21:48X を相補束(過去スレ021の330)とする。
X の任意の素イデアルは極大イデアルである。
証明
P を X の素イデアルとする。
x ∈ X - P とする。
x の補元(過去スレ021の328)を y とする。
x∧y = 0 であるから y ∈ P である。
x∨y = 1 であるから (↓x)∨P= X
よって、P は極大イデアルである。
証明終
0208Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/15(火) 08:26:47命題(有限Boole代数の表現定理)
X を有限な一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
P(Spec(X)) を Spec(X) (>>178) の冪集合とする。
写像 ρ：X → P(Spec(X)) を ρ(a) = D(a) (>>197) で定義する。
このとき ρ は束としての（従ってBoole代数としての）同型である。
証明
>>44より X は一般Boole環(>>5)と見なせる。
>>153と>>203と>>75より Spec(X) は X の極大イデアル(>>99)全体の集合である。
よって、本命題は>>202より明らかである。
証明終
0209Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/15(火) 09:14:35X と Y を束(過去スレ021の156)とする。
f：X → Y を束としての準同型(過去スレ021の193)とする。
f(0) = 0、f(1) = 1 となるとき f を {0, 1}-準同型と言う。
0210Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/15(火) 09:36:25P を順序集合とする。
Down(P) を P の下集合の全体(過去スレ021の516)とする。
Down(P) は包含関係で束(過去スレ021の156)となる。
このとき、任意の a ∈ P に対して κ(a) = {D ∈ Down(P)；a ∈ P - D} は
Down(P) の素イデアル(>>100)である。
証明
φ ∈ κ(a) であるから κ(a) は空でない。
D ∈ κ(a)、D’⊂ D、D’∈ Down(P) なら a ∈ P - D’であるから D’∈ κ(a) である。
D、D’∈ κ(a) なら a ∈ D^c ∩ (D’)^c = (D∪D’)^c
よって、D∪D’∈ κ(a)
ここで D^c などは D の補集合を表す。
よって、κ(a) はDown(P)のイデアルである。
D、D’∈ Down(P)、D∩D’∈ κ(a) なら a ∈ (D∩D’)^c = D^c ∪ (D’)^c
よって、D ∈ κ(a) または D’∈ κ(a)
よって、κ(a) はDown(P)の素イデアルである。
証明終
0211Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/15(火) 10:40:54P を有限順序集合とする。
Down(P) を P の下集合の全体(過去スレ021の516)とする。
Down(P) は包含関係で束(過去スレ021の156)となる。
D を P の下集合(過去スレ021の516)とする。
このとき、以下の条件は同値である。
(1) D は Down(P) の∨既約元(過去スレ021の403)である。
(2) D は P の単項イデアル(>>136)である。
証明
(1) ⇒ (2)
D は有限な下集合だから D = ↓a_1∪．．．∪↓a_n となる。
D は∨既約であるから D = ↓a_i となる i がある。
(2) ⇒ (1)
D = ↓a とする。
D = D_1∪D_2、D_1、D_2 ∈ Down(P) とする。
a ∈ D_1∪D_2 より a ∈ D_1 または a ∈ D_2
よって、D_1 = ↓a または D_2 = ↓a
よって、D は∨既約である。
証明終
0212Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/15(火) 10:57:10P を順序集合とする。
Down(P) を P の下集合(過去スレ021の516)の全体とする。
Down(P) は包含関係で束(過去スレ021の156)となる。
任意の a ∈ P に対して κ(a) = {D ∈ Down(P)；a ∈ P - D} とおく。
>>210より、κ(a) ∈ Spec(Down(P)) (>>178)である。
このとき κ：P → Spec(Down(P)) は順序埋め込み(過去スレ021の227)である。
証明
任意の a ∈ P に対して ν(a) = {D ∈ Down(P)；a ∈ D} とおく。
κ(a) = ν(a)^c である(^c は補集合を表す)。
a、b ∈ P、a ≦ b とする。
ν(b) ⊂ ν(a) より κ(a) ⊂ κ(b)
逆に a、b ∈ P、κ(a) ⊂ κ(b) とする。
↓b ∈ ν(b)、ν(b) ⊂ ν(a) より ↓b ∈ ν(a)
よって、a ∈ ↓b
よって、a ≦ b
証明終
0213Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/15(火) 11:14:08P を有限順序集合とする。
Down(P) を P の下集合(過去スレ021の516)の全体とする。
Down(P) は包含関係で束(過去スレ021の156)となる。
任意の a ∈ P に対して κ(a) = {D ∈ Down(P)；a ∈ P - D} とおく。
>>210より、κ(a) ∈ Spec(Down(P)) (>>178)である。
このとき κ：P → Spec(Down(P)) は順序同型である。
証明
>>212より、κ が全射であることを証明すればよい。
π を Down(P) の素イデアルとする。
>>106より、π^c = Down(P) - π は素フィルターである。
Down(P) は有限集合であるから>>138より π^c は単項フィルターである。
π^c = ↑D とする。
π^c は素フィルターであるから D は Down(P) の∨素元(>>157)である。
>>161より D は Down(P) の∨既約元(過去スレ021の403)である。
よって、>>211より D = ↓a となる a ∈ P がある。
このとき π = κ(a) である。
証明終
0214Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/15(火) 13:53:29定義
X と Y を有界な束(過去スレ021の156)とする。
f：X → Y を束としての準同型(過去スレ021の193)とする。
f(0) = 0、f(1) = 1 となるとき f を {0, 1}-準同型と言う。
0215Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/15(火) 14:34:47任意の a ∈ P に対して a ∈ ↓a ∈ Down(P)
よって、κ(a) ≠ Down(P) である。
0216Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/15(火) 14:39:40X と Y を有界な束(過去スレ021の156)とする。
f：X → Y を{0, 1}-準同型(>>214)とする。
P を Y の任意の素イデアル(>>100)とする。
このとき f^(-1)(P) は X の素イデアルである。
証明
f(0) ∈ P より、0 ∈ f^(-1)(P) であるから f^(-1)(P) は空でない。
過去スレ021の589より f^(-1)(P) は X の下集合(過去スレ021の516)である。
x、y ∈ f^(-1)(P) とする。
f(x∨y) = f(x)∨f(y) ∈ P
よって、x∨y ∈ f^(-1)(P)
よって、f^(-1)(P) は X のイデアル(過去スレ021の527)である。
P ≠ Y だから f(1) = 1 は P に含まれない。
よって、1 は f^(-1)(P) に含まれない。
よって f^(-1)(P) ≠ X である。
x∧y ∈ f^(-1)(P) とする。
f(x∧y) = f(x)∧f(y) ∈ P
よって、f(x) ∈ P または f(y) ∈ P
よって、x ∈ f^(-1)(P) または y ∈ f^(-1)(P)
以上から f^(-1)(P) は X の素イデアルである。
証明終
0217Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/15(火) 15:05:43FinPoset を有限順序集合とその間の単調増加写像全体のなす圏とする。
f：X → Y を FinDLat における射とする。
>>216より、写像 f^(-1)：Spec(Y) → Spec(X) が得られる。
f^(-1) は明らかに FinPoset における射である。
よって、関手 Spec：FinDLat → (FinPoset)^o が得られる。
ここで、(FinPoset)^o はFinPosetの双対圏(過去スレ017の352)である。
逆に g：S → T を FinPoset における射とする。
過去スレ021の589より 写像 g^(-1)：Down(T) → Down(S) (過去スレ021の516)が得られる。
g^(-1) は明らかに FinDLat における射である。
よって、関手 Down：(FinPoset)^o → FinDLat が得られる。
>>202より合成関手 Down・Spec は単位関手 1_FinDLat に自然同型(過去スレ018の144)である。
>>213より合成関手 Spec・Down は単位関手 1_(FinPoset)^o に自然同型である。
よって、FinDLat と (FinPoset)^o は圏同値(過去スレ017の404)である。
0218Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/15(火) 16:01:05この種の双対定理で最初に発見されたものはStoneによるBoole代数と完全不連結なコンパクト空間の間の
双対定理である。
0219１３２人目の素数さん
2011/02/15(火) 16:24:310220１３２人目の素数さん
2011/02/16(水) 00:57:140221Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 07:36:33Stoneの表現定理(>>204)よりBoole代数の単射準同型 ρ：A → Down(Spec(A)) が得られる。
>>44より A はBoole環(>>6)と見なせる。
よって Spec(A) にはZariski位相(>>48)が入る。
この位相について調べてみよう。
0222Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 07:47:02A を単位元を持つ可換環とする。
A の素イデアル全体の集合をSpec(A)と書く(過去スレ001の81)。
S を A の部分集合とする。
V(S) = {P ∈ Spec(A)； S ⊂ P} と書く。
D(S) = Spec(A) - V(S) と書く。
0223Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 07:52:08A を単位元を持つ可換環とする。
a ∈ A のとき
V({a}) (>>222) を V(a) と書く。
D({a}) (>>222) を D(a) と書く。
a_1、．．．、a_n ∈ A のとき
V({a_1、．．．、a_n}) (>>222)を V(a_1、．．．、a_n) と書く。
D({a_1、．．．、a_n}) (>>222)を D(a_1、．．．、a_n) と書く。
0224Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 08:04:57A を単位元を持つ可換環とする。
>>222の記法の下で以下が成り立つ。
(1) V(0) = Spec(A)、V(1) = φ
(2) S ⊂ T ⊂ A のとき V(T) ⊂ V(S)
(3) S を A の部分集合とし、(S) を S で生成されるイデアルとする。
このとき V(S) = V((S)) である。
(4) (S_i), i ∈ I を A の部分集合の族とする。
このとき V(∪S_i) = ∩V(S_i) である。
(5) (J_i), i ∈ I を A のイデアルの族とする。
このとき V(ΣJ_i) = ∩V(J_i) である。
証明
自明である。
0225Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 08:07:57A を単位元を持つ可換環とする。
>>222の記法の下で以下が成り立つ。
(1) D(0) = φ、D(1) = Spec(A)
(2) S ⊂ T ⊂ A のとき D(S) ⊂ D(T)
(3) S を A の部分集合とし、(S) を S で生成されるイデアルとする。
このとき D(S) = D((S)) である。
(4) (S_i), i ∈ I を A の部分集合の族とする。
このとき D(∪S_i) = ∪D(S_i) である。
(5) (J_i), i ∈ I を A のイデアルの族とする。
このとき D(ΣJ_i) = ∪D(J_i) である。
証明
>>224から明らかである。
0226Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 08:18:33A を単位元を持つ可換環とする。
I と J を A のイデアルとし、P を A の素イデアルとする。
このとき、IJ ⊂ P ⇒ I ⊂ P または J ⊂ P
証明
I ⊂ P でないとする。
I - P の元 a がある。
aJ ⊂ P より J ⊂ P である。
証明終
0227Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 08:25:35A を単位元を持つ可換環とする。
I と J を A のイデアルとする。
このとき>>222の記法の下で以下が成り立つ。
(1) V(IJ) = V(I)∪V(J)
(2) D(IJ) = D(I)∩D(J)
証明
(2) は (1)から明らかであるから (1) のみを証明すればよい。
IJ ⊂ I、IJ ⊂ J と>>224の(2)より V(I)∪V(J) ⊂ V(IJ)
他方、>>226より、V(IJ) ⊂ V(I)∪V(J)
証明終
0228１３２人目の素数さん
2011/02/16(水) 08:31:580229Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 10:21:28A を単位元を持つ可換環とする。
I を A のイデアルとする。
rad(I) を I の根基(過去スレ001の164)とする。
即ち rad(I) は mod I で冪零となる A の元全体である。
このとき V(I) = V(rad(I)) である。
証明
I ⊂ rad(I) と>>224の(2)より V(rad(I)) ⊂ V(I)
P ∈ V(I) のとき任意の x ∈ rad(I) に対して x^n ∈ I ⊂ P となる n がある。
よって、x ∈ P である。
よって、rad(I) ⊂ P である。
よって、V(I) ⊂ V(rad(I)) である。
証明終
0230Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 10:25:40A を単位元を持つ可換環とする。
Y を Spec(A) (>>222) の任意の部分集合とする。
I(Y) = ∩{P；P ∈ Y} と書く。
0231Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 10:43:50A を単位元を持つ可換環とする。
P(A) を A の冪集合とする。
P(A) を包含関係により順序集合と見なす。
P(Spec(A)) を Spec(A) (>>222) の冪集合とする。
P(Spec(A)) を包含関係により順序集合と見なす。
(P(Spec(A)))^o を P(Spec(A)) の双対順序集合(過去スレ021の168)とする。
写像 V：P(A) → (P(Spec(A)))^o を S ∈ P(A) に V(S) (>>222) を対応させる写像とする。
写像 I：(P(Spec(A)))^o → P(A) を Y ∈ (P(Spec(A)))^o に I(Y) (>>230) を対応させる写像とする。
このとき、(P(A), V, I, (P(Spec(A))^o) はGalois対応(過去スレ021の642)である。
証明
S ∈ P(A)、Y ∈ P(Spec(A) のとき
V(S) ⊃ Y ⇔ S ⊂ I(Y)
を確かめればよいが、これは V(S) と I(Y) の定義から明らかである。
証明終
0232Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 11:58:29A を単位元を持つ可換環とする。
Y を Spec(A) (>>222) の任意の部分集合とする。
このとき、>>222と>>230の記法で V(I(Y)) は Y の閉包である。
証明
>>231より、(P(A), V, I, (P(Spec(A))^o) はGalois対応(過去スレ021の642)である。
過去スレ021の663より、VI：P(Spec(A)) → P(Spec(A)) は閉包作用子であり、
V(P(A)) は VI に関する閉元全体である。
Zariski位相の定義より V(P(A)) は Spec(A) の閉集合全体であるから
V(I(Y)) は Y の閉包である。
証明終
0233Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 11:59:43A を単位元を持つ可換環とする。
I を A のイデアルとする。
I = rad(I) (>>229) となるとき I を根基イデアルと言う。
0234Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 12:09:02A を単位元を持つ可換環とする。
写像 V：P(A) → P(Spec(A)) を S ∈ P(A) に V(S) (>>222) を対応させる写像とする。
写像 I：P(Spec(A)) → P(A) を Y ∈ P(Spec(A)) に I(Y) (>>230) を対応させる写像とする。
A の根基イデアル全体(>>233)を R(A) とする。
Spec(A) (>>222) の閉集合全体を C(A) とする。
写像 V の R(A) への制限を V^* とする。
写像 I の C(A) への制限を I^* とする。
このとき V^* は全単射であり I^* はその逆写像である。
証明
>>231より、(P(A), V, I, (P(Spec(A))^o) はGalois対応(過去スレ021の642)である。
よって、過去スレ021の696より本命題が得られる。
証明終
0235Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 12:19:48A を単位元を持つ可換環とする。
A がNoether環であれば Spec(A) はNoether空間(過去スレ001の214)である。
即ち Spec(A) の閉集合全体は包含関係に関して極小条件(過去スレ021の397)を満たす。
証明
>>234の写像 V^* は単調減少であることから明らかである。
0236Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 12:50:46A を単位元を持つ可換環とする。
P を A の素イデアルとする。
{P} の Spec(A) における閉包は V(P) (>>222) である。
よって、 P が極大イデアル ⇔ {P} が閉集合
証明
>>232より明らかである。
0237Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 13:19:47A を単位元を持つ可換環とする。
Spec(A) は T_0 空間(過去スレ018の223)である。
証明
Spec(A) の部分集合 T の閉包を cl(T) と書く。
P、Q ∈ Spec(A)、cl({P}) = cl({Q}) とする。
>>236より V(P) = V(Q) である。
よって、P ⊂ Q かつ Q ⊂ P となり P = Q である。
よって、過去スレ021の738より Spec(A) は T_0 空間である。
証明終
0238Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 13:59:01A を単位元を持つ可換環とする。
任意の a ∈ A に対して D(a) (>>223) は Spec(A) の部分空間として
準コンパクト(過去スレ006の104)である。
証明
>>225の(4)より、D(b)、b ∈ A の形の集合全体は Spec(A) のZariski位相(過去スレ001の160)の
開集合の基底である。
(a_λ)、λ ∈ Λ を A の元の族で D(a) ⊂ ∪{D(a_λ)；λ∈Λ} とする。
(a_λ)、λ ∈ Λ で生成される A のイデアルを I とする。
>>225より D(I) = ∪D(a_λ) である。
よって、D(a) ⊂ D(I)
よって、V(I) ⊂ V(a)
よって、IV(a) ⊂ IV(I) (>>230)
よって、rad(aA) ⊂ rad(I) (>>72)
よって、a^n ∈ I となる n がある。
よって、Λ の有限部分集合 Γ があり J を (a_λ)、λ ∈ Γ で生成されるイデアルとしたとき
a^n ∈ J となる。
V(J) ⊂ V(a^n) = V(a) であるから D(a) ⊂ D(J) = ∪{D(a_λ)；λ∈Γ}
よって、D(a) は準コンパクトである。
証明終
0239Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 15:29:23A と B を単位元を持つ可換環とする。
f：A → B を準同型とする（f(1) = 1 とする）。
任意の P ∈ Spec(B) に対して f^(-1)(P) ∈ Spec(A) である。
写像 ψ：Spec(B) → Spec(A) を ψ(P) = f^(-1)(P) により定義する。
このとき、任意の E ⊂ A に対して ψ^(-1)(D(E)) = D(f(E)) である。
特に任意の a ∈ A に対して ψ^(-1)(D(a)) = D(f(a)) である。
証明
任意の P ∈ Spec(B) に対して A/f^(-1)(P) は B/P に同型である。
よって、f^(-1)(P) ∈ Spec(A) である。
次に任意の E ⊂ A に対して ψ^(-1)(V(E)) = V(f(E)) を証明すればよい。
P ∈ ψ^(-1)(V(E)) ⇔ f^(-1)(P) ∈ V(E) ⇔ E ⊂ f^(-1)(P) ⇔ f(E) ⊂ P ⇔ P ∈ V(f(E))
よって、ψ^(-1)(V(E)) = V(f(E)) である。
証明終
0240Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 15:40:14命題
A と B を単位元を持つ可換環とする。
f：A → B を準同型とする（f(1) = 1 とする）。
任意の P ∈ Spec(B) に対して f^(-1)(P) ∈ Spec(A) である。
写像 ψ：Spec(B) → Spec(A) を ψ(P) = f^(-1)(P) により定義する。
このとき、任意の E ⊂ A に対して ψ^(-1)(D(E)) = D(f(E)) である。
特に任意の a ∈ A に対して ψ^(-1)(D(a)) = D(f(a)) である。
よって、ψ は連続である。
証明
任意の P ∈ Spec(B) に対して π：B → B/P を標準射とする。
g = πf：A → B/P とおく。
Ker(g) = f^(-1)(P) である。
よって、A/f^(-1)(P) は g(A) に同型である。
一方、g(1) = 1 で B/P ≠ 0 であるから g(A) ≠ 0 である。
よって、f^(-1)(P) ≠ A である。
よって、f^(-1)(P) ∈ Spec(A) である。
次に任意の E ⊂ A に対して ψ^(-1)(V(E)) = V(f(E)) を証明すればよい。
P ∈ ψ^(-1)(V(E)) ⇔ f^(-1)(P) ∈ V(E) ⇔ E ⊂ f^(-1)(P) ⇔ f(E) ⊂ P ⇔ P ∈ V(f(E))
よって、ψ^(-1)(V(E)) = V(f(E)) である。
証明終
0241Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 15:43:09f(1) = 1 となることが必要である。
0242Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 15:54:42(CommRng)^o をCommRngの双対圏(過去スレ017の352)とする。
Top_0 を T_0 位相空間(過去スレ018の223)と連続写像の圏とする。
f：A → B をCommRngにおける射とする。
>>237より、A ∈ CommRng に対して Spec(A) ∈ Top_0 である。
A ∈ CommRng に Spec(A) ∈ Top_0 を対応させ、
f：A → B に>>240の射 ψ：Spec(B) → Spec(A) を対応させることにより
関手 Spec：(CommRng)^o → Top_0 が得られる。
0243１３２人目の素数さん
2011/02/16(水) 17:29:19また、そのための問題点はどこにあるのか？ 大前研一氏が解説する。
「英語力」における中国人の向上ぶりは顕著だ。最近、中国を訪れた外国人が驚くのが、
英語に堪能な中国人が急増していることだ。私自身も、中国を訪れる度にそれを実感している。
以前、CCTV（中国中央電視台）に出演した時、流暢な英語を話すスタッフに
「何年留学したの？」と訊いたら、「一度も国外に出たことはありません」という答えが返ってきた。
彼らの多くはアメリカのテレビ番組を見たり、無料インターネット通話のスカイプ（Skype）による
1か月100ドルで英語が喋り放題のフィリピンの英会話トレーニングサービスを利用したりして、
ひたすら国内で英語力を磨いているのだ。
5年以内に中国で英語を喋る人の数がアメリカを抜く、というジョークのような話も耳にするが、
あながち的外れではないかもしれない。
かたや日本では、英語教員のTOEICの平均スコアが中学560 点、高校620点という統計がある。
文部科学省はすべての英語教員に730点以上を求めているが、たとえば韓国でトップ5の大学に
合格するには800点以上が必要だ。
つまり、日本の中学・高校の英語教員は、海外では“教わるレベル”であり、
そういう人が教えているのだから、日本人の英語力が上がらないのもむべなるかな、である。
http://www.news-postseven.com/archives/20110216_12823.html
0244Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 19:58:26A を単位元を持つ可換環とする。
I を A のイデアルとする。
f：A → A/I を標準写像とする。
写像 ψ：Spec(A/I) → Spec(A) を ψ(P) = f^(-1)(P) により定義する(>>240参照)。
このとき ψ は Spec(A/I) と V(I) (>>222) の位相同型を引き起こす。
証明
ψ が Spec(A/I) から V(I) への全単射 φ を引き起こすことは明らかである。
>>240より φ は連続である。
Spec(A/I) の任意の閉集合は V(J/I) の形である。
ここで J は A のイデアルで I ⊂ J である。
このとき φ(V(J/I)) = V(J) ⊂ V(I) である。
よって、φ は閉写像である。
よって、φ は位相同型である。
証明終
0245Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 20:29:53X を位相空間とする。
X の各連結成分が１点のみからなるとき X を完全不連結(totally disconnected)と言う。
0246Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 20:30:57A をBoole環(>>6)とする。
任意の a ∈ A に対して b = 1 + a とおく。
このとき、D(a) ∩ D(b) = φ かつ Spec(A) = D(a) ∪ D(b) である。
証明
ab = 0 である。
よって、>>227より、D(a) ∩ D(b) = D(ab) = D(0) = φ
他方、a + b = 1 と>>225より、D(a) ∪ D(b) = D(a, b) = D(1) = Spec(A)
証明終
0247Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 20:55:11A をBoole環(>>6)とする。
Spec(A) (>>222) は完全不連結(>>245)なコンパクト空間である。
証明
>>238より Spec(A) は準コンパクトである。
P, Q ∈ Spec(A)、P ≠ Q とする。
>>75より P と Q は極大イデアルである
よって、Q ⊂ P では有り得ない。
よって、a ∈ Q、a ∈ Spec(A) - P となる a ∈ A がある。
即ち P ∈ D(a)、Q ∈ Spec(A) - D(a)
一方、>>246より Spec(A) - D(a) は開集合である。
よって、Spec(A) はHausdorff空間である。
任意の P ∈ Spec(A) に対して P を含む Spec(A) の連結成分を S とする。
S が P 以外の点 Q を含むとする。
上記より P ∈ D(a)、Q ∈ Spec(A) - D(a) となる a ∈ A がある。
V = Spec(A) - D(a) とおく。
V は開集合である。
S = (S ∩ D(a))∪(S ∩ V) であるが、D(a) と V は交わらないから S が連結であることに矛盾する。
よって、Spec(A) は完全不連結である。
証明終
0248Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/16(水) 20:58:50完全不連結(>>245)なコンパクト空間をStone空間と言う。
0249Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/17(木) 05:59:34X を位相空間とする。
X の開かつ閉な部分集合全体は X 上の集合代数(過去スレ007の196)である。
証明
自明である。
0250Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/17(木) 06:44:15X を位相空間とする。
任意の x、y ∈ X、x ≠ y に対して x ∈ U、y ∈ X - U となる開かつ閉な U があるとき
X を完全分離(totally separated)と言う。
0251Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/17(木) 06:56:40X を位相空間とする。
X の開かつ閉な部分集合全体が X の開集合の基底となるとき０次元(zero-dimensional)と言う。
即ち X の任意の点 x と x ∈ U となる開集合 U に対して x ∈ V ⊂ U となる開かつ閉な V が
存在するとき X を０次元と言う。
0252Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/17(木) 07:07:27定義
X を位相空間とする。
X の開かつ閉な部分集合全体が X の開集合の基底となるとき X を０次元(zero-dimensional)と言う。
即ち X の任意の点 x と x ∈ U となる任意の開集合 U に対して
x ∈ V ⊂ U となる開かつ閉な V が存在するとき X を０次元と言う。
0253１３２人目の素数さん
2011/02/17(木) 09:30:070254１３２人目の素数さん
2011/02/17(木) 10:20:03・報道権利擁護を訴える国際団体「プレス・エンブレム・キャンペーン」（ＰＥＣ、
本部ジュネーブ）は１６日、エジプトで反政府デモを取材していた米ＣＢＳニュースの
女性記者が、カイロ市内で集団性的暴行を受けた暴行事件に関して「殺人に等しい」と
厳しく非難する声明を発表した。
英字紙などによると、ＰＥＣは、エジプトでの混乱をめぐり、外国人報道関係者の
人権が完全に侵害されたのは今回が初めてとして非難。報道関係者を狙ったすべての
暴行事件の調査を即座に始めるよう訴えている。
暴行されたのは、ＣＢＳ番組「６０ミニッツ」を担当していたララ・ローガン記者（３９）。
ＣＢＳによると、同記者ら取材班がムバラク前大統領の辞任直後の１１日、タハリール広場で
デモを取材中、２００人以上の群衆に包囲され、同記者は取材班らと引き離された上で
殴られたり性的暴行を受けた後、現場にいた女性たちやエジプト軍兵士に救助された。
http://sankei.jp.msn.com/world/news/110217/mds11021708080000-n1.htm
※画像：CBSのララ・ローガン記者（ロイター）
http://sankei.jp.msn.com/images/news/110217/mds11021708080000-p1.jpg
0255１３２人目の素数さん
2011/02/17(木) 10:21:13http://assets.nydailynews.com/img/2011/02/16/amd_lara_logan.jpg
http://www.lukeford.net/Images/photos/laralogan.jpg
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0256Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/17(木) 11:12:18X を位相空間とする。
x、y ∈ X、y ∈ cl({x}) とする。
ここで、cl({x}) は {x} の閉包である。
このとき y は x の特殊化(specialization)と言い、
x は y の一般化(generalization)と言う。
y が x の特殊化であることを x → y と書く場合がある。
0257Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/17(木) 11:21:05X を位相空間とする。
E を X の閉集合とする。
x を E の点とし、cl({x}) を {x} の X における閉包とする。
E = cl({x}) となるとき x を E の生成点(generic point)と言う。
0258Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/17(木) 11:26:32位相空間 X が可約とは、 X = F_1 ∪ F_2 となる、X の閉部分集合
F_1, F_2 で X ≠ F_1, X ≠ F_2 となるものが存在することをいう。
空集合でない位相空間は可約でないとき既約という。
位相空間 X の部分集合 A が既約とは、A に部分空間としての位相を
いれたときに、既約なことをいう。
0259Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/17(木) 11:30:06X を位相空間とする。
X の任意の既約閉集合(>>258)が生成点(>>257)を一意に持つとき X は穏和(sober)であると言う。
0260Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/17(木) 12:02:00A を単位元を持つ可換環とする。
A の冪零元の全体を冪零元根基(nilradical)と言い nil(A) と書く。
0261Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/17(木) 12:05:21A を単位元を持つ可換環とする。
nil(A) (>>260) が 0 のとき A を被約(reduced)と言う。
0262Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/17(木) 12:41:21A を単位元を持つ可換環とする。
nil(A) (>>260) は A のイデアルである。
証明
a, b ∈ nil(A)、a^n = 0、a^m = 0 とする。
２項定理より、(a + b)^(n + m - 1) は (a^i)(b^j)、i + j = n + m - 1 の形の項の
整数係数の和である。
i ＜ n、j ＜ m なら i + j ＜ n + m - 1
よって、i + j = n + m - 1 なら i ≧ n または j ≧ m
よって、(a + b)^(n + m - 1) = 0
よって、a + b ∈ nil(A)
a ∈ nil(A)、a^n = 0 のとき任意の c ∈ A に対して (ca)^n = (c^n)(a^n) = 0
よって、ca ∈ nil(A)
以上から nil(A) は A のイデアルである。
証明終
0263Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/17(木) 12:59:03A を単位元を持つ可換環とする。
過去スレ001の163より nil(A) (>>260) は A のすべての素イデアルの共通集合と一致する。
これからも>>262は得られる。
しかし、過去スレ001の163はZornの補題を本質的に使っている。
I を A のイデアルとする。
上記から rad(I) (>>229) は I を含むすべての素イデアルの共通集合である。
>>234はこの事実を暗黙に使っている。
0264Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/17(木) 13:15:43A を単位元を持つ可換環とする。
このとき、Spec(A) が既約(>>258) ⇔ nil(A) (>>260)が素イデアル
証明
過去スレ001の208で証明済みである。
0265Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/17(木) 14:07:20A を単位元を持つ可換環とする。
Spec(A) は穏和空間(>>259)である。
証明
I を A のイデアルとし E = V(I) が既約(>>258)であるとする。
>>244より Spec(A/I) は既約である。
>>264より P = rad(I) (>>229)は素イデアルである。
>>229より、E = V(P) である。
>>232より、V(P) は {P} の閉包である。
よって、P は E の生成点(>>257)である。
>>237より E の生成点は E により一意に決まる。
証明終
0266１３２人目の素数さん
2011/02/17(木) 16:20:25じゃかあしいんじゃ
0267Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/17(木) 16:38:30X を位相空間とする。
KΩ を X の準コンパクト(過去スレ006の104)な開集合全体とする。
KΩ が以下の性質を満たすとき X を連接空間(coherent space)と呼ぶ。
(1) KΩ は X の位相の基底である。
(2) X ∈ KΩ
(3) U、V ∈ KΩ のとき U ∩ V ∈ KΩ
0268Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/17(木) 16:48:55完全不連結(>>245)な位相空間は T_1 空間(過去スレ018の233)である。
証明
任意の位相空間の連結成分は閉集合であることから明らかである。
0269Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/17(木) 16:56:06完全分離(>>250)な位相空間はHausdorffかつ完全不連結(>>245)である。
証明
X を完全分離な位相空間とする。
X がHausdorffであることは明らかである。
x、y ∈ X、x ≠ y とする。
x ∈ U、y ∈ X - U となる開かつ閉な U がある。
X の部分空間 {x, y} は連結でない。
よって、X は完全不連結である。
証明終
0270Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/17(木) 17:11:39０次元(>>252)の T_0 空間は正則(過去スレ006の210)（従ってHausdorff）である。
証明
X を０次元の T_0 空間とする。
x、y ∈ X、x ≠ y とする。
X は T_0 空間だから、
x ∈ U、y ∈ X - U または y ∈ U、x ∈ X - U となる開集合 U がある。
x ∈ U、y ∈ X - U と仮定してよい。
X は０次元だから x ∈ V ⊂ U となる開かつ閉な V がある。
y ∈ X - V であり、X - V は開集合だから X はHausdorffである。
E を X の閉集合で x ∈ X - E とする。
X - E は開集合だから x ∈ W ⊂ X - E となる開かつ閉な W がある。
E ⊂ X - W で X - W は開集合であるから X は正則である。
証明終
0271Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/18(金) 07:23:13X を位相空間とする。
x、y ∈ X とする。
x ∈ U、y ∈ V、X = U ∪ V、U ∩ V = φ となる開集合 U、V が存在しないとき
x ≡ y と書く。
このとき、≡ は X における同値関係である。
証明
推移律のみ証明すればよい。
x ≡ y かつ y ≡ z とする。
x ∈ U、z ∈ V、X = U ∪ V、U ∩ V = φ となる開集合 U、V が存在するとする。
y が U に含まれないなら y ∈ V となって x ≡ y に反する。
よって、y ∈ U である。
同様に y ∈ V である。
これは U ∩ V = φ に反する。
よって、x ≡ z である。
証明終
0272Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/18(金) 07:49:40X を位相空間とする。
X における>>271の同値関係 ≡ による同値類を X の準連結成分(quasi-component)と呼ぶ。
0273Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/18(金) 08:06:20X を位相空間とする。
X の点 x を含む X の準連結成分(>>272)は x を含む X の開かつ閉な部分集合全体の共通集合である。
証明
x を含む X の準連結成分を Q とする。
S を x を含む X の開かつ閉な部分集合全体の共通集合とする。
U を x を含む開かつ閉な部分集合とする。
Q ⊂ U でないとすると y ∈ Q - U となる y がある。
V = X - U とおけば V は開集合であり、
x ∈ U、y ∈ V、X = U ∪ V、U ∩ V = φ となり x ≡ y に矛盾である。
よって、Q ⊂ U である。
よって、Q ⊂ S である。
逆に、y ∈ S のとき x を含む任意の開かつ閉な部分集合 U に対して y ∈ U であるから
x ≡ y である。
よって、S ⊂ Q である。
証明終
0274Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/18(金) 08:17:02X を位相空間とする。
X の点 x を含む X の連結成分 S は x を含む X の準連結成分(>>272) Q に含まれる。
証明
y ∈ S とする。
x ∈ U、y ∈ V、X = U ∪ V、U ∩ V = φ となる X の開集合 U、V が存在するとする。
x ∈ S∩U、y ∈ S∩V、S = (S∩U)∪(S∩V)、(S∩U)∩(S∩V) = φ となる。
これは S が連結であることに反する。
よって、y ∈ Q である。
よって、S ⊂ Q である。
証明終
0275１３２人目の素数さん
2011/02/18(金) 09:21:000276Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/18(金) 09:51:33X を準コンパクト(過去スレ006の104)な位相空間とする。
U を X の開集合とする。
(F_i)、i ∈ I を X の閉集合の族で ∩F_i ⊂ U とする。
このとき I の有限部分集合 J があり ∩{F_i； i ∈ J} ⊂ U となる。
証明
X の部分集合 E に対して E^c = X - E と書く。
U^c ⊂ ∪(F_i)^c である。
U^c は閉集合であるから準コンパクトである。
よって、I の有限部分集合 J があり U^c ⊂ ∪{(F_i)^c ； i ∈ J} ⊂ U となる。
よって、∩{F_i； i ∈ J} ⊂ U となる。
証明終
0277Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/18(金) 10:21:52X をコンパクト空間(過去スレ006の104)とする。
X の任意の連結成分は X の準連結成分(>>272)である。
証明
x を X の任意の点とし、S を x を含む X の連結成分とする。
>>274より S は X の準連結成分 Q に含まれる。
Q が連結であることを証明すればよい。
>>273より、Q は閉集合である。
Q = A ∪ B、A ∩ B = φ となる閉集合 A、B があるとする。
x ∈ A とする。
X はコンパクトだから過去スレ007の664より X は正規空間(過去スレ007の663)である。
よって、A ⊂ U, B ⊂ V となる開集合 U, V で U ∩ V = φ となるものがある。
>>273より Q は x を含む X の開かつ閉な部分集合全体の共通集合である。
Q ⊂ U ∪ V であるから、>>276より x を含む有限個の開かつ閉な部分集合 F_1、．．．、F_n があり、
F = F_1 ∩．．．∩ F_n は U ∪ V に含まれる。
よって、F = (F ∩ U)∪(F ∩ V)、(F ∩ U)∩(F ∩ V) = φ
F は開かつ閉だから F ∩ V は開集合である。
よって、F ∩ U = F - (F ∩ V) は開かつ閉である。
x ∈ F ∩ U だから Q ⊂ F ∩ U ⊂ U である。
よって、B ⊂ U ∩ V = φ
よって、B = φ
よって、Q は連結である。
証明終
0278１３２人目の素数さん
2011/02/18(金) 11:34:12潰すよ？
0279Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/18(金) 11:51:16既約(>>258)なHausdorff空間は一点のみからなる。
証明
X を既約なHausdorff空間とする。
X は空でないから少なくとも一点 x を含む。
X が x と異なる点 y を含むとする。
X はHausdorffだから x ∈ U、y ∈ V、X = U ∪ V、U ∩ V = φ となる開集合 U、V が存在する。
しかし、X は既約だから U ∩ V ≠ φ である。
よって、X = {x} である。
証明終
0280１３２人目の素数さん
2011/02/18(金) 11:53:240281Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/18(金) 11:59:51X を位相空間とする。
以下の条件は同値である。
(1) X はStone空間(>>248)である。
(2) X は準コンパクト(過去スレ006の104)で完全分離(>>250)である。
(3) X は準コンパクト(過去スレ006の104)で０次元(>>252)の T_0 空間(過去スレ018の223)である。
(4) X はHausdorffで穏和(>>259)な連接空間(>>267)である。
証明
(1) ⇒ (2)
>>277より明らかである。
(2) ⇒ (1)
>>269より明らかである。
(1) ⇒ (3)
X が準コンパクトでT_0 空間であることは自明である。
>>277より X の任意の点 x に対して {x} は x を含む X の開かつ閉な部分集合全体の共通集合である。
よって、>>276より x ∈ U となる任意の開集合 U に対して
x を含む有限個の開かつ閉な部分集合 F_1、．．．、F_n があり ∩F_i ⊂ U となる。
∩F_i は開かつ閉であるから X は０次元である。
(続く)
0282Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/18(金) 12:00:45(3) ⇒ (2)
X は T_0 だから任意の x、y ∈ X、x ≠ y に対して x ∈ U、y ∈ X - U または y ∈ U、x ∈ X - U
となる開集合がある。
x ∈ U、y ∈ X - U と仮定してよい。
X は０次元だから x ∈ V ⊂ U となる開かつ閉な V がある。
このとき y ∈ X - V だから X は完全分離である。
(3) ⇒ (4)
上記から X はコンパクトであるから X の準コンパクト集合全体と X の閉集合全体は一致する。
よって、X の準コンパクトな開集合全体は開かつ閉な部分集合全体と一致する。
よって、X は連接空間である。
X はHausdorff空間だから>>279より X の既約部分集合は一点からなる。
よって、X は穏和である。
(4) ⇒ (3)
X はHausdorff連接空間だからコンパクトである。
よって、X の準コンパクトな開集合全体は開かつ閉な部分集合全体と一致する。
よって、０次元である。
証明終
0283１３２人目の素数さん
2011/02/18(金) 12:12:25いい加減にせえや
0284１３２人目の素数さん
2011/02/18(金) 12:26:27ﾏﾀｰﾘ読ませてもらっとります。
0285Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/18(金) 12:32:15A を単位元を持つ可換環とする。
Spec(A) の開集合 U が準コンパクトであるためには A の有限生成イデアル I により
U = D(I) となることが必要十分である。
証明
必要性：
A の部分集合 S があり U = D(S) (>>222)となる。
>>225の(4)より、U = ∪{D(a)； a ∈ S} となる。
U は準コンパクトであるから S の有限部分集合 T があり U = ∪{D(a)； a ∈ T} となる。
>>225の(4)より、U = D(T) となる。
T で生成されるイデアルを I とすれば >>225の(3)より、U = D(I) となる。
十分性：
I = (a_1、．．．、a_n) を A の有限生成イデアルとする。
>>225の(4)より、D(I) = D(a_1)∪．．．D(a_n) である。
>>238より各 D(a_i) は準コンパクトである。
よって、D(I) は準コンパクトである。
証明終
0286Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/18(金) 12:47:01A を単位元を持つ可換環とする。
U と V を Spec(A) の準コンパクトな開集合とする。
このとき U∩V は準コンパクトである。
証明
>>285より A の有限生成イデアル I、J により U = D(I)、V = D(J) と書ける。
>>227より、D(IJ) = D(I)∩D(J) である。
I = (a_1、．．．、a_n)、J = (b_1、．．．、b_m) とすると、
IJ = ({a_ib_j； i = 1、．．．、n、j = 1、．．．、m}) である。
よって、IJ は有限生成である。
よって、>>285より U∩V = D(I)∩D(J) は準コンパクトである。
証明終
0287Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/18(金) 13:04:29A を単位元を持つ可換環とする。
Spec(A) は穏和(>>259)な連接空間(>>267)である。
証明
X = Spec(A) とおく。
>>265より X は穏和(>>259)である。
KΩ を X の準コンパクト(過去スレ006の104)な開集合全体とする。
KΩ が>>267の条件を満たすことを証明すればよい。
(1) a ∈ A、D(a) (>>223) の形の集合全体は X の位相の基底である。
>>238より各 D(a) は準コンパクトであるから D(a) ∈ KΩ である。
よって、KΩ は X の位相の基底である。
(2) D(1) = X は準コンパクトであるから X ∈ KΩ である。
(3) U、V ∈ KΩ のとき>>286より U ∩ V ∈ KΩ である。
証明終
0288Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/18(金) 14:34:06A を一般Boole環(>>5)とする。
A の有限生成イデアルは単項イデアルである。
証明
I を A の有限生成イデアルとする。
>>44より A は一般Boole代数(過去スレ021の373)と見なせる。
>>107より I は順序集合としての A のイデアル(過去スレ021の527)である。
よって、>>137より I は単項イデアルである。
証明終
0289Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/18(金) 15:11:57A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
>>44より A はBoole環(>>6)と見なせる。
X = Spec(A) とおく。
X の開かつ閉な部分集合全体を S(X) とおく。
>>249より S(X) は包含関係に関してBoole代数である。
>>247より、X はStone空間(>>248)、特にHausdorff空間である。
>>238より任意の a ∈ A に対して D(a) は準コンパクトであるから D(a) ∈ S(X) である。
写像 ρ：A → S(X) を ρ(a) = D(a) で定義する。
このとき ρ はBoole代数の同型である。
証明
>>204よりρ：A → S(X) はBoole代数の単射準同型である。
他方、任意の U ∈ S(X) は準コンパクトであるから
>>285より、A の有限生成イデアル I により U = D(I) となる。
>>288より I は単項イデアルであるから ρ：A → S(X) は全射である。
証明終
0290１３２人目の素数さん
2011/02/18(金) 16:13:420291Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/18(金) 16:30:35A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
Z_2 を２元体 {0, 1} とする。
f：A → Z_2 を任意の指標(>>90)とする。
このとき f はBoole代数としての準同型(>>30)である。
証明
f(1) = 1 を証明すればよい。
f(1) = 0 と仮定する。
任意の a ∈ A に対して f(a) = f(a∧1) = f(a)∧f(1) = f(a)∧0 = 0
これは f ≠ 0 に反する。
証明終
0292Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/18(金) 17:18:29X を任意の空でない集合とする。
Φ を X 上の集合環(過去スレ007の189)とする。
Φ は包含関係により一般Boole代数(過去スレ021の373)と見なせる。
Z_2 を２元体 {0, 1} とする。
任意の x ∈ ∪Φ に対して写像 x＾：Φ → Z_2 を x＾(E) = χ_E(x) により定義する。
ここで、χ_E は E の特性関数である。
このとき、x＾は Φ の指標(>>90)である。
証明
>>44より Φ は一般Boole環(過去スレ021の336)と見なせる。
E、F ∈ Φ のとき
χ_(E∩F)(x) = (χ_E)(x)(χ_F)(x)
χ_(EΔF)(x) = (χ_E)(x) + (χ_F)(x)
である。
よって、
x＾(E∩F) = x＾(E)x＾(F)
x＾(EΔF) = x＾(E) + x＾(F)
よって、x＾：Φ → Z_2 は一般Boole環としての準同型である。
x ∈ ∪Φ であるから x ∈ E となる E ∈ Φ がある。
x＾(E) = χ_E(x) = 1 であるから x＾ ≠ 0 である。
よって、x＾は一般Boole環としての Φ の指標(>>76)である。
よって、>>44より x＾ は一般Boole代数としての Φ の指標である。
証明終
0293１３２人目の素数さん
2011/02/18(金) 18:49:100294１３２人目の素数さん
2011/02/18(金) 18:59:260295Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/19(土) 07:21:21A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
F を A の部分集合とする。
F’= {a’；a ∈ F} とおく。
このとき、以下が成り立つ。
(1) F はフィルター(過去スレ021の527) ⇔ F’はイデアル(過去スレ021の527)
(2) F は素フィルター(>>97) ⇔ F’は素イデアル(>>100)
(3) F は極大フィルター(>>96) ⇔ F’は極大イデアル(>>99)
証明
a ∈ A に a の補元 a’を対応させる写像は A の対合(過去スレ021の424)であることから明らか。
0296Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/19(土) 07:30:00A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
F ≠ A を A のフィルター(過去スレ021の527)とする。
以下の条件は同値である。
(1) 任意の a ∈ A に対して a ∈ F または a’∈ F
(2) F は素フィルターである。
(3) F は極大フィルターである。
証明
(1) ⇒ (2)
a ∈ A - F、b ∈ A、a∨b ∈ F とする。
a’∈ F だから a’∧(a∨b) ∈ F
a’∧(a∨b) = (a’∧a)∨(a’∧b) = 0∨(a’∧b) = a’∧b
よって、a’∧b ∈ F
a’∧b ≦ b だから b ∈ F
よって、F は素フィルターである。
(2) ⇒ (1)
任意の a ∈ A に対して a∨a’= 1 ∈ F
よって、a ∈ F または a’∈ F
(2) ⇔ (3)
>>75と>>203と>>295による。
証明終
0297Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/19(土) 08:11:05A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
f を A の任意の指標(>>90)とする。
このとき F = {x ∈ A；f(x) = 1} は A の極大フィルター(>>96)である。
証明
F’= {x’；x ∈ F} とおく。
任意の a ∈ A に対して f(a) = 1 ⇔ (f(a))’ = 0 ⇔ f(a’) = 0
よって、F’= {a ∈ A；f(a) = 0} である。
よって、F’は A の極大イデアルである(>>79)。
よって、>>296より F は A の極大フィルターである。
証明終
0298Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/19(土) 08:20:23X をStone空間(>>248)とする。
X の開かつ閉な部分集合全体を S(X) とおく。
>>249より S(X) は包含関係に関してBoole代数である。
Z_2 を２元体 {0, 1} とする。
S(X) の指標(>>90)の全体を S(X)＾と書く。
任意の x ∈ X に対して写像 x＾：S(X) → Z_2 を x＾(E) = χ_E(x) により定義する。
ここで、χ_E は E の特性関数である。
X ∈ S(X) であるから、>>292より x＾∈ S(X)＾である。
このとき、写像 x → x＾は X から S(X)＾への全単射である。
証明
x、y ∈ X、x ≠ y とする。
>>281より、X は完全分離(>>250)であるから、
x ∈ U、y ∈ X - U となる U ∈ S(X) がある。
x＾(U) = 1、y＾(U) = 0 だから x＾≠ y＾である。
よって、写像 x → x＾は単射である。
f ∈ S(X)＾を任意の指標とする。
Ψ = {E ∈ S(X)；f(E) = 1} とおく。
>>297より、Ψ は S(X) の極大フィルター(>>96)である。
Ψ は空集合を含まないから Ψ に属す有限個の集合は必ず交わる。
Ψ の各元は閉集合であり X はコンパクトだから ∩Ψ ≠ 0 である。
x ∈ ∩Ψ とする。
Ψ ⊂ {E ∈ S(X)；x＾(E) = 1} である。
Ψ は極大フィルターだから Ψ = {E ∈ S(X)；x＾(E) = 1} である。
よって、f = x＾ である。
よって、写像 x → x＾は全射である。
証明終
0299Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/19(土) 10:16:02I を集合とする。
ε = {0, 1} を２元体とする。
I から ε への写像の全体を ε^I とする。
F に離散位相を入れ、ε^I にその直積位相を入れる。
このとき ε^I はStone空間(>>248)である。
証明
X = ε^I とおく。
X はTychonoffの定理(過去スレ009の432)より準コンパクトである。
X はHausdorff空間 ε の直積であるからHausdorff空間である。
S を I の任意の有限部分集合とし α：S → ε を任意の写像とする。
U(α, S) = {f ∈ X； 各 i ∈ S に対して f(i) = α(i)} とおく。
U(α, S) の形の集合全体は X の位相の基底である。
各 i ∈ I に対して
D(i) = {f ∈ X； f(i) = 1}
V(i) = {f ∈ X； f(i) = 0}
とおく。
D(i) および V(i) は X の開集合であり V(i) = X - D(i) である。
よって D(i) および V(i) は X の開かつ閉な部分集合である。
上記の U(α, S) は D(i) または V(i) の有限個の共通集合であるから
X の開かつ閉な部分集合である。
よって、X は０次元(>>252)である。
以上から X は>>281の条件(3)を満たす。
よって、X はStone空間(>>248)である。
証明終
0300Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/19(土) 11:24:07>F に離散位相を入れ、ε^I にその直積位相を入れる。
ε に離散位相を入れ、ε^I にその直積位相を入れる。
0301Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/19(土) 11:44:11A をBoole環(>>6)とする。
ε = {0, 1} を２元体とする。
A から ε への写像の全体を ε^A とする。
ε に離散位相を入れ、ε^A にその直積位相を入れる。
A の指標(>>90)の全体 X(A) は ε^A の部分集合であるから ε^A の部分空間としての位相が入る。
一方、>>79より f ∈ X(A) に Ker(f) を対応させることにより
X(A) から Spec(A)（>>78）への全単射 ψ が得られる。
このとき ψ は位相同型である。
証明
任意の a ∈ A に対して a＾= {f ∈ X(A)； f(a) = 1} とおく。
>>88より、a、b ∈ A のとき (ab)＾= (a＾)∩(b＾)
一方、(a’)＾ = {f ∈ X(A)； f(a’) = 1} = {f ∈ X(A)； f(a) = 0} である。
よって、>>299の証明より {a＾； a ∈ A} は X(A) の位相の基底である。
他方、>>225の(4)より、{D(a)； a ∈ A} は Spec(A) の位相の基底である。
任意の a ∈ A に対して
ψ^(-1)(D(a)) = {f ∈ X(A)； f(a) = 1} = a＾
よって、ψ は位相同型である。
証明終
0302Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/19(土) 11:52:10A をBoole環(>>6)とする。
ε = {0, 1} を２元体とする。
A から ε への写像の全体を ε^A とする。
ε に離散位相を入れ、ε^A にその直積位相を入れる。
A の指標(>>90)の全体 X(A) は ε^A の閉集合である。
証明
>>301よりε^A の部分空間としての X(A) の位相は Spec(A) と位相同型である。
他方、>>247より Spec(A) はコンパクトである。
ε^A はHausdorff空間であるから Spec(A) は閉集合である。
証明終
0303Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/19(土) 12:17:18X をStone空間(>>248)とする。
X の開かつ閉な部分集合全体を S(X) とおく。
>>249より S(X) は包含関係に関してBoole代数である。
S(X) の指標(>>90)の全体を S(X)＾と書く。
>>298より x ∈ X に x＾∈ S(X)＾を対応させる写像 γ：X → S(X)＾は全単射である。
一方、ε = {0, 1} を２元体としたとき S(X)＾は ε^S(X) (>>299)の部分空間としての位相が入る。
このとき、γ：X → S(X)＾は位相同型である。
証明
任意の E ∈ S(X) に対して E＾= {f ∈ S(X)＾； f(E) = 1} とおく。
x ∈ X のとき γ(x) ∈ E＾ ⇔ x＾(E) = 1 ⇔ x ∈ E
よって、γ^(-1)(E＾) = E
>>299の証明より {E＾； E ∈ S(X)} は S(X)＾の位相の基底である。
他方、X はStone空間であるから>>281の条件(3)より S(X) は X の位相の基底である。
よって、γ：X → S(X)＾は位相同型である。
証明終
0304Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/19(土) 13:09:32A をBoole代数とする。
ε = {0, 1} を２元体とする。
A から ε への写像の全体を ε^A とする。
ε に離散位相を入れ、ε^A にその直積位相を入れる。
A＾を A の指標(>>90)の全体とする。
A＾ は ε^A の部分空間としての位相を入れることにより位相空間となる。
このとき、位相空間 A＾ を A の指標空間と言う。
0305Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/19(土) 13:58:41BoolをBoole代数(過去スレ021の336)の圏とする。
Setを小さい集合(過去スレ017の321)全体の圏とする。
f：A → B をBoolにおける射(>>30)とする。
>>46より、Bool はCommRng(>>242)の充満(過去スレ017の362)な部分圏と見なせる。
よって、>>240より P ∈ Spec(B) に f^(-1)(P) ∈ Spec(A) を対応させることにより
写像 Spec(f)：Spec(B) → Spec(A) が得られる。
よって、A ∈ Bool に Spec(A) ∈ Set を対応させることにより
関手 Spec：(Bool)^o → Set が得られる。
ε = {0, 1} を２元体とする。
このとき、関手 Spec は (ε, 0) により表現可能(過去スレ017の653)である。
証明
A ∈ Bool のとき Hom(A, ε) は A の指標全体 X(A) である。
>>79より χ ∈ X(A) に Ker(χ) を対応させることにより
X(A) から Spec(A) への全単射が得られる。
f：A → B をBoolにおける射(>>30)とする。
χ ∈ X(B) のとき x ∈ Ker(χf) ⇔ χf(x) = 0 ⇔ f(x) ∈ Ker(χ) ⇔ x ∈ f^(-1)( Ker(χ))
よって、Ker(χf) = f^(-1)( Ker(χ))
よって、次の図式が可換である。
X(B) → X(A)
↓ ↓
Spec(B) → Spec(A)
よって、関手 A → Hom(A, ε) と関手 A → Spec(A) は自然同型(過去スレ018の144)である。
このとき、1_ε ∈ Hom(ε, ε) には 0 イデアル ∈ Spec(ε) が対応する。
証明終
0306Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/19(土) 14:35:48BoolをBoole代数(過去スレ021の336)の圏とする。
f：A → B をBoolにおける射(>>30)とする。
A と B の指標空間(>>304)をそれぞれ A＾、B＾とする。
χ ∈ B＾に χf ∈ A＾を対応させることにより写像 f＾：B＾ → A＾が得られる。
このとき f＾は連続である。
証明
直接証明するのも簡単だが次のようにも証明出来る。
>>301より A＾ は Spec(A) と位相同型である。
よって、本命題は>>240と>>305より明らかである。
証明終
0307１３２人目の素数さん
2011/02/19(土) 17:08:360308Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/19(土) 17:21:17指標空間の開かつ閉な部分集合全体のなすBoole代数です。
これについて詳しいことはこれからやります。
0309１３２人目の素数さん
2011/02/20(日) 01:34:11.300310１３２人目の素数さん
2011/02/20(日) 01:50:20.160311Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/20(日) 04:05:10.11（指標空間の双対空間は）指標空間の開かつ閉な部分集合全体のなすBoole代数です。
0312Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/20(日) 05:45:06.53X と Y を位相空間とし、f：X → Y を連続写像とする。
S(X) と S(Y) をそれぞれ X と Y の開かつ閉な部分集合全体とする。
>>249より S(X) と S(Y) はそれぞれ包含関係に関してBoole代数(過去スレ021の336)となる。
E ∈ S(Y) のとき f^(-1)(E) ∈ S(Y) である。
よって、E ∈ S(Y) に f^(-1)(E) ∈ S(Y) を対応させる写像 f^(-1)：S(Y) → S(X) が得られる。
このとき f^(-1)：S(Y) → S(X) はBoole代数の準同型(>>30)である。
証明
自明である。
0313Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/20(日) 06:27:17.91A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
A の指標空間(>>304)を A＾とする。
A＾の開かつ閉な部分集合全体を S(A＾) とする。
>>249より S(X) は包含関係に関してBoole代数である。
任意の a ∈ A に対して a＾ = {χ ∈ A＾；χ(a) = 1} とおく。
このとき、a＾ ∈ S(A＾) であり、
写像 ρ：A → S(A＾) を ρ(a) = a＾ で定義すると、
ρ はBoole代数の同型である。
証明
>>289と>>301より明らかである。
0314Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/20(日) 06:31:54.50Boole代数(過去スレ021の336)の圏をBoolとする。
(Bool)^o をBoolの双対圏(過去スレ017の352)とする。
Stone空間(>>248)とその間の連続関数のなす圏をStoneとする。
>>306より A ∈ Bool に A の指標空間(>>304) A＾を対応させることにより
関手 Γ：(Bool)^o → Stone が得られる。
他方、>>312より、X ∈ Stone に X の開かつ閉な部分集合全体のなすBoole代数 S(X) を
対応させることにより関手 Σ：Stone → (Bool)^o が得られる。
このとき Σ は Γ の準逆関手(過去スレ017の394)である。
即ち、ΣΓ ～ 1_(Bool)^o、ΓΣ ～ 1_Stone である。
ここで、1_(Bool)^o と 1_Stone はそれぞれ (Bool)^o と Stone の恒等関手であり、
～ は自然同型(過去スレ018の144)を表す。
よって、(Bool)^o と Stone は圏同値(過去スレ017の404)である。
証明
>>313と>>303より明らかである。
0315Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/20(日) 09:12:37.14Boole代数の代数的性質はその指標空間の位相的性質に対応し、
Stone空間の位相的性質はその開かつ閉な部分集合全体のなすBoole代数の代数的性質に対応する。
その例をいくつか述べる。
0316Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/20(日) 09:35:35.12A をBoole代数(過去スレ021の336)とし、A＾をその指標空間(>>304)とする。
このとき以下は同値である。
(1) A は有限である。
(2) A＾は有限である。
(3) A＾の位相は離散である。
証明
(1) ⇒ (2)
自明である。
(2) ⇒ (1)
Stoneの双対定理(>>314)より A は A＾の開かつ閉な部分集合全体のなすBoole代数と同型である。
よって、A＾が有限なら A も有限である。
(2) ⇒ (3)
A＾はStone空間(>>248)、従ってHausdorff空間であるから A＾の各点は閉集合である。
よって、A＾が有限なら A＾の各点は開集合である。
よって、A＾の位相は離散である。
(3) ⇒ (2)
A＾が離散なら A＾の各点は開集合である。
A＾はコンパクトであるから A＾は有限である。
証明終
0317１３２人目の素数さん
2011/02/20(日) 10:30:43.710318ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY
2011/02/20(日) 11:13:41.66は憐れやナ。
猫
0319１３２人目の素数さん
2011/02/20(日) 11:25:35.770320ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY
2011/02/20(日) 11:46:03.44そやからオマエの名前と理由を出せっちゅうてるのや。オマエには脳は
付いとんのかァ！ ちゃんと読めや、この糞馬鹿め。
猫
0322１３２人目の素数さん
2011/02/20(日) 14:04:48.180324１３２人目の素数さん
2011/02/20(日) 14:44:19.400325ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY
2011/02/20(日) 15:06:11.61そやから言うてるのや。裁判所へ訴えろや。ワシかて出頭したるがな。
ほしたらワシが脅迫とか恐喝みたいなカキコを掘り起こして騒ぎを大き
くしたるさかいナ、今後は２ちゃんではそういうカキコが出来なくナル
っちゅう事やろうナ。そやからワシはソレは大歓迎やがな。
サッサと手続きをせえやナ。
猫
0326１３２人目の素数さん
2011/02/20(日) 15:08:43.900327ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY
2011/02/20(日) 15:14:26.05誰が誰に対してどういう理由で謝罪をスルのかを論理的に申し述べて下さい。
返事の記述が書き込まれるまで私が貴方を徹底追尾します。
猫
0328１３２人目の素数さん
2011/02/20(日) 15:31:06.55わかったな
0329ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY
2011/02/20(日) 15:35:30.52なるほど。では：
１．貴方の所属とお名前。
２．誰が誰に対して謝罪スルのか。
３．その理由を論理的に明確に記述。
を条件として満たして戴きます。事と次第によっては私が貴方を逆告訴
スル可能性がアリマスが、ソレは貴方からの返答を受けてから分析スル
事になります。
お返事をお待ちします。
猫
0331１３２人目の素数さん
2011/02/20(日) 15:38:51.190332１３２人目の素数さん
2011/02/20(日) 15:40:09.35おまえなぞに用はない
0333１３２人目の素数さん
2011/02/20(日) 15:42:10.93おったら返事をしてくれ
0334１３２人目の素数さん
2011/02/20(日) 15:43:33.620335１３２人目の素数さん
2011/02/20(日) 15:44:52.9775 名前：ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY ：2011/02/20(日) 15:40:19.50
ではそんな程度の人達が大学院に行って、そのアトはどうなるんでしょうか？
やっぱり大量に崩れるとかですかね？
猫
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
おまえがつぶしたんだろ、因縁つけて
謝罪しろ
0336ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY
2011/02/20(日) 16:54:26.26大学院生というのは「教官が潰す」のではなくて『自滅スル』というだ
けですね。何故ならば大学院という場所は「誰かに教えて貰う場所」で
はなくてですね、あくまでも：
★★★『自分の意思で自発的に勉強なり研究なりをスル所』★★★
だからですね。なので自分の無能を棚に上げて自滅しただけなのを因縁
を付けて文句を言う様な馬鹿院生は潰れても当然であり、従ってネット
で騒ぐ程度しか能が無い馬鹿だから今後はワシが意図して撲滅します。
即ち大学院という所は：
★★★『自分から勉強を自主的にスルという事が出来ない
無能な馬鹿者が行く所ではアリマセン』★★★
私はこのポリシーの下に今後を取り締まりと攻撃を強化します。だから
貴方は私の追跡の標的になります。
猫
0337１３２人目の素数さん
2011/02/20(日) 17:25:06.110338１３２人目の素数さん
2011/02/20(日) 17:27:48.90民主党の鳩山由紀夫前首相は２０日、米軍普天間飛行場（沖縄県宜野湾市）の県外移
設断念の理由に米海兵隊の抑止力を挙げたのは「方便だった」と発言したことについて
「方便とは真理に導くための手段のことだ。真理とは、すなわち（名護市）辺野古への
移設で、そこに導くための手段として『抑止力』と言った」と釈明した。北海道伊達市
内での後援会会合で語った。
県外移設断念の経緯をめぐっては「普天間の海兵隊ヘリ部隊の役割は決して敵を襲う
ものでなく、（当初は）それを抑止力と言い切るのは無理があると思った。しかし地上
部隊とヘリ部隊は密接で離せないとの米側の理屈、さらに空軍、海軍、海兵隊パッケー
ジ全体が抑止力だとの言われ方をすると、なるほどと（考えた）」とした。
さらに「私の考え方は正しいと思っているが、正しくないなら、いろいろお聞かせ願
いたい」とも述べた。
■ソース（共同通信）02/20 16:28
http://www.47news.jp/CN/201102/CN2011022001000220.html
0339１３２人目の素数さん
2011/02/20(日) 17:28:42.17猫と鳩山はおつむが似ているね
0340１３２人目の素数さん
2011/02/20(日) 17:29:32.95>>541
だったらちゃんと代数幾何関係の数学の書き込みをしなさいよ。そうで
はない馬鹿な書き込みがアルから焼け野が原にナルんですよ。しかもソ
レは私からではなくてですね、貴方達が糞みたいな書き込みをスルから、
ソレに対する報復とか逆襲をした結果として致し方無くも焼け野が原に
なってしまうだけでなんすね。だから焼け野が原にしない為には貴方達
が馬鹿な書き込みを一切やめて代数幾何に関する数学の書き込みだけを
スレば誰もココを焼け野が原にしようとは思わないと思いますね。
結果は貴方達次第ですね。私はずっと監視して見張ってますので。
猫
0342Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/20(日) 17:30:20.74全有界(過去スレ006の302)な距離空間は可分(過去スレ006の110)である。
証明
(X, d) を全有界な距離空間とする。
X の部分集合 E は、ある実数ε＞ 0 があり、X の各点 x に対して E の点 a で
d(x, a) ＜ ε となるものがあるときε網という。
X は全有界だから、任意のε＞ 0 に対して有限なε網 A_ε がある。
A = ∪{A_(1/n)；n = 1、2、．．．} とおく。
A は可算で X において稠密である。
証明終
0343１３２人目の素数さん
2011/02/20(日) 17:30:36.11聞き入れない場合には、管理者に通報する
0344ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY
2011/02/20(日) 17:34:49.20では一刻も早く管理者サンに通報して下さいませ。それで管理者サンか
らの返答がありましたら迅速にココにコピペして下さいまし。
楽しみにして待って居りますワ。
猫
0345Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/20(日) 18:02:23.88距離付け可能(過去スレ007の96)で可分(過去スレ006の110)な位相空間は
第二可算公理(過去スレ006の112)を満たす。
証明
X を距離付け可能で可分な位相空間とし、d をその位相と両立する距離とする。
任意の a ∈ X と任意の ε ＞ 0 に対して B(a, ε) = {x ∈ X； d(a, x) ＜ ε} とおく。
N = {n；n = 1, 2, . . . } を自然数全体の集合とする。
A を X の稠密な可算部分集合とする。
{B(a, 1/n)；(a, n) ∈ A×N} が X の開集合の基底であることを証明しよう。
U を X の任意の空でない開集合とする。
任意の x ∈ U に対して B(x, ε) ⊂ U となる ε ＞ 0 がある。
1/n ＜ ε/2 となる n ∈ N をとる。
A は稠密だから a ∈ B(x, 1/n) となる a ∈ A がある。
任意の y ∈ B(a, 1/n) に対して、
d(y, x) ≦ d(y, a) + d(a, x) ＜ 1/n + 1/n ＜ ε
よって、y ∈ B(x, ε)
よって、B(a, 1/n) ⊂ B(x, ε) ⊂ U
よって、U は B(a, 1/n) の形の開集合の合併である。
証明終
0346Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/20(日) 19:55:16.63X をコンパクト空間(過去スレ006の104)とする。
次の条件は同値である。
(1) X は距離付け可能(過去スレ007の96)である。
(2) X は第２可算公理を満たす。
証明
(1) ⇒ (2)
X の位相と両立する距離を d とする。
距離空間 (X, d) はコンパクトだから過去スレ006の313より全有界(過去スレ006の302)である。
よって、>>342より X は可分(過去スレ006の110)である。
よって、>>345より X は第２可算公理を満たす。
(2) ⇒ (1)
X の開集合の可算基底を Φ とする。
Γ_0 = {U×U；U ∈ Φ} とおく。
Γ を Γ_0 の有限個の元の合併となるような X×X の開集合の全体とする。
過去スレ006の322より X×X の対角線集合 Δ の近傍全体は X の一様構造であり、
この一様構造で定まる位相は X の位相と一致する。
W を Δ ⊂ W となる X×X の開集合とする。
Δ の各点 (x, x) に対して (x, x) ∈ U×U ⊂ W となる U ∈ Φ がある。
X はHausdorff空間だから Δ は閉集合である。
X×X はコンパクトだから Δ はコンパクトである。
よって、Δ ⊂ V ⊂ W となる V ∈ Γ がある。
よって、Γ は X の可算基本近縁系(過去スレ006の195)である。
よって、過去スレ007の99より、X は距離付け可能である。
証明終
0347Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/20(日) 20:10:46.95A をBoole代数(過去スレ021の336)とし、A＾をその指標空間(>>304)とする。
このとき以下は同値である。
(1) A は可算である。
(2) A＾は第２可算公理(過去スレ006の112)を満たす。
(3) A＾は距離付け可能(過去スレ007の96)である。
証明
(1) ⇒ (2)
Stoneの双対定理(>>314)より A は A＾の開かつ閉な部分集合全体のなすBoole代数と同型である。
よって、A が可算なら A＾の開かつ閉な部分集合全体も可算である。
A＾はStone空間(>>248)であるから>>281より０次元(>>252)である。
よって、A＾は第２可算公理を満たす。
(2) ⇒ (1)
A＾の開集合の可算基底を Φ とする。
A＾の開かつ閉な部分集合全体を S(A＾) とする。
任意の U ∈ S(A＾) は Φ の元の合併となる。
A＾はStone空間であるから U はコンパクトである。
よって、U は Φ の元の有限個の合併となる。
よって、S(A＾) は可算である。
Stoneの双対定理(>>314)より A は S(A＾) とBoole代数として同型であるから A は可算である。
(2) ⇔ (3)
A＾はStone空間であるからコンパクトである。
よって、>>346より出る。
証明終
0348Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/20(日) 20:18:51.70X を位相空間とする。
X の点 x は {x} が X の開集合であるとき X の孤立点(isolated point)であるという。
0349１３２人目の素数さん
2011/02/20(日) 20:38:31.42命令だ
0350１３２人目の素数さん
2011/02/20(日) 20:40:20.150351１３２人目の素数さん
2011/02/20(日) 20:42:00.390352Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/20(日) 20:46:07.35X をStone空間(>>248)とする。
X の開かつ閉な部分集合全体のなすBoole代数を S(X) とする。
E ∈ S(X) が原子(過去スレ021の339)であるためには
X の孤立点(>>348) x により E = {x} となることが必要十分である。
証明
必要性：
U ∈ S(X) が原子であるとする。
x、y ∈ U、x ≠ y とする。
>>281より、X は完全分離(>>250)であるから、
x ∈ V、y ∈ X - V となる開かつ閉な V がある。
x ∈ U∩V で U∩V は開かつ閉である。
y ∈ U - (U∩V) だから U∩V ≠ U である。
これは U が原子であることに反する。
よって、U = {x} となる。
U は開集合だから x は X の孤立点である。
十分性：
自明である。
証明終
0354ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY
2011/02/20(日) 21:08:03.08ではどの書き込みの何処がどの様に脅迫なんですかね？ ちゃんと説明
して貰えませんかね？
お返事をお待ちしています。
猫
0355１３２人目の素数さん
2011/02/20(日) 21:11:42.060356Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/20(日) 21:12:03.70X をStone空間(>>248)とする。
X の開かつ閉な部分集合全体のなすBoole代数(過去スレ021の336)を S(X) とする。
このとき以下は同値である。
(1) S(X) は原子的(過去スレ021の342)である。
(2) X の孤立点(>>348)全体は稠密である。
証明
(1) ⇒ (2)
>>352より S(X) の任意の空でない元 E は A＾ の孤立点を含む。
>>281より X は０次元(>>252)であるから S(X) は X の開集合の基底である。
よって、X の孤立点全体は稠密である。
(2) ⇒ (1)
S(X) の任意の空でない元 E は開集合であるから X の孤立点を含む。
よって、>>352より S(X) は原子的である。
証明終
0357１３２人目の素数さん
2011/02/20(日) 21:12:28.860358Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/20(日) 21:15:12.54A をBoole代数(過去スレ021の336)とし、A＾をその指標空間(>>304)とする。
このとき以下は同値である。
(1) A は原子的(過去スレ021の342)である。
(2) A＾の孤立点(>>348)全体は稠密である。
証明
Stoneの双対定理(>>314)より A は A＾の開かつ閉な部分集合全体のなすBoole代数と同型である。
よって、本命題は>>356から明らかである。
証明終
0359ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY
2011/02/20(日) 21:19:19.92では『脅迫である』という事を事実として論理的に確定して、ソレを基に
して実力行使でもしてみたらどうでしょうかね。ご健闘をお祈りしますワ。
頭が悪くて大変やろうけんどナ、まあ頑張ってや！
猫
0360１３２人目の素数さん
2011/02/20(日) 21:24:31.21そんなことを書いたら
0361１３２人目の素数さん
2011/02/20(日) 21:26:33.830364１３２人目の素数さん
2011/02/20(日) 23:23:12.40さっき管理人と話したら、おまえのことを注意していると言っていたよ
0365１３２人目の素数さん
2011/02/20(日) 23:27:35.69脅迫罪
痴漢
この先どんだけの罪状がつみあがるのだろうか？
0366ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY
2011/02/20(日) 23:47:12.88猫
0367１３２人目の素数さん
2011/02/21(月) 00:12:26.64つまらなくなるわ。
クソ野郎が。おれはおまえを本気で憎んでいる。
冗談抜きでな。絶対に許さない。
何度でも書き込めないようにしてやる。
クソ野郎。
クソ野郎。
クソ野郎。
クソ野郎！！！
クソ野郎！！！
0368ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY
2011/02/21(月) 01:19:17.59ワシかてオマエに報復してるだけや。そやけど考えてミロや。最初に戦い
を仕掛けて来たんはオマエ等の方や。そやからワシが馬鹿なオマエ等に対
して超シンプルに逆襲をしてるだけやがな。そやしちゃんと耐え忍べや。
ワシがオマエ等の苦しむ姿を眺めて酒の肴にしてるだけや。
精々苦しめやナ。
猫
0369１３２人目の素数さん
2011/02/21(月) 01:31:11.06テメーのことを言ってるんではないわ。
テメーなんぞどーでもいい。
自意識過剰の馬鹿が。
それとも俺に戦いをしかけてるんか？このクソが。
0370１３２人目の素数さん
2011/02/21(月) 01:49:21.89ああ、めくらだから見えないのか
0371ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY
2011/02/21(月) 01:51:09.28そや。ワシは最高の馬鹿であるオマエに戦いを仕掛けてるのや。そやし
その糞頭でちゃんと戦えやナ。
猫
0372１３２人目の素数さん
2011/02/21(月) 01:54:55.07よし、裁判では俺の勝ちだ。
じゃ、馬鹿無職くん、法廷で会おうな。
0373ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY
2011/02/21(月) 01:58:50.85猫
0374１３２人目の素数さん
2011/02/21(月) 02:01:01.20うんこ袋の存在価値のない馬鹿なおっさんｗ
0375ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY
2011/02/21(月) 02:03:19.25猫
0376１３２人目の素数さん
2011/02/21(月) 02:04:56.980377ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY
2011/02/21(月) 02:08:47.61ワシは論文が全く書けへんから住所は言いませんのや。そやけどアンタは
カシコい御坊ちゃまやさかいワシの住所は調べたら判るやろ！ 頭がエエ
んやそうやさかいナ。そやしそのエエ頭っちゅう奴で考えてミロや。
猫ォーーー
0378１３２人目の素数さん
2011/02/21(月) 02:11:40.96どういう論理だ？おまえ頭大丈夫か？
数学しかやってこなかったから、ただの廃人になってしまってるぞ？
ちゃんと薬のんでるか？早く治さないと死んでしまうぞ？
住所教えたら救ってあげられるんだけどｗｗｗｗｗ
0379ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY
2011/02/21(月) 02:14:07.97そうや、ワシはオマエとは違って頭が機能してへんのや。そやからド秀才
のオマエにどないしたらエエのかを教えて貰うのや。そやし早よカキコを
してミロや。ワシが読んだるがな。
猫
0380１３２人目の素数さん
2011/02/21(月) 02:18:58.910381ワシは馬鹿猫 ◆MuKUnGPXAY
2011/02/21(月) 02:21:51.89猫
0382１３２人目の素数さん
2011/02/21(月) 02:36:14.21口臭きつすぎだろｗちゃんと歯みがけやｗｗｗ
0383猫は無力 ◆MuKUnGPXAY
2011/02/21(月) 02:38:55.87猫
0384１３２人目の素数さん
2011/02/21(月) 02:45:36.89てめえ、許さんどこら。
0385猫は無力 ◆MuKUnGPXAY
2011/02/21(月) 02:51:48.72猫
0386１３２人目の素数さん
2011/02/21(月) 06:11:55.38出入り禁止
0388１３２人目の素数さん
2011/02/21(月) 08:13:20.860389猫は口先だけ ◆MuKUnGPXAY
2011/02/21(月) 08:23:36.46では次の二点：
１．貴方のお名前
２．謝罪の理由
を明確にして下さいまし。
お返事をお待ちしています。
猫
0391Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/21(月) 08:32:30.63>よって、rad(aA) ⊂ rad(I) (>>72)
よって、rad(aA) ⊂ rad(I)
ここで、rad(I) は I の根基(過去スレ001の164)である。
即ち rad(I) は mod I で冪零となる A の元全体である。
過去スレ001の163より、rad(I) は I を含む素イデアル全体の共通部分である。
0392１３２人目の素数さん
2011/02/21(月) 08:57:46.73与野党、国民の反発さえも、当の菅首相は“サプライズ人事にみんな驚いているぞ”と、ご満悦なのだ。
菅首相の奇妙な自信には理由がある。実は、今回の内閣改造には大メディアが大きく関与している。
与謝野氏が読売新聞の渡辺恒雄・グループ本社会長と極めて近いことはよく知られている。
だが、菅首相に直接、与謝野起用を進言したのは、読売のライバルの朝日新聞の編集幹部だという。
菅側近が打ち明ける。「改造前に総理が最も憂慮していたのはメディアの風当たりが強くなっていることだった。
そこで昨年末に各紙の幹部とお忍びで会談を重ねた。中でも総理が信頼する朝日の編集幹部は、
消費税引き上げと環太平洋戦略的経済連携協定（TPP）への参加、小沢切りの3 点セットを断行すれば
菅内閣を社をあげて支援すると約束して、与謝野氏起用を強く進言した。
読売がこの人事を歓迎するのは想定内だったが、“天下の朝日”の後押しが迷っていた総理を動かした」
この編集幹部は紙面でも、民主・自民の大連立など、菅長期政権の可能性に言及している。
実際、与野党から総スカン状態の与謝野氏の入閣だが、大メディアは揃って歓迎した。
内閣改造翌日の各紙の社説を見ると、読売新聞は、〈与謝野氏が言うように、国の命運を左右するような課題には
各党が「政争の場を離れて」取り組むべきだ〉と書き、朝日新聞は与謝野氏起用を〈目指す目標を明確にし、
人事を通じ実行する態勢を整えようとした意図は理解できる〉と評価したうえで、
小沢一郎・元代表の政治倫理審査会出席問題について、〈この問題を早急に処理しない限り、
「最強の態勢」もつかの間の掛け声に終わるほかない〉と「小沢切り」を促す書き方をしている。
前出の菅側近の証言と一致するが、朝日新聞は編集幹部が菅首相に与謝野氏の起用を進言したことを否定した。
http://www.news-postseven.com/archives/20110124_10793.html
0393Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/21(月) 08:57:59.04一般Boole代数の圏の圏において
２元体 ε = {0, 1} は余分離対象(過去スレ018の219)である。
証明
>>44より、一般Boole環(>>5)の圏 GBoolRng において
ε が余分離対象であることを証明すればよい。
f：A → B、g：A → B を GBoolRng における射で f ≠ g とすると、
f(a) ≠ g(a) となる a ∈ A がある。
>>85より、GBoolRng における射 h：B → ε で h(f(a) - g(a)) = 1 となるものがある。
よって、h(f(a)) ≠ h(g(a)) であるから hf ≠ hg である。
よって、過去スレ018の220より ε は GBoolRng の余分離対象である。
証明終
0394１３２人目の素数さん
2011/02/21(月) 09:00:27.95代数学の期末試験に出たのですが、解き方がわかりません。＞猫先生
0395Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/21(月) 09:03:31.30命題
一般Boole代数の圏において
２元体 ε = {0, 1} は余分離対象(過去スレ018の219)である。
証明
>>44より、一般Boole環(>>5)の圏 GBoolRng において
ε が余分離対象であることを証明すればよい。
f：A → B、g：A → B を GBoolRng における射で f ≠ g とすると、
f(a) ≠ g(a) となる a ∈ A がある。
>>85より、GBoolRng における射 h：B → ε で h(f(a) - g(a)) = 1 となるものがある。
よって、h(f(a)) ≠ h(g(a)) であるから hf ≠ hg である。
よって、過去スレ018の220より ε は GBoolRng の余分離対象である。
証明終
0396猫は口先だけ ◆MuKUnGPXAY
2011/02/21(月) 09:10:13.73誠に申し訳アリマセンが、私にはそういう難しい事は判りません。お役
に立てません事をこの場にて深くお詫び申し上げます。
敬具
猫拝
0397Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/21(月) 09:48:06.92Boole代数の圏 Bool において
２元体 ε = {0, 1} は余分離対象(過去スレ018の219)である。
証明
f：A → B、g：A → B を Bool における射(>>30)で f ≠ g とすると、
f と g は一般Boole代数(過去スレ021の373)の圏 GBool における射でもあるから
>>395より、GBool における射 h：B → ε で hf ≠ hg となるものがある。
h ≠ 0 であるから h(1) = 1 である。
よって、h は Bool における射(>>30)である。
よって、過去スレ018の220より ε は Bool の余分離対象である。
証明終
0398Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/21(月) 11:24:46.85部分対象(過去スレ018の646)になる。
Hom(A, ε) は A の指標空間 A＾(>>304)である。
ε＾Hom(A, ε) は A＾の冪集合 P(A＾) のなすBoole代数と同一視される。
よって、A は P(A＾) の部分代数に同型である。
これはStoneの表現定理(>>88)に他ならない。
0399Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/21(月) 11:34:34.27> >>397と過去スレ019の4より、任意のBoole代数 A に対して A は ε＾Hom(A, ε) の
> 部分対象(過去スレ018の646)になる。
>>397と過去スレ019の4と5より、任意のBoole代数 A に対して A は ε＾Hom(A, ε) の
部分対象(過去スレ018の646)になる。
0400Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/21(月) 14:40:33.110401Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/21(月) 14:51:28.70A を一般Boole環(>>5)とする。
>>7より、A は２元体 ε = {0, 1} 上の可換代数と見なせる。
B を単位元の添加により A から得られる ε 上の可換代数（>>57）とする。
B はBoole環である。
B を 単位元の添加により A から得られるBoole環と言い、A~ と書く。
>>44より A は一般Boole代数と見なせ、A~ はBoole代数と見なせる。
このとき、A~ を 単位元の添加により A から得られるBoole代数と言う。
0402Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/21(月) 15:10:34.98A を一般Boole環(>>5)とする。
A~ を 単位元の添加により A から得られるBoole環とする(>>401)。
このとき、A は A~ の部分環 {(0, a)； a ∈ A}と同一視する。
A~ の単位元 (1, 0) は 1 と書く。
よって、A~ = A ∪ (1 + A)、A ∩ (1 + A) = φ である。
ここで、1 + A = {1 + a；a ∈ A} である。
0403１３２人目の素数さん
2011/02/21(月) 15:57:51.07黙れ
0404Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/21(月) 16:06:50.52A を一般Boole環(>>5)とする。
A は A~ (>>401)の素イデアルである。
証明
A~ - A の元は 1 + a、a ∈ A と一意に書ける(>>402)。
a, b ∈ A のとき (1 + a)b = b + ab ∈ A
よって、(A~)A ⊂ A
よって、A は A~ のイデアルである。
a, b ∈ A のとき (1 + a)(1 + b) = 1 + a + b + ab ∈ A~ - A
よって、 A は A~ の素イデアルである。
証明終
0405猫は口先だけ ◆MuKUnGPXAY
2011/02/21(月) 17:30:30.06ココはオマエが来る場所やナイけどや、もしワシが他所のすれに行って
『うるさい、黙れ』と連呼してもエエのやったら許したるワ。そやしど
っちがエエのかを返事せえや
猫
0406猫は口先だけ ◆MuKUnGPXAY
2011/02/21(月) 17:32:33.37他所のすれ → 他所のスレ
猫
0407１３２人目の素数さん
2011/02/21(月) 18:29:34.600408猫は口先だけ ◆MuKUnGPXAY
2011/02/21(月) 19:02:01.73ほんならワシも師と仰ぐウルサイ氏を見習ってですナ、『うるさい、黙れ』
っちゅう書き込みをアチコチにさせて貰いまっさー
どうもおーきに。
猫
0409Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/21(月) 20:37:46.82A を一般Boole環(>>5)とする。
Spec(A) を A の素イデアル(>>53)全体の集合とする(>>78)。
S を A の部分集合とする。
V(S) = {P ∈ Spec(A)； S ⊂ P} と書く。
D(S) = Spec(A) - V(S) と書く。
a ∈ A のとき
V({a}) を V(a) と書く。
D({a}) を D(a) と書く。
a_1、．．．、a_n ∈ A のとき
V({a_1、．．．、a_n}) を V(a_1、．．．、a_n) と書く。
D({a_1、．．．、a_n}) を D(a_1、．．．、a_n) と書く。
0410Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/21(月) 20:41:24.55A を一般Boole環(>>5)とする。
>>409の記法の下で以下が成り立つ。
(1) V(0) = Spec(A)、V(A) = φ
(2) S ⊂ T ⊂ A のとき V(T) ⊂ V(S)
(3) S を A の部分集合とし、(S) を S で生成されるイデアルとする。
このとき V(S) = V((S)) である。
(4) (S_i), i ∈ I を A の部分集合の族とする。
このとき V(∪S_i) = ∩V(S_i) である。
(5) (J_i), i ∈ I を A のイデアルの族とする。
このとき V(ΣJ_i) = ∩V(J_i) である。
証明
自明である。
0411Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/21(月) 20:42:58.42A を一般Boole環(>>5)とする。
>>409の記法の下で以下が成り立つ。
(1) D(0) = φ、D(A) = Spec(A)
(2) S ⊂ T ⊂ A のとき D(S) ⊂ D(T)
(3) S を A の部分集合とし、(S) を S で生成されるイデアルとする。
このとき D(S) = D((S)) である。
(4) (S_i), i ∈ I を A の部分集合の族とする。
このとき D(∪S_i) = ∪D(S_i) である。
(5) (J_i), i ∈ I を A のイデアルの族とする。
このとき D(ΣJ_i) = ∪D(J_i) である。
証明
>>410から明らかである。
0412Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/21(月) 20:47:25.02A を単位元を持つとは限らない環とする。
I と J を A のイデアルとし、P を A の素イデアル(>>53)とする。
このとき、IJ ⊂ P ⇒ I ⊂ P または J ⊂ P
証明
I ⊂ P でないとする。
I - P の元 a がある。
aJ ⊂ P より J ⊂ P である。
証明終
0413Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/21(月) 20:49:34.24A を一般Boole環(>>5)とする。
I と J を A のイデアルとする。
このとき>>409の記法の下で以下が成り立つ。
(1) V(IJ) = V(I)∪V(J)
(2) D(IJ) = D(I)∩D(J)
証明
(2) は (1)から明らかであるから (1) のみを証明すればよい。
IJ ⊂ I、IJ ⊂ J と>>410の(2)より V(I)∪V(J) ⊂ V(IJ)
他方、>>412より、V(IJ) ⊂ V(I)∪V(J)
証明終
0414Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/21(月) 20:59:02.57A を一般Boole環(>>5)とする。
S を A の部分集合とする。
>>410と>>413より、V(S) (>>409) の形の Spec(A) の部分集合を閉集合と定義することにより、
Spec(A) に位相が入る。
この位相を Spec(A) のZariski位相という。
0415Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/21(月) 21:14:36.92A を一般Boole環(>>5)とする。
Y を Spec(A) (>>78) の任意の部分集合とする。
I(Y) = ∩{P；P ∈ Y} と書く。
0416Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/21(月) 21:16:37.61A を一般Boole環(>>5)とする。
I を A のイデアルで、a ∈ A - I とする。
このとき I ⊂ P、a ∈ A - P となる A の素イデアル(>>53) P がある。
証明
S = {a} とおく。
a^2 = a だから S は積閉(>>52)である。
よって、本命題は>>83から得られる。
証明終
0417１３２人目の素数さん
2011/02/21(月) 21:33:55.660418１３２人目の素数さん
2011/02/21(月) 21:35:12.39w
0419Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/22(火) 06:24:57.15A を一般Boole環(>>5)とする。
I を A のイデアルとする。
>>409と>>415の記法の下で以下が成り立つ。
I(V(I)) = I である。
証明
任意の P ∈ V(I) に対して I ⊂ P であるから I ⊂ I(V(I)) である。
他方、>>416より I(V(I)) ⊂ I である。
証明終
0420Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/22(火) 06:30:29.35A を一般Boole環(>>5)とする。
P(A) を A の冪集合とする。
P(A) を包含関係により順序集合と見なす。
P(Spec(A)) を Spec(A) (>>78) の冪集合とする。
P(Spec(A)) を包含関係により順序集合と見なす。
(P(Spec(A)))^o を P(Spec(A)) の双対順序集合(過去スレ021の168)とする。
写像 V：P(A) → (P(Spec(A)))^o を S ∈ P(A) に V(S) (>>409) を対応させる写像とする。
写像 I：(P(Spec(A)))^o → P(A) を Y ∈ (P(Spec(A)))^o に I(Y) (>>415) を対応させる写像とする。
このとき、(P(A), V, I, (P(Spec(A))^o) はGalois対応(過去スレ021の642)である。
証明
S ∈ P(A)、Y ∈ P(Spec(A) のとき
V(S) ⊃ Y ⇔ S ⊂ I(Y)
を確かめればよいが、これは V(S) と I(Y) の定義から明らかである。
証明終
0421Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/22(火) 06:35:37.26A を一般Boole環(>>5)とする。
Y を Spec(A) (>>78) の任意の部分集合とする。
このとき、>>409と>>415の記法で V(I(Y)) は Spec(A) のZariski位相(>>414)で Y の閉包である。
証明
>>420より、(P(A), V, I, (P(Spec(A))^o) はGalois対応(過去スレ021の642)である。
過去スレ021の663より、VI：P(Spec(A)) → P(Spec(A)) は閉包作用子であり、
V(P(A)) は VI に関する閉元全体である。
Zariski位相の定義(>>414)より V(P(A)) は Spec(A) の閉集合全体であるから
V(I(Y)) は Y の閉包である。
証明終
0422Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/22(火) 07:00:02.85A を一般Boole環(>>5)とする。
写像 V：P(A) → P(Spec(A)) を S ∈ P(A) に V(S) (>>409) を対応させる写像とする。
写像 I：P(Spec(A)) → P(A) を Y ∈ P(Spec(A)) に I(Y) (>>415) を対応させる写像とする。
A のイデアル全体を id(A) とする。
Spec(A) (>>78) の閉集合(>>414)全体を C(A) とする。
写像 V の id(A) への制限を V^* とする。
写像 I の C(A) への制限を I^* とする。
このとき V^* は全単射であり I^* はその逆写像である。
証明
>>420より、(P(A), V, I, (P(Spec(A))^o) はGalois対応(過去スレ021の642)である。
過去スレ021の663より、C(A) = V(P(A)) = {Y ∈ P(Spec(A))；VI(Y) = Y} である。
>>419より、id(A) = {S ∈ P(A)；IV(S) = S} である。
よって、過去スレ021の696より本命題が得られる。
証明終
0423Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/22(火) 07:10:53.55A を一般Boole環(>>5)とする。
任意の a ∈ A に対して D(a) (>>409) は Spec(A) の部分空間として
準コンパクト(過去スレ006の104)である。
証明
>>411の(4)より、D(b)、b ∈ A の形の集合全体は Spec(A) のZariski位相(>>414)の
開集合の基底である。
(a_λ)、λ ∈ Λ を A の元の族で D(a) ⊂ ∪{D(a_λ)；λ∈Λ} とする。
(a_λ)、λ ∈ Λ で生成される A のイデアルを I とする。
>>411より D(I) = ∪D(a_λ) である。
よって、D(a) ⊂ D(I)
よって、V(I) ⊂ V(a)
よって、IV(a) ⊂ IV(I) (>>415)
よって、>>419より、aA ⊂ I
a = a^2 ∈ aA ⊂ I
よって、Λ の有限部分集合 Γ があり J を (a_λ)、λ ∈ Γ で生成されるイデアルとしたとき
a ∈ J となる。
V(J) ⊂ V(a) であるから D(a) ⊂ D(J) = ∪{D(a_λ)；λ∈Γ}
よって、D(a) は準コンパクトである。
証明終
0424Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/22(火) 07:27:29.36A を一般Boole環(>>5)とする。
Spec(A) (>>78) はHausdorff空間である。
証明
P, Q ∈ Spec(A)、P ≠ Q とする。
>>75より P と Q は極大イデアルである
よって、Q ⊂ P では有り得ない。
よって、a ∈ Q、a ∈ Spec(A) - P となる a ∈ A がある。
P ∈ D(a) である。
b ∈ Spec(A) - Q をとる。
ab ∈ Q だから b + ab ∈ Spec(A) - Q である。
よって、Q ∈ D(b + ab)
a(b + ab) = ab + (a^2)b = ab + ab = 0
よって、>>413より D(a)∩D(b + ab) = D(0) = φ
以上から Spec(A) はHausdorff空間である。
証明終
0425Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/22(火) 08:08:12.37A を一般Boole環(>>5)とする。
Spec(A) (>>78) は０次元(>>252)の局所コンパクト空間(過去スレ006の128)である。
証明
>>424より、Spec(A) はHausdorff空間である。
>>411の(4)より、D(a)、a ∈ A の形の集合全体は Spec(A) の開集合の基底である。
>>423より任意の a ∈ A に対して D(a) (>>409) は準コンパクト(過去スレ006の104)である。
よって、Spec(A) は局所コンパクト空間である。
任意の a ∈ A に対して D(a) はHausdorff空間の準コンパクト部分集合であるから閉集合である。
よって、Spec(A) は０次元である。
証明終
0426Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/22(火) 08:12:38.01A を一般Boole環(>>5)とする。
a ∈ A、aA = A とする。
このとき a は A の単位元である。
証明
仮定より、任意の x ∈ A は x = ay、y ∈ A と書ける。
ax = a(ay) = (a^2)y = ay = x
よって、a は A の単位元である。
証明終
0427Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/22(火) 09:42:05.86A を一般Boole環(>>5)とする。
a、b ∈ A、aA = bA とする。
このとき a = b である。
証明
>>44より A は一般Boole代数と見なせる。
このとき、aA = ↓a (過去スレ021の521)である。
同様に bA = ↓b である。
よって、↓a = ↓b
よって、a = b
証明終
0428Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/22(火) 09:44:48.54A を一般Boole環(>>5)とする。
a、b ∈ A、D(a) = D(b) とする。
このとき a = b である。
証明
V(a) = V(b) である。
よって、I(V(a)) = I(V(b)) である。
>>419より、aA = bA である。
>>427より、a = b である。
証明終
0430Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/22(火) 16:10:55.22X をHausdorff空間とする。
X のコンパクト開集合全体 Φ は X 上の集合環(過去スレ007の189)である。
証明
(1) φ ∈ Φ である。
(2) U, V ∈ Φ なら U ∪ V はコンパクトであるから U ∪ V ∈ Φ
(3) U, V ∈ Φ とする。
U はコンパクトであるから閉集合である。
V は開集合であるから X - V は閉集合である。
よって、U - V = U ∩ (X - V) は閉集合である。
U - V ⊂ U で U はコンパクトだから U - V はコンパクトである。
他方、V は閉集合だから U - V = U ∩ (X - V) は開集合である。
よって、U - V ∈ Φ
証明終
0431Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/22(火) 16:18:44.19A を一般Boole環(>>5)とする。
Spec(A) (>>78)の開集合 U が準コンパクトであるためには A の有限生成イデアル I により
U = D(I) となることが必要十分である。
証明
必要性：
A の部分集合 S があり U = D(S) (>>409)となる。
>>411の(4)より、U = ∪{D(a)； a ∈ S} となる。
U は準コンパクトであるから S の有限部分集合 T があり U = ∪{D(a)； a ∈ T} となる。
>>411の(4)より、U = D(T) となる。
T で生成されるイデアルを I とすれば >>411の(3)より、U = D(I) となる。
十分性：
I = (a_1、．．．、a_n) を A の有限生成イデアルとする。
>>411の(4)より、D(I) = D(a_1)∪．．．D(a_n) である。
>>423より各 D(a_i) は準コンパクトである。
よって、D(I) は準コンパクトである。
証明終
0432Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/22(火) 16:22:16.75A を一般Boole環(>>5)とする。
Spec(A) (>>78)の開集合 U が準コンパクトであるためには
A のある元 a により U = D(a) となることが必要十分である。
証明
>>431と>>288より明らかである。
0433Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/22(火) 16:26:06.46A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
>>44より A は一般Boole環(>>6)と見なせる。
X = Spec(A) とおく。
>>425より、X は０次元(>>252)の局所コンパクト空間(過去スレ006の128)である。
X のコンパクト開集合全体を S(X) とおく。
>>430より、S(X) は X の集合環である。
従って S(X) は包含関係に関して一般Boole代数である。
>>423より任意の a ∈ A に対して D(a) (>>409)は準コンパクトであるから D(a) ∈ S(X) である。
写像 ρ：A → S(X) を ρ(a) = D(a) で定義する。
このとき ρ は一般Boole代数の同型である。
証明
>>204よりρ：A → S(X) は一般Boole代数の単射準同型である。
他方、>>431より ρ：A → S(X) は全射である。
証明終
0434Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/22(火) 16:46:01.47A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
>>44より A は一般Boole環(>>6)と見なせる。
X = Spec(A) (>>78)とおく。
>>425より、X は０次元(>>252)の局所コンパクト空間(過去スレ006の128)である。
このとき X がコンパクトであるためには A がBoole代数(過去スレ021の336)
であることが必要十分である。
証明
X のコンパクト開集合全体を S(X) とおく。
X がコンパクトであるためには X ∈ S(X) が必要十分である。
>>433より、A は S(X) と一般Boole代数として同型である。
これから本命題が直ちに従う。
証明終
0435１３２人目の素数さん
2011/02/22(火) 17:01:50.640436猫は口先だけ ◆MuKUnGPXAY
2011/02/22(火) 17:22:21.57では早速に：
１．貴方様のお名前
２．謝罪しなければならない理由
を迅速に書き込んで下さいませ。加えて貴方様のご住所を書き込んで戴
けましたら、その住所宛に内容証明郵便をお送りさせて戴きます。
敬具
猫拝
0437猫は口先だけ ◆MuKUnGPXAY
2011/02/22(火) 18:11:31.36コラァ、早う返事のカキコをせえや。カキコせえへんかったらワシがオマエ
を追跡スルさかい覚悟をせえやナ。
猫
0439Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/23(水) 06:22:52.09X を局所コンパクト空間(過去スレ006の128)とする。
以下の条件は同値である。
(1) X は完全不連結(>>245)である。
(2) X は０次元(>>252)である。
(3) X は完全分離(>>250)である。
証明
(1) ⇒ (2)
x を X の任意の点とし V を x の任意の近傍とする。
X は局所コンパクトであるから
x ∈ W、W~ ⊂ V となる x の開近傍 W で W~ がコンパクトとなるものがある。
ここで、W~ は W の閉包である。
{x} は V の連結成分であるから>>277と>>273より {x} は x を含む W~ の開かつ閉な部分集合全体の
共通集合である。
よって、>>276より W~ の開かつ閉な部分集合 U_1、．．．、U_n があり、
x ∈ U = U_1∩．．．∩U_n ⊂ W ⊂ V となる。
U は W~ の閉集合であるから X の閉集合である。
U は W の開集合であるから X の開集合である。
(2) ⇒ (3)
X はHausdorff空間だから
任意の x、y ∈ X、x ≠ y に対して x ∈ U、y ∈ V、U ∩ V となる開集合 U、V がある。
X は０次元であるから x ∈ W ⊂ U となる開かつ閉な W がある。
このとき y ∈ X - W であるから X は完全分離(>>250)である。
(3) ⇒ (1)
>>269で証明されている。
証明終
0440Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/23(水) 07:12:53.08完全不連結(>>245)な局所コンパクト空間(過去スレ006の128)を一般Stone空間と言う。
0441Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/23(水) 08:24:14.75L を分配束(過去スレ021の322)とする。
S を L の上向きの有向部分集合(過去スレ021の510)とする。
F を L のフィルター(過去スレ021の527)で S ∩ F = φ とする。
このとき F を含む L の素フィルター(>>97) P で S ∩ P = φ となるものがある。
証明
>>195の双対である。
0442Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/23(水) 08:28:46.40L を分配束(過去スレ021の322)とする。
F を L のフィルター(過去スレ021の527)で a ∈ L - F とする。
このとき F を含む L の素フィルター(>>97) P で a ∈ L - P となるものがある。
証明
>>196の双対である。
0443Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/23(水) 09:09:11.56L を分配束(過去スレ021の322)とする。
L の任意の極大フィルター(>>96)は素フィルター(>>97)である。
証明
F を L の任意の極大フィルターとする。
a、b ∈ F、a∨b ∈ F、a ∈ L - F とする。
G = {x ∈ L；a∨x ∈ F} とおく。
b ∈ G だから G ≠ φ
x、y ∈ G なら a∨(x∧y) = (a∨x)∧(a∨y) ∈ F
よって、x∧y ∈ G
x ∈ G、x ≦ y なら a∨x ∈ F、a∨x ≦ a∨y
よって、a∨y ∈ F
よって、y ∈ G
以上から G はフィルターである。
x ∈ F なら x ≦ a∨x より、a∨x ∈ F
よって、x ∈ G
よって、F ⊂ G
F は極大フィルターだから F = G または G = L である。
a ∈ L - F だから a は G に含まれない。
よって、F = G である。
よって、b ∈ F である。
証明終
0444β
2011/02/23(水) 11:14:23.13またアクセプトされたよw
今度はサイエンスダイレクト
0445Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/23(水) 13:31:23.98A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
F を A のフィルター(過去スレ021の527)とする。
このとき、以下の条件は同値である。
(1) F は素フィルター(>>97)である。
(2) F は極大フィルター(>>96)である。
(3) A - F は素イデアル(>>100)である。
(4) A - F は極大イデアル(>>99)である。
証明
(1) ⇒ (2)
F ⊂ G、F ≠ G となる任意のフィルター G をとる。
a ∈ G - F とする。
任意の b ∈ F に対して a∨b ∈ F である。
a’を a の区間 [0, a∨b] における相対補元(過去スレ021の363)とする。
a∨a’= a∨b ∈ F より a’∈ F である。
0 = a∧a’∈ G より G = A である。
よって、F は極大フィルターである。
(2) ⇒ (1)
>>443で証明済み。
(1) ⇔ (3)
>>106で証明済み。
(3) ⇔ (4)
>>75と>>44、>>107、>>203から明らかである。
証明終
0446１３２人目の素数さん
2011/02/23(水) 13:42:55.35(前略)
(中略)
(後略)
0448Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/23(水) 14:40:47.66A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
ε = {0, 1} を２元体とする。
A から ε への写像の全体を ε^A とする。
ε に離散位相を入れ、ε^A にその直積位相を入れる。
A＾を A の指標(>>90)の全体とする。
A＾ は ε^A の部分空間としての位相を入れることにより位相空間となる。
このとき、位相空間 A＾ を A の指標空間と言う。
0449１３２人目の素数さん
2011/02/24(木) 02:19:30.060450Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/24(木) 12:05:05.37A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
A＾を A の指標空間(>>448)とする。
>>44より A は一般Boole環(>>6)と見なせる。
>>79より f ∈ A＾に Ker(f) を対応させることにより
A＾から Spec(A)（>>78）への全単射 ψ が得られる。
このとき ψ は位相同型である。
証明
任意の a ∈ A に対して
U(a) = {f ∈ A＾； f(a) = 1}
W(a) = {f ∈ A＾； f(a) = 0}
とおく。
>>299より U(a) と W(a) は A＾の開かつ閉な部分集合であり、
D(a) または W(a) の有限個の共通集合全体は A＾の開集合の基底である。
a ∈ A、f ∈ A＾ のとき、ψ(f) ∈ D(a) (>>409) ⇔ f(a) = 1 ⇔ f ∈ U(a)
よって、ψ^(-1)(D(a)) = U(a)
>>411の(4)より、D(a)、a ∈ A の形の集合全体は Spec(A) の開集合の基底である。
よって、ψ は連続である。
上記より、ψ(U(a)) = D(a) である。
a ∈ A、f ∈ A＾ のとき、ψ(f) ∈ V(a) (>>409) ⇔ f(a) = 0 ⇔ f ∈ W(a)
よって、ψ(W(a)) = V(a)
V(a) は開かつ閉な D(a) の補集合であるから開かつ閉である。
よって、ψ^(-1) は連続である。
以上から ψ は位相同型である。
証明終
0451１３２人目の素数さん
2011/02/24(木) 16:06:48.840453１３２人目の素数さん
2011/02/25(金) 03:12:42.600454１３２人目の素数さん
2011/02/25(金) 03:20:27.70そもそも定職がないし ほもだし 病院でてあつく保護されている
おれだって さわぎになったとき 精神科に通っていたのだが空
そのように扱って 病院にはいりたかったなんだ
あほみたいに束のことを書き散らしても
それが治療のためだからと
医者はすすめてくれす
医者には内容がわからないのだし
ねこにもわからないのだし
なのに猫はここにでてくる くまーのことが嫌いだからだ
嫉妬してるからだ
くまーはあほな東大教授程度の低脳さ と 猫は ぶた顔をかがみに映して
うっとりする
0455１３２人目の素数さん
2011/02/25(金) 05:47:52.56猫は悪魔の人か
久しぶりやん
0456猫は口先だけ ◆MuKUnGPXAY
2011/02/25(金) 06:20:30.60そういうカキコが出れば出る程にワシは『効果を確認スル』だけやナ。
まあアンタ等はホンマにお気の毒様やがな。そやし頑張って耐えろや。
猫
0457１３２人目の素数さん
2011/02/25(金) 10:40:28.780458猫は口先だけ ◆MuKUnGPXAY
2011/02/25(金) 11:59:59.66へんで唯単に喰い下がって居座るだけやし。まあ「アンタ等を見習ってる」
っちゅうだけですワ。
猫
0459Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/25(金) 14:15:36.16A を一般Boole環(>>6)とする。
Spec(A) (>>78) は一般Stone空間(>>440)である。
証明
>>425より、Spec(A) は０次元の局所コンパクト空間である。
よって、>>439より、Spec(A) は一般Stone空間である。
証明終
0460Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/25(金) 14:17:22.85A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
A の指標空間(>>448)を A＾とする。
A＾は一般Stone空間(>>440)である。
証明
>>44より A は一般Boole環(>>6)と見なせる。
>>459より、Spec(A) (>>78)は一般Stone空間である。
よって、>>450より、A＾は一般Stone空間である。
証明終
0461Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/25(金) 14:29:20.30命題(Stoneの表現定理)
A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
>>44より A は一般Boole環(>>6)と見なせる。
X = Spec(A) (>>78)とおく。
>>459より、X は一般Stone空間である。
X のコンパクト開集合全体を S(X) とおく。
>>430より、S(X) は X の集合環である。
従って S(X) は包含関係に関して一般Boole代数である。
>>423より任意の a ∈ A に対して D(a) (>>409)は準コンパクトであるから D(a) ∈ S(X) である。
写像 ρ：A → S(X) を ρ(a) = D(a) で定義する。
このとき ρ は一般Boole代数の同型である。
証明
>>203と>>204よりρ：A → S(X) は一般Boole代数の単射準同型である。
他方、>>431と>>432より ρ：A → S(X) は全射である。
証明終
0462１３２人目の素数さん
2011/02/25(金) 17:24:44.790463１３２人目の素数さん
2011/02/25(金) 17:26:19.10さっさっとでてこんかい！
0464猫は口先だけ ◆MuKUnGPXAY
2011/02/25(金) 18:27:34.49猫
0465１３２人目の素数さん
2011/02/25(金) 18:57:55.93ｸﾙｧ 返信はまだか？
0467１３２人目の素数さん
2011/02/25(金) 19:17:55.820468猫は口先だけ ◆MuKUnGPXAY
2011/02/25(金) 19:37:38.46そやから『ワシが何を返信したらエエのか』をちゃんと言えや。そもそ
もはアンタ等からの要求やさかいナ、話だけは聞いたるがな。
そやしちゃんと返信だけはせえや。エエな。
猫
0469１３２人目の素数さん
2011/02/25(金) 23:42:06.62おまえのやったことは許さん
0471１３２人目の素数さん
2011/02/25(金) 23:44:17.40おれっててんさい？
ばかのひとつおぼえで、かきうつしているだけでも
おれっててんさい？
どうやらおれはねこよるも
にんきものらしい
とひとりわらうのであった
0472１３２人目の素数さん
2011/02/25(金) 23:46:35.78精神病の病棟の鉄格子をながめた
おや？ かわいそうなやつだなあ
檻にいれられているなんて
不細工で禿げた基地外が見えたのだ
鏡に映る自分だと気がついていない
0473１３２人目の素数さん
2011/02/26(土) 00:37:30.78おっと考えるだけの頭はなのだがw
おれはなにもしないでも食って行けるのはなぜだ？
き 貴族？ おれって貴族なの？
病棟の給食を食べながら、措置入院させられていることを忘れていたのだ
おめでたいおとこだ
0474１３２人目の素数さん
2011/02/26(土) 00:42:52.70猫～～～～～～～～～～～～～～～～
さっさとへんじせんかい！
ぼけ！
0475１３２人目の素数さん
2011/02/26(土) 00:51:26.83なにさぼっとるんじゃーーーーーーーーーーー
どうせ猫にはわからんのになにこびうってるんじゃ
0476猫はボンクラ ◆MuKUnGPXAY
2011/02/26(土) 01:24:18.77猫ォーーーン
0477１３２人目の素数さん
2011/02/26(土) 02:33:40.27でてこんかい！
0478１３２人目の素数さん
2011/02/26(土) 02:35:24.45なにさぼっとんじゃ～～～～～～
数学版つぶすんちゃうんか
大口たたくなぼけが
0479１３２人目の素数さん
2011/02/26(土) 02:38:05.76くま～～
サボるなぼけ！
0480１３２人目の素数さん
2011/02/26(土) 07:53:38.19クルァ
まだ返事せんの？
0481１３２人目の素数さん
2011/02/26(土) 08:28:39.37猫が戻って来て、また応援してくれることを
0482１３２人目の素数さん
2011/02/26(土) 08:33:29.51予定を教えてもらいたい
少なくとも目次を提示するべきだろう
0483１３２人目の素数さん
2011/02/26(土) 08:34:24.37このスレに来るな
0484１３２人目の素数さん
2011/02/26(土) 09:35:25.58土下座しても許さん
0486Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/26(土) 10:03:24.35今後の予定（変更の可能性あり）
測度論の続き
位相群上の調和解析
代数関数論、楕円関数論
モジュラー関数
代数体の整数論
虚数乗法論
多元環の整数論
ホモロジー代数
有限群のコホモロジー
類体論
この他に２次形式論をやるかもしれません。
0488１３２人目の素数さん
2011/02/26(土) 10:15:37.57どうてもよい一般化というか形式化に時間をかけ過ぎています
0489１３２人目の素数さん
2011/02/26(土) 10:20:33.78謝罪せい
0490１３２人目の素数さん
2011/02/26(土) 10:21:18.840492Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/26(土) 11:01:13.76一般化、形式的というのは意識的にしています。
こうすることにより巧妙なトリックにより個別な問題を解決するという
「名人芸」を減らせるのではないかと思ってます。
時間をかけているのは私自身の勉強を兼ねているからです。
今は準備段階なので、このスレは必要になった時点で参照すればいいです。
リアルタイムでこのスレを読む必要はないです。
過去スレに対する質問や誤りの指摘はいつでも受けつけます。
ただし、このスレが終了すると読めなくなる恐れがあるのでたまにチェックするといいでしょう。
0493１３２人目の素数さん
2011/02/26(土) 11:33:17.68過去ログをアップしておいていただけませんか？
ドス子の事件簿みたいなものを作っていただけると有り難いです
0494１３２人目の素数さん
2011/02/26(土) 11:36:38.64おれも４９３に賛成
0495１３２人目の素数さん
2011/02/26(土) 11:40:30.02国で決まりそうですが、猫もGPSをつけられることになるね？
0496Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/26(土) 12:05:32.03２ｃｈとの著作権の問題はないんですかね？
良くわからないので私はアップすることは遠慮します。
アップしたい人は個人の責任で行ってください。
0497Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/26(土) 12:20:39.57A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
A の指標空間(>>448)を A＾とする。
>>460より、A＾は一般Stone空間(>>440)である。
A＾のコンパクト開集合全体を S(A＾) とする。
>>430より、S(A＾) は X の集合環である。
任意の a ∈ A に対して a＾ = {f ∈ A＾；f(a) = 1} とおく。
このとき、a＾∈ S(A＾) であり、
写像 ρ：A → S(A＾) を ρ(a) = a＾ で定義すると、
ρ は一般Boole代数の同型である。
証明
>>461と>>450より明らかである。
0499Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/26(土) 13:15:03.14X を位相空間とする。
KΩ を X の準コンパクト(過去スレ006の104)な開集合全体とする。
KΩ が以下の性質を満たすとき X を準連接空間(quasi-coherent space)と呼ぶ。
(1) KΩ は X の位相の基底である。
(2) U、V ∈ KΩ のとき U ∩ V ∈ KΩ
0500１３２人目の素数さん
2011/02/26(土) 13:26:06.44GPSの輪っかをつけることを条例として検討してます。
知らないの？
0501１３２人目の素数さん
2011/02/26(土) 13:30:30.78(2)を満たさない例をあげてください
0503１３２人目の素数さん
2011/02/26(土) 13:33:30.780505１３２人目の素数さん
2011/02/26(土) 13:34:57.85わかったな
0506猫はボンクラ ◆MuKUnGPXAY
2011/02/26(土) 13:37:38.34判りませんのや。でも判る為には：
１．貴方の名前
２．謝罪の理由
を知る必要がアリますのや。そやし早う晒せやナ。
猫
0507Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/26(土) 13:38:25.29X を局所コンパクト空間(過去スレ006の128)とする。
以下の条件は同値である。
(1) X は完全不連結(>>245)である。
(2) X は０次元(>>252)である。
(3) X は完全分離(>>250)である。
(4) X は準連接空間(>>499)である。
証明
(1) ⇔ (2) ⇔ (3)
>>439で証明済み。
(2) ⇒ (3)
KΩ を X の準コンパクト(過去スレ006の104)な開集合全体とする。
W を X の任意の空でない開集合とする。
x を W の任意の点とする。
X は局所コンパクトであるから x の開近傍 U でその閉包 U~ がコンパクトであり、
U~ ⊂ W となるものがある。
X は０次元であるから x ∈ V ⊂ U となる開かつ閉な V がある。
V は U~ の閉集合であるからコンパクトである。
よって、V ∈ KΩ である。
よって、KΩ は X の位相の基底である。
U、V ∈ KΩ のとき、U ∩ V ∈ KΩ は明らかである。
よって、X は準連接空間である。
(3) ⇒ (2)
Hausdorff空間の準コンパクト部分集合は閉集合であることから明らかである。
証明終
0508Nanasi, N.S. ◆NMwJFki61g
2011/02/26(土) 14:28:07.09本人のお墨付きｷﾀ━(ﾟ∀ﾟ)━!
近日中にatwikiに作るかも，
この前の人どうした？やっちゃうよ
0509１３２人目の素数さん
2011/02/26(土) 16:41:40.790510Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/26(土) 18:49:37.93実数区間 I = [0, 1] を考える。
Φ_1 = {U ⊂ I； I - U は有限で 0 ∈ U または 1 ∈ U} とおく。
Φ_2 を開区間 (0, 1) の部分集合全体とする。
Φ = Φ_1 ∪ Φ_2 とおく。
Φ の各元を開集合とすることにより I の位相を定義する。
[0, 1) と (0, 1] はこの位相で準コンパクトな開集合であるが （0, 1) = [0, 1)∩(0, 1] は
準コンパクトでない。
0511１３２人目の素数さん
2011/02/26(土) 19:44:41.61黙ってろ。
0513Nanasi, N.S. ◆NMwJFki61g
2011/02/26(土) 19:51:36.10あとよろしかったら全責任を私の元で作った後に
管理者権限を移行したいのでメールアドレス書いて頂くか，
私のメール欄のメールアドレスにメールお送り頂けるとありがたいです．
あとから一般ユーザー権限でいじることも可能だと思われますし，
共同管理者設定もたぶんできたような，では後ほど発表しますー
0514Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/26(土) 20:06:08.05何か誤解してるようですが勝手にアップされたものに私が手を加えることはありません。
以下は過去スレ017から引用：
95 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [] 投稿日：2010/02/06(土) 08:49:13
>>94
2chの規約がどうなってるかわからないのでなんとも言えないです。
以下は２ｃｈの規約上問題ないと仮定した場合の私の個人的な意見です。
申し訳ないですがpdfには反対です。
pdfにした場合、それが正確に内容を反映してない可能性かあります。
というか絶対に正確というのはまずあり得ないでしょう。
勿論、私の書いたものにも誤りがありますがそれは私が気付けば直します。
pdfの場合はそうはいかない、というか私は直す気はないです。
textとしてそのままアップするのはいいです。
ただし、以下の条件があります。
(1) 改変しないこと。
たとえ内容に間違いがあっても、誤字、脱字があっても直さないこと。
「あらし」も削除しないこと。
要するに各スレッドをそのままコピーすること。
(2) ソースをはっきりさせること。
つまり、2chの過去スレッドのコピーであることがはっきり分かるようにすること。
次のような各スレのリンクアドレスを載せること。
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1262085373/
繰り返しますが、以上は２ｃｈの規約上問題ないと仮定した場合です。
問題ある場合はアップしないでください。
0515Nanasi, N.S. ◆NMwJFki61g
2011/02/26(土) 20:27:27.24しばらく私が運用してみますんで，
他にやりたい方，別な案の方の登場を待ちますか．
>>514
レス見つけてきてくれてアリガ㌧
0516Nanasi, N.S. ◆NMwJFki61g
2011/02/26(土) 20:37:14.88http://mimizun.com/log/2ch/math/1126510231/
とか他にもいろいろ過去ログ変換のサービスがあるんですが，
textとしてそのままアップされてるわけでなく，
(1) 適所広告が挿入されている，
(2) 元スレへのリンクがはっきり書いてない場合がある（みみずん然り）
という感じなのですが，クンマーさんや２ちゃんねるが
これらを訴えて回ることはありえるのか？という話です．
いや私個人はクンマーさんのご意志を最大限
尊重するつもりなので至らるところがあったら
言って下さい．それでは後は発表だけ書いて消えますので．見てるだけ～
0517１３２人目の素数さん
2011/02/26(土) 21:42:16.580518Nanasi, N.S. ◆NMwJFki61g
2011/02/26(土) 22:39:01.43Kummerスレまとめ@Wiki
http://www43.atwiki.jp/kummer/
めんどかったけん，とりあえず過去URIを
みみずんにリンク貼っといただけだけど，
過去21スレほとんど（最後の方のレスはタイミング的に
取得できてないのかもしれないがモリタポとか持ってないし
ホントの整合性はわからん）見れたわ．いろいろあったねー
管理者したい人やご意見ご感想なんでもメールか
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1293805704/
のスレまでどうぞ．さて，みみずんのままが十分使いやすいけども，
ソースをはっきりさせて改変しないtextとしてそのままページに
していく作業をこれからぼちぼち粛々とやることにするか．
0519１３２人目の素数さん
2011/02/26(土) 23:01:43.05名無しさん
ご苦労さまです
これからも何卒
ご愛顧くださいませ
0520１３２人目の素数さん
2011/02/27(日) 00:38:26.550521１３２人目の素数さん
2011/02/27(日) 00:41:48.58さっさと答えろや
0522１３２人目の素数さん
2011/02/27(日) 00:50:20.32基地外 その２ くまーのまとめをつくったアホ
0523１３２人目の素数さん
2011/02/27(日) 00:52:59.540524１３２人目の素数さん
2011/02/27(日) 00:53:46.17馬鹿！
0525１３２人目の素数さん
2011/02/27(日) 00:57:14.680526１３２人目の素数さん
2011/02/27(日) 00:58:16.09熊はよろこぶな
よだれたれてるぞ
0527１３２人目の素数さん
2011/02/27(日) 01:00:45.68アホが証明される
すばらしいね
0529Nanasi, N.S. ◆NMwJFki61g
2011/02/27(日) 03:24:07.18こんなんなりましたけど，クンマーさん的にどうすか？
http://www43.atwiki.jp/kummer/pages/14.html
http://www43.atwiki.jp/kummer/pages/15.html
http://www43.atwiki.jp/kummer/pages/16.html
@wikiの制限的に長いログを分割するのはしょうがないとしても，
過去ログ変換サービスでは最後の方のログが取得できてないことがあるし
広告が入るということがありまして，もしよかったら過去ログをZIP
とかでお送り頂けるとありがたいです．あと，ホントにもしよかったら，
改めて参考文献などをお教え頂けると大変ありがたいです．
それでは，ホントにスレ汚しすみませんでした，今後とも末永いご活躍を願っております．
0530Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/27(日) 09:06:07.64>こんなんなりましたけど，クンマーさん的にどうすか？
分かってるとは思いますが念のために誤解がないようにはっきりさせましょう。
私はこのシリーズの過去スレをアップしてくださいとかアップしてかまいませんとか言ってないです。
２ｃｈに無断でアップするのはまずいのではないかと思ってます。
DAT落ちの過去スレを見たい人は正規の方法（有料）で見ることを推奨します。
従って、今回のアップに関して建設的な意見を述べることは控えさせてください。
ただし、何か問題があるときは遠慮なく言わせてもらいます。
0531Nanasi, N.S. ◆NMwJFki61g
2011/02/27(日) 09:56:06.46参考文献についてもどこかに書いて頂いてあったことはウッスラ記憶にありますし，
なお，今回のまとめサイトの件，全ては俺の責任であることをここに明言しておきます，
また，改めて読んでみましたが，私個人としても大変面白い内容が
散見されました．今後にも大変期待しておりますし，何かあったらお声掛けください．ではでは
0532１３２人目の素数さん
2011/02/27(日) 10:00:35.270533１３２人目の素数さん
2011/02/27(日) 10:02:55.020535Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/27(日) 11:24:31.45X を一般Stone空間(>>440)とする。
X のコンパクト開集合全体を S(X) とする。
>>430より、S(X) は X の集合環(過去スレ007の189)である。
従って S(X) は包含関係に関して一般Boole代数(過去スレ021の373)である。
ε = {0, 1} を２元体とする。
S(X) の指標(>>90)の全体を S(X)＾と書く。
任意の x ∈ X に対して写像 x＾：S(X) → ε を x＾(E) = (χ_E)(x) により定義する。
ここで、χ_E は E の特性関数である。
>>292より x＾∈ S(X)＾である。
このとき、写像 x → x＾は X から S(X)＾への全単射である。
証明
x、y ∈ X、x ≠ y とする。
X はHausdorff空間であるから、x ∈ U、y ∈ X - U となる開集合 U がある。
>>507より、X は準連接空間(>>499)であるから、x ∈ V ⊂ U となる V ∈ S(X) がある。
x＾(V) = 1、y＾(V) = 0 だから x＾≠ y＾である。
よって、写像 x → x＾は単射である。
f ∈ S(X)＾を任意の指標とする。
Ψ = {E ∈ S(X)；f(E) = 1} とおく。
P = {E ∈ S(X)；f(E) = 0} は S(X) の素イデアルであり、Ψ = S(X) - P であるから
>>445より、Ψ は S(X) の極大フィルターである。
Ψ は空集合を含まないから Ψ に属す有限個の集合は必ず交わる。
Ψ の各元はコンパクトだから ∩Ψ ≠ 0 である。
x ∈ ∩Ψ とする。
Ψ ⊂ {E ∈ S(X)；x＾(E) = 1} である。
Ψ は極大フィルターだから Ψ = {E ∈ S(X)；x＾(E) = 1} である。
よって、f = x＾ である。
よって、写像 x → x＾は全射である。
証明終
0536１３２人目の素数さん
2011/02/27(日) 12:15:11.92黙ってろ
0538Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/27(日) 13:52:04.74X を一般Stone空間(>>440)とする。
X のコンパクトな開集合全体を S(X) とおく。
>>430より、S(X) は X の集合環である。
従って S(X) は包含関係に関して一般Boole代数(過去スレ021の373)である。
S(X) の指標(>>90)の全体を S(X)＾と書く。
>>535より x ∈ X に x＾∈ S(X)＾を対応させる写像 γ：X → S(X)＾は全単射である。
一方、ε = {0, 1} を２元体としたとき S(X)＾は ε^S(X) (>>299)の部分空間としての位相が入る。
このとき、γ：X → S(X)＾は位相同型である。
証明
任意の E ∈ S(X) に対して E＾= {f ∈ S(X)＾； f(E) = 1} とおく。
x ∈ X のとき γ(x) ∈ E＾ ⇔ x＾(E) = 1 ⇔ x ∈ E
よって、γ^(-1)(E＾) = E
>>411の(4)より、D(E)、E ∈ S(X) の形の集合全体は Spec(S(X)) の開集合の基底である。
よって、>>450より {E＾； E ∈ S(X)} は S(X)＾の位相の基底である。
他方、X は一般Stone空間であるから>>507より X は準連接空間(>>499)である。
よって、S(X) は X の位相の基底である。
よって、γ：X → S(X)＾は位相同型である。
証明終
0539Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/27(日) 14:01:32.59> >>299の証明より {E＾； E ∈ S(X)} は S(X)＾の位相の基底である。
>>225の(4)より、D(E)、E ∈ S(X) の形の集合全体は Spec(S(X)) の開集合の基底である。
よって、>>301より {E＾； E ∈ S(X)} は S(X)＾の位相の基底である。
0540Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/27(日) 14:11:23.51Stoneの双対定理(>>314)を一般Boole代数(過去スレ021の373)に拡張しようとしたが
>>314の形では成り立たない。
何故なら一般Boole代数 A にその指標空間(>>448) A＾を対応させることは関手ではないから。
同様に一般Stone空間(>>440)に S(X) (>>535)を対応させることも関手とはならない。
0541１３２人目の素数さん
2011/02/27(日) 14:47:29.95さっき、くまーから手紙をもらった
猫が邪魔だと書いてあった
0542お仕置きして猫 ◆MuKUnGPXAY
2011/02/27(日) 14:53:47.30ああ、そうですか。ワシはそんなんは全く気にしませんのや。馬鹿な事
を言うたらオマエも潰すゾ。エエな。
猫
0543１３２人目の素数さん
2011/02/27(日) 14:56:16.09『くまーが、猫は邪魔であり、消えて欲しい』
と言っているのだが？
0544１３２人目の素数さん
2011/02/27(日) 14:58:21.40文句があるならくまーにいえ
0545１３２人目の素数さん
2011/02/27(日) 15:00:52.80猫はでてくるな
熊はよろこぶな
よだれたれてるぞ
0547１３２人目の素数さん
2011/02/27(日) 15:04:37.51バカはそれもわからないの？
0549１３２人目の素数さん
2011/02/27(日) 16:03:59.36大学からもらっていて、出張もし放題だったからなあ？
いまじゃあ、年収９０万円くらいか？
0550お仕置きして猫 ◆MuKUnGPXAY
2011/02/27(日) 16:05:54.06猫
0551１３２人目の素数さん
2011/02/27(日) 16:07:22.27ノニは生活保護をもらっていると、言っていたけど？
0552１３２人目の素数さん
2011/02/27(日) 16:08:40.27猫＝浪速大卒 京大数理研で学歴ロンダ
∴ ノニの方が猫よりも圧倒的に偉い
0553お仕置きして猫 ◆MuKUnGPXAY
2011/02/27(日) 16:09:27.09猫
0554１３２人目の素数さん
2011/02/27(日) 16:10:57.070555１３２人目の素数さん
2011/02/27(日) 16:12:48.67税金ドロボーめ
0556猫は貧乏人 ◆MuKUnGPXAY
2011/02/27(日) 16:13:20.29猫
0557１３２人目の素数さん
2011/02/27(日) 16:47:58.190558猫は貧乏人 ◆MuKUnGPXAY
2011/02/27(日) 17:02:00.26猫
0559１３２人目の素数さん
2011/02/28(月) 01:35:15.25どこでもいったるぞ
ためしに数理研に12時でどうや
数理研の下駄箱でまつ
卑怯者の猫はしっぽまいて退散やな
0560猫はオツムが弱い ◆MuKUnGPXAY
2011/02/28(月) 01:36:23.71猫
0561１３２人目の素数さん
2011/02/28(月) 01:57:20.78* いかなる時でも叩く対象を求め、何に対してもまず否定から入る。
* ものを肯定する人間は社員か関係者・信者しかいないと思っている。
* 都合の良いソースしか信じない。
* “味方でなければ敵”・“俺を批判する奴ぁ日本人じゃなくチョン”と思考は二元的で両極端（1bit脳とも呼ばれる）。
* 嫌いな物にはすぐ隔離や排除、規制、非合法化などの過激な対応を求める。
* 集団を一括りにしての批判を嫌うが、他の物は一括りにして決めつける。
* 他人の不幸は娯楽対象としか思っていない。
* 他の世代・異性・イケメン・在日外国人（特に中国・韓国・北朝鮮関連の）をとにかく見下している。
* あらゆる事に対して絶対に責任を持とうとしない。
* 自分には自由と権利を、他人には義務と責任を求める。
* 些細なレベルでも自分の気に入らない言葉や状況を無視(スルー)出来ない。
* 2chを真の常識と思ってしまう。
* 自分達が世間を動かしていると勘違いしている。
* 自分に都合の悪い世論や国民の声はみんな捏造や陰謀だと思い込む。
* それでも自分だけは2ch脳ではないと思いこんでいる。
0562猫はオツムが弱い ◆MuKUnGPXAY
2011/02/28(月) 02:02:53.04なので某友人の求めに従って、その全てを詳細な実例を以て英文で記述し、私の
古くからの友人の便宜に供したいと思いました。
どうも有り難う御座いました。
猫
0563Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/28(月) 10:37:40.800564Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/28(月) 11:05:07.26A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
a、b を A の元とする。
(1) (a∨b)’= a’∨b’
(2) (a∧b)’= a’∧b’
証明
(1)
(a∨b)∧(a’∧b’) = (a∧a’∧b’)∨(b∧a’∧b’) = 0∨0 = 0
(a∨b)∨(a’∧b’) = ((a∨b)∨a’)∧((a∨b)∨b’) = 1∧1 = 1
過去スレ021の324より a∨b の補元(過去スレ021の369) (a∨b)’は一意に定まる。
よって、(a∨b)’= a’∧b’
(2)
(1) の双対である。
証明終
0565Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/28(月) 11:10:55.73命題(De Morganの公式)
A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
a、b を A の元とする。
(1) (a∨b)’= a’∧b’
(2) (a∧b)’= a’∨b’
証明
(1)
(a∨b)∧(a’∧b’) = (a∧a’∧b’)∨(b∧a’∧b’) = 0∨0 = 0
(a∨b)∨(a’∧b’) = ((a∨b)∨a’)∧((a∨b)∨b’) = 1∧1 = 1
過去スレ021の324より a∨b の補元(過去スレ021の369) (a∨b)’は一意に定まる。
よって、(a∨b)’= a’∧b’
(2)
(1) の双対である。
証明終
0566Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/28(月) 11:14:31.88A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
a、b を A の元とする。
a ≦ b ⇔ b’≦ a’
証明
De Morganの公式(>>565)より
a ≦ b ⇔ a = a∧b ⇔ a’= a’∨b’⇔ b’≦ a’
証明終
0567Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/28(月) 11:25:27.21A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
(a_i)、i ∈ I を A の元の族とする。
(1) ∨a_i が存在すれば (∨a_i)’= ∧(a_i)’
(2) ∧a_i が存在すれば (∧a_i)’= ∨(a_i)’
証明
(1) a = ∨a_i とおく。
各 i ∈ I に対して a_i ≦ a
>>566より、a’≦ (a_i)’
即ち a’は (a_i)、i ∈ I の下界である。
b ∈ A と各 i ∈ I に対して b ≦ (a_i)’とする。
>>566より、a_i ≦ b’
よって a ≦ b’
>>566より、b ≦ a’
よって、a’= ∧(a_i)’
(2)
(1) の双対である。
証明終
0568Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/28(月) 11:27:32.52>即ち a’は (a_i)、i ∈ I の下界である。
即ち a’は (a_i)’、i ∈ I の下界である。
0569Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/28(月) 12:18:35.82A を順序集合とする。
I を集合とする。
(I_j)、j ∈ J を I の部分集合の族とし、I = ∪I_j とする。
(a_i)、i ∈ I を A の元の族とする。
各 j ∈ J に対して b_j = ∨{a_i；i ∈ I_j} が存在し、
∨{b_j；j ∈ J} が存在するとする。
このとき ∨{b_j；j ∈ J} = ∨{a_i；i ∈ I} である。
証明
b = ∨{b_j；j ∈ J} とおく。
I = ∪I_j だから各 i ∈ I に対して i ∈ I_j となる j ∈ J がある。
よって、a_i ≦ b_j ≦ b である。
c ∈ A とし、各 i ∈ I に対して a_i ≦ c とする。
各 j ∈ J に対して b_j ≦ c である。
よって、b ≦ c である。
よって、b = ∨{a_i；i ∈ I} である。
証明終
0570Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/28(月) 12:20:25.10A を順序集合とする。
I を集合とする。
(I_j)、j ∈ J を I の部分集合の族とし、I = ∪I_j とする。
(a_i)、i ∈ I を A の元の族とする。
各 j ∈ J に対して b_j = ∧{a_i；i ∈ I_j} が存在し、
∧{b_j；j ∈ J} が存在するとする。
このとき ∧{b_j；j ∈ J} = ∧{a_i；i ∈ I} である。
証明
>>569の双対である。
0571Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/28(月) 12:40:28.03A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
(b_i)、i ∈ I を A の元の族とする。
∨b_i が存在するとする。
このとき、任意の a ∈ A に対して
a∧(∨b_i) = ∨(a∧b_i)
証明
各 i ∈ I に対して b_i ≦ ∨b_i
よって、a∧b_i ≦ a∧(∨b_i)
よって、∨(a∧b_i) ≦ a∧(∨b_i)
a∧(∨b_i) ≦ ∨(a∧b_i) を証明しよう。
各 i ∈ I に対して a∧b_i ≦ c とする。
a∧(∨b_i) ≦ c を示せばよい。
b_i = 1∧b_i = (a∨a’)∧b_i = (a∧b_i)∨(a’∧b_i) ≦ c∨a’
よって、∨b_i ≦ c∨a’
よって、a∧(∨b_i) ≦ a∧(c∨a’) = (a∧c)∨(a∧a’) = (a∧c)∨0 = a∧c ≦ c
証明終
0572Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/28(月) 12:50:24.39A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
(b_i)、i ∈ I を A の元の族とする。
∧b_i が存在するとする。
このとき、任意の a ∈ A に対して
a∨(∧b_i) = ∧(a∨b_i)
証明
Boole代数の双対はBoole代数であることと>>571による。
0573Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/28(月) 13:16:21.37A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
(b_i)、i ∈ I を A の元の族とする。
∨b_i が存在するとする。
このとき、任意の a ∈ A に対して
(1) a∧(∨b_i) = ∨(a∧b_i)
(2) a∨(∧b_i) = ∧(a∨b_i)
証明
b = ∨b_i とおく。
c = a∨b とおく。
区間 [0, c] はBoole代数である。
a と各 b_i は [0, c] に含まれる。
よって、>>571と>>572から本命題が従う。
証明終
0574Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/28(月) 13:26:53.69命題(一般Boole代数における無限分配律)
A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
(b_i)、i ∈ I を A の元の族とし、∨b_i が存在するとする。
このとき、任意の a ∈ A に対して
a∧(∨b_i) = ∨(a∧b_i)
証明
b = ∨b_i とおく。
c = a∨b とおく。
区間 [0, c] はBoole代数である。
a と各 b_i は [0, c] に含まれる。
よって、>>571から本命題が従う。
証明終
0575Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/02/28(月) 14:01:44.45A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
(a_i)、i ∈ I と (b_j)、j ∈ J を A の元の族とする。
(1) ∨a_i と ∨b_j が存在すれば (∨a_i)∧(∨b_j) = ∨(a_i∧b_j)
(2) ∧a_i と ∧b_j が存在すれば (∧a_i)∨(∧b_j) = ∧(a_i∨b_j)
証明
(1)
a = ∨a_i とおく。
>>571と>>569より、
a∧(∨b_j) = ∨(a∧b_j) = ∨(a_i∧b_j)
(2)
(1)の双対である。
証明終
0576１３２人目の素数さん
2011/02/28(月) 18:13:22.280578１３２人目の素数さん
2011/02/28(月) 19:31:29.05頭わるそーｗｗｗｗ
ログ見たが間違いありすぎｗ
0579猫は超賤人 ◆MuKUnGPXAY
2011/02/28(月) 20:10:31.02どんなテキストでも間違いがアルのは当たり前。だからオマエの書き込
みは『馬鹿の証明』ですナ。そやし馬鹿はサッサとすっ込めや。
猫
0580１３２人目の素数さん
2011/02/28(月) 20:44:45.66間違いが「ありすぎる」のが問題だと言っているんだよ
馬鹿はすっこめ
0581１３２人目の素数さん
2011/02/28(月) 21:52:47.27うん、>>578は頭いいよ
0582１３２人目の素数さん
2011/02/28(月) 22:08:19.06くまー
おまえ自演バレバレだよ 名無しで書いてもおまはくま＝無職にしてアホ
0583１３２人目の素数さん
2011/03/01(火) 01:09:21.28こんなアホが数学に関してなにいうても
意味ない
そんなことはあたりまえとしても
猫はぼけなすくまーをおうえんするほどアホであるな
0584１３２人目の素数さん
2011/03/01(火) 01:11:40.59怖じ気づいた猫はげたばこに来いや！
ああそうか
数理研に行くのが怖いのやなあ
0585猫は超賤人 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/01(火) 02:01:12.62「問題があり過ぎる」とオマエが言うのならば、オマエが自分の実力で
ソレ等を指摘してみたらどうや？ ワシかてオマエの数学的な指摘っち
ゅうんを見てみたいがな。
猫
0586Nanasi, N.S. ◆NMwJFki61g
2011/03/01(火) 12:58:24.13この度，私もモリタポというものを購入しまして，
50モリタポずつ猫先生のメールアドレス・
猫先生のトリップ・Kummerさんのトリップ
に寄贈致しました．
もしモリタポシステムをお使いであれば，
ご確認いただけるとありがたいです．
ではでは，今後とも何卒よろしくお願い致します．
neetubot
0587１３２人目の素数さん
2011/03/01(火) 13:14:47.89すっこんどれ
0588１３２人目の素数さん
2011/03/01(火) 13:24:20.45スレ主って、なんでこんなにバーカなの？
四六時中書き込みしているのに、なんでこんなにバーカなの？
0589１３２人目の素数さん
2011/03/01(火) 13:26:29.76高校のイメージで書いている奴がいるなあw 高校生なのか？
0590１３２人目の素数さん
2011/03/01(火) 13:27:07.080591１３２人目の素数さん
2011/03/01(火) 15:02:29.300592Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/01(火) 15:03:31.40A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
A の空でない部分集合 B が次の条件を満たすとき、
B を A の部分環と言う。
(1) a, b ∈ B のとき a∨b ∈ B
(2) a, b ∈ B のとき a＼b (>>21) ∈ B
0593１３２人目の素数さん
2011/03/01(火) 15:04:37.850594１３２人目の素数さん
2011/03/01(火) 15:05:31.120595Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/01(火) 15:44:30.32A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
B を A の部分集合とする。
以下の条件は同値である。
(1) B は A の部分環(>>592)である。
(2) >>44より A を一般Boole環(>>6)とみたとき B は A の部分環である。
証明
(1) ⇒ (2)
a, b ∈ B のとき>>22より a△b = (a＼b)∨(b＼a) ∈ B
また、a∧b = (a∨b)＼(a△b) ∈ B
(2) ⇒ (1)
a, b ∈ B のとき a∨b = (a△b)△(a∧b) ∈ B
また、a＼b = a△(a∧b) ∈ B
証明終
0596Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/01(火) 15:54:35.33A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
B を A の任意の部分環(>>592)とする。
このとき、以下が成り立つ。
(1) 0 ∈ B
(2) a, b ∈ B のとき a∧b ∈ B
証明
>>595より明らかである。
0597Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/01(火) 15:57:18.93A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
Φ を A の部分環(>>592)からなる集合とする。
このとき ∩Φ は A の部分環である。
証明
>>596より、0 ∈ ∩Φ だから ∩Φ は空でないことに注意すればよい。
0598Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/01(火) 16:00:27.61命題
A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
Φ を A の部分環(>>592)からなる空でない集合とする。
このとき ∩Φ は A の部分環である。
証明
>>596より、0 ∈ ∩Φ だから ∩Φ は空でないことに注意すればよい。
0599Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/01(火) 16:03:13.88A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
S を A の任意の部分集合とする。
S を含む A の部分環(>>592)で最小のものが存在する。
証明
Φ を S を含む A の部分環全体とする。
A ∈ Φ だから Φ は空でない。
>>598より ∩Φ は A の部分環である。
よって、∩Φ が求めるものである。
証明終
0600Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/01(火) 16:06:06.37A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
S を A の任意の部分集合とする。
>>599より、S を含む A の部分環(>>592) B で最小のものが存在する。
B を S で生成される部分環と言う。
0601Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/01(火) 16:17:21.04A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
S を A の任意の部分集合とする。
B を S で生成される部分環(>>600)とする。
S が空集合のとき B = {0} である。
S が空集合でないとき S は次の形の元全体である。
(p_1)△．．．△(p_n)
ここで、各 p_k は a_(k, 1)∧．．．∧a_(k, k_m)、a_(k, i) ∈ S の形の元である。
証明
>>595より明らかである。
0603１３２人目の素数さん
2011/03/01(火) 17:33:28.29間違い、日本語の稚拙さが目立ちます。
義務教育からやり直してくださいませ。
0604猫は超賤人 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/01(火) 17:35:52.82貴方は義務教育ではなくて保育園からやり直さなければ「その深刻な馬鹿」
は治らないと思います。先は長いとは思いますがメゲずに頑張って下さい。
猫
0605Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/01(火) 17:41:57.70A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
A の空でない部分集合 B が次の条件を満たすとき、
B を A の部分代数と言う。
(1) a, b ∈ B のとき a∨b ∈ B
(2) a ∈ B のとき a’∈ B
0606１３２人目の素数さん
2011/03/01(火) 17:47:17.40どだい、形式的なことを延々として意味があると思っているのかねw
0607１３２人目の素数さん
2011/03/01(火) 17:48:40.82でてこいや
0608１３２人目の素数さん
2011/03/01(火) 17:51:46.880609１３２人目の素数さん
2011/03/01(火) 18:02:54.43それでも恐かったら情報学にしとけ
0610Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/01(火) 18:05:01.08A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
B を A の部分集合とする。
以下の条件は同値である。
(1) B は A の部分代数(>>605)である。
(2) B は A の部分環(>>592)で A の最大元 1 を含む。
(3) >>46より A をBoole環(>>6)とみたとき B は A の単位元 1 を共有する部分環である。
(4) B は A の空でない部分集合で次の条件を満たす。
(ⅰ) a, b ∈ B のとき a∧b ∈ B
(ⅱ) a ∈ B のとき a’∈ B
証明
(1) ⇒ (2)
a, b ∈ B のとき De Morganの公式(>>565)より
(a∧b)’= a’∨b’∈ B
よって、a∧b ∈ B
よって、a＼b = a∧b’∈ B
よって、B は A の部分環(>>592)である。
>>596より、0 ∈ B だから 1 = 0’∈ B
(2) ⇒ (3)
>>595より明らかである。
(続く)
0611Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/01(火) 18:05:47.42(3) ⇒ (4)
(ⅰ) は明らかである。
(ⅱ) a ∈ B のとき a’= 1 + a ∈ B
(4) ⇒ (1)
a, b ∈ B のとき De Morganの公式(>>565)より
(a∨b)’= a’∧b’∈ B
よって、a∨b ∈ B
証明終
0614Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/01(火) 18:13:56.01A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
Φ を A の部分代数(>>605)からなる空でない集合とする。
このとき ∩Φ は A の部分代数である。
証明
>>610より、0 ∈ ∩Φ だから ∩Φ は空でないことに注意すればよい。
0615Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/01(火) 18:17:11.25A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
S を A の任意の部分集合とする。
S を含む A の部分代数(>>605)で最小のものが存在する。
証明
Φ を S を含む A の部分代数とする。
A ∈ Φ だから Φ は空でない。
>>614より ∩Φ は A の部分代数である。
よって、∩Φ が求めるものである。
証明終
0616Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/01(火) 18:19:10.55A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
S を A の任意の部分集合とする。
>>615より、S を含む A の部分代数(>>605) B で最小のものが存在する。
B を S で生成される部分代数と言う。
0617Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/01(火) 18:27:36.84命題
A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
S を A の任意の部分集合とする。
B を S で生成される部分環(>>600)とする。
S が空集合のとき B = {0} である。
S が空集合でないとき B は次の形の元全体である。
(p_1)△．．．△(p_n)
ここで、各 p_k は a_(k, 1)∧．．．∧a_(k, k_m)、a_(k, i) ∈ S の形の元である。
証明
>>595より明らかである。
0618１３２人目の素数さん
2011/03/01(火) 18:28:43.670619猫は超賤人 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/01(火) 18:29:21.64猫
0620１３２人目の素数さん
2011/03/01(火) 18:33:25.08おそいんじゃアホ
0621１３２人目の素数さん
2011/03/01(火) 18:34:45.05出てこい言われんでもでてこんかったら
あかんやろ
気のきかんやつやは
0622１３２人目の素数さん
2011/03/01(火) 18:35:50.480623１３２人目の素数さん
2011/03/01(火) 18:39:28.250624１３２人目の素数さん
2011/03/01(火) 19:00:32.98間違いを訂正する気はないのでしょうか。
いい加減にしてください。
0625猫は超賤人 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/01(火) 19:06:10.64読者ならばきちんと理解が出来ます。困るのはココでイチャモンを付け
ている様な馬鹿だけですから、そういう馬鹿を切り捨てるのに躊躇は必
要アリマセン。
猫
0626１３２人目の素数さん
2011/03/01(火) 19:27:07.840627Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/01(火) 19:35:42.88A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
S を A の任意の部分集合とする。
B を S で生成される部分代数(>>616)とする。
S が空集合のとき B = {0, 1} である。
S が空集合でないとき B は次の形の元全体である。
(p_1)∨．．．∨(p_n)
ここで、各 p_k は a_(k, 1)∧．．．∧a_(k, k_m) の形の元である。
ここで、a_(k, i) ∈ S または (a_(k, i))’ ∈ S である。
証明
S が空集合のとき明らかに B = {0, 1} である。
S が空集合でないとする。
上記の形の元全体を C とする。
S ⊂ C であるから C は空でない。
a, b ∈ C のとき明らかに a∨b ∈ C である。
De Morganの公式(>>565)と分配律より a ∈ C のとき a’∈ C である。
よって、C は部分代数(>>605)である。
B は上記の形の元を含むから C ⊂ B である。
よって、C = B である。
証明終
0628Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/01(火) 19:38:44.47A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
S を A の任意の部分集合とする。
B を S で生成される部分代数(>>616)とする。
S が空集合のとき B = {0, 1} である。
S が空集合でないとき B は次の形の元全体である。
(p_1)∧．．．∧(p_n)
ここで、各 p_k は a_(k, 1)∨．．．∨a_(k, k_m) の形の元である。
ここで、a_(k, i) ∈ S または (a_(k, i))’ ∈ S である。
証明
>>627の双対である。
0629Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/01(火) 19:54:57.95A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
B を A の部分環(>>592)とする。
C を B で生成される部分代数(>>616)とする。
このとき、C = B ∪ B’である。
ここで、B’= {x’； x ∈ B} である。
証明
D = B ∪ B’とおく。
a, b ∈ B のとき、
a∨b ∈ B
a∨b’= (a’∧b)’∈ B’
a’∨b’= (a∧b)’∈ B’
以上から x、y ∈ D のとき x∨y ∈ D である。
明らかに x ∈ D のとき x’∈ D である。
よって、D は A の部分代数である。
D ⊂ C は明らかであるから D = C である。
証明終
0630１３２人目の素数さん
2011/03/01(火) 19:56:08.27バカセの学位をKummer ◆IxIr9aihfgに授与する
ーーーーーーーーーーー バカ大学ガクチョウ 馬鹿田 アホ也
0631１３２人目の素数さん
2011/03/01(火) 20:03:48.840632Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/01(火) 20:27:43.89G をアーベル群とする。
G の各元 x に対して 2x = 0 とする。
S を G の n 個の元からなる有限部分集合とする。
このとき S で生成される G の部分群 H は有限群であり、その位数 ≦ 2^n である。
証明
S = {a_1、．．．、a_n} とする。
H の各元は (ε_1)(a_1) ＋．．．＋ (ε_n)(a_n) の形であることに注意すればよい。
ここで、各 ε_i は 0 または 1 である。
証明終
0633猫と狸は別物 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/01(火) 20:30:01.10だけではないでしょうかね。まあみっともない嫉妬という事でしょう。
猫
0634Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/01(火) 20:38:19.42A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
S を A の有限部分集合とする。
B を S で生成される部分環(>>600)とする。
このとき B は有限集合である。
従って>>189より B はBoole代数(過去スレ021の336)である。
証明
>>44より A は一般Boole環(>>5)とみなせる。
>>7より A の加法群は>>632の条件を満たす。
よって、本命題は>>617と>>632より明らかである。
証明終
0635１３２人目の素数さん
2011/03/01(火) 20:49:34.680636Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/01(火) 20:51:55.61それらはある有限Boole代数における演算と考えてよい。
しかも、>>190より、その有限Boole代数はある集合 X の冪集合 P(X) と標準的に同型である。
0637１３２人目の素数さん
2011/03/01(火) 21:04:24.53くま 自演乙w
0638１３２人目の素数さん
2011/03/01(火) 21:12:31.42おまえがばかであること、無職であることは周知であるのだから
気取っても意味ないよ
0639１３２人目の素数さん
2011/03/01(火) 21:19:21.47君は他人を馬鹿にすることでしか
自尊心の得られない可哀相な人だね|(-_-)|
謙虚にならないと人は成長しないよ？
まあ、こう言っても
一笑に付すだけだろうけど（笑）
0640１３２人目の素数さん
2011/03/01(火) 21:46:06.860641猫と狸は別物 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/01(火) 22:17:18.63猫
0642１３２人目の素数さん
2011/03/01(火) 22:26:15.14研究もせずに、粘着しているおまえが屑
0643猫と狸は別物 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/01(火) 22:47:49.26余裕がアルのや。
猫
0644Nanasi, N.S. ◆NMwJFki61g
2011/03/01(火) 23:16:06.30まとめサイトに掲示板を追加したったぞ！
http://www43.atwiki.jp/kummer/pages/14.html
その下にコテハン投票ってのも付けてみたよ！！お試しかっ
0645１３２人目の素数さん
2011/03/01(火) 23:40:21.94つまらないですね。
0646１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 00:38:22.53同意
0647１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 00:46:04.200649１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 00:50:52.660650１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 00:53:27.75見てますよね。
まあ、落ち着いたらカキコすると良いと思いますよ。
0651猫と狸は別物 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/02(水) 00:54:04.92サッサと焼却処分にしたるさかい、その材料を出せや。ワシがオマエを
足腰が立たへん様にしたるがな。
猫
0652１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 00:54:48.270654１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 01:44:49.64ちゃうちゃう
もちろん
みんなは
おまえが
のたれ死に
するのを
たのしみに
してるのやがな
0656１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 01:47:39.87でてこいよ
そして
つまらないこと
かきちらしてくれよ
おねがいだからさ
そして
ねこをけちらしてくれよ
0657１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 01:48:49.300658１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 01:49:05.01どないもせんわ
のたれじにするのをたのしみにしてるだけや
じたばたするなよ
みぐるしいぞ
0659１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 01:50:05.18でてこんかいアホ
0660１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 01:54:19.650661猫は加齢臭 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/02(水) 01:54:46.050663Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/02(水) 03:54:48.67A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
a を A の任意の元とする。
{a} で生成される A の部分環(>>600)は B = {0, a} である。
B はBoole代数 {0} または {0, 1} に同型である。
0664Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/02(水) 04:00:10.84A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
a を A の任意の元とする。
{a} で生成される A の部分代数(>>616)は B = {0, 1, a, a’} である。
0665１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 05:00:39.08電源コードを変えると味が変わるのは炊飯界では常識です。
私は発電所から専用線で我が家まで電力を引っ張り込んでいます。
電線の材質は無酸素銅が最高ですよ。
おｂｩげで、ウチはャ}イコンですが＝AIHよりいい味ｂｪしますよ。
ちなみに電力会社の違いでも味付けにサがでるよ。
電力会社 長所 短所 お奨め度
---------------------------------------------------------
東京電力 バランス ﾓｯﾁﾘ遅い C
中部電力 粘度強い 粘度強すぎ A+
関西電力 さっぱり 粘度薄い B
中国電力 透明感 粘度薄い B+
北陸電力 ｳｪｯﾄな艶 個性が無い A-
東北電力 密度と色 粘度薄い A+
四国電力 色とﾆｵｲ 粘度薄い A
九州電力 バランス ｺﾒの距離感 C
北海道電力 品質 味が狭い B-
沖縄電力 芯に艶 味ﾓｯｻﾘ A
で、上は発電所から５Ｋｍ地点での特徴。
それより自宅～発電所間の距離が長いと上記特徴＋マイルドの味付け
短いと上記特徴＋刺激的な味付けが加わるよ。
0666Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/02(水) 07:39:26.93A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
B を A の部分代数(>>605)とする。
a を A の任意の元とする。
このとき、B∪{a} で生成される部分代数(>>616)は
C = {(b∧a)△c；b、c∈ B} = {(b∧a)∨(c＼a)；b、c∈ B}
である。
証明
>>44より A は一般Boole環(>>5)と見なせる。
b、c∈ B のとき
(b∧a)∨(c＼a) = ba∨(c + ca) = ba + (c + ca) + ba(c + ca)
= ba + c + ca + bac + bac = ba + c + ca = (b + c)a + c
よって、{(b∧a)△c；b、c ∈ B} = {(b∧a)∨(c＼a)；b、c∈ B} である。
任意の b ∈ B に対して b = 0a + b = (0∧a)△b ∈ C
よって、B ⊂ C
特に 1 ∈ B だから 1 ∈ C
b、c, d , e ∈ B のとき
(ba + c) + (da + e) = (b + d)a + c + e
(ba + c)(da + e) = bda + bea + cda + ce = (bd + be + cd)a + ce
よって、C は A の部分代数である。
B ⊂ C および a = (1∧a)△0 ∈ C より C は B∪{a} で生成される。
証明終
0667１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 07:40:17.95証明 自明
とやらを続けるのかね？
0668１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 07:45:05.18国家公務員共済年金はもらえるの？ 後学の為に教えてチョ
0669１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 07:47:14.49２２年年金を納めておれば、あと３年分くらいで年金自体は６５歳（６０歳？）から支給されるが
問題は基礎年金（国民年金）部分ではなくて２階部分である共済年金が出るのかどうかだ。
0670Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/02(水) 07:48:21.94Φ を集合 X 上の集合環(過去スレ007の189)とする。
X の任意の２点 x ≠ y に対して x ∈ A、y ∈ X - A となる A ∈ Φ があるとき
Φ は被約(reduced)であると言う。
0671１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 07:50:36.450672Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/02(水) 07:52:03.87X を任意の集合とする。
冪集合 P(X) は被約(>>670)である。
0673１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 07:53:52.32規約で禁止されている個人スレを延々と続けている。迷惑がっている人がいるのも
理解出来ます。自分の勉強ノートなら、なにも２ちゃんねるでやらんでもよいだろう。
0674１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 07:56:53.280675Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/02(水) 08:15:45.59Boole代数をやってるのは測度論に応用するためです(過去スレ021の113)。
測度論は位相群上の調和解析に応用されます。
Boole代数が整数論に必要かと言われると答えは否でしょう。
必要最小限の道具で整数論をやることも出来ます（例えば高木の代数的整数論）。
そういう方法が好きな人は例えば高木の本を見てください。
このシリーズの方針はそれらの本とは別です。
何回も書いてますが、今は準備段階なのでこのスレを隅から隅まで順に読む必要はありません。
むしろ必要になった時点でこのスレを読むことを薦めます。
0676Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/02(水) 08:36:57.48X を一般Stone空間(>>440)とする。
X のコンパクトな開集合全体を S(X) とおく。
>>430より、S(X) は X の集合環である。
>>507より X は準連接空間(>>499)であるから S(X) は被約(>>670)である。
0677Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/02(水) 09:33:29.60Φ を集合 X 上の集合代数(過去スレ007の196)とする。
任意の x ∈ X に対して
Φ(x) = {A ∈ Φ； x ∈ A}
M(x) = {A ∈ Φ； x ∈ X - A}
とおく。
このとき Φ(x) は Φ の極大フィルター(>>96)であり、
M(x) は Φ の極大イデアル(>>99)である。
証明
X ∈ Φ(x) より Φ(x) は空でない。
A、B ∈ Φ(x) のとき A∩B ∈ Φ(x)
A ∈ Φ(x)、A ⊂ B、B ∈ Φ なら B ∈ Φ(x) である。
以上から Φ(x) は Φ のフィルターである。
φ は Φ(x) に属さないから Φ(x) ≠ Φ である。
よって、>>296より Φ(x) は Φ の極大フィルターである。
M(x) = {X - A； A ∈ Φ(x)} だから、>>295より M(x) は Φ の極大イデアルである。
証明終
0678Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/02(水) 09:39:39.82Φ を集合 X 上の集合代数(過去スレ007の196)とする。
任意の x ∈ X に対して、>>677の Φ(x) を x により決定される極大フィルターと言う。
同様に、>>677の M(x) を x により決定される極大イデアルと言う。
0679１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 10:24:19.20ないんなら、文献を提示して下さい
0680 ◆PsXHu9UyPk
2011/03/02(水) 10:57:03.61最近、クンマーさんにイチャモンつけて邪魔する
ゴキブリが住み着いたみたいですが
気にせずに心置きなく続けてください
ゴキブリどものクソスレの方が
よっぽど迷惑です
0681 ◆PsXHu9UyPk
2011/03/02(水) 10:59:44.33ゴキブリホイホイ設置しますね
(^3^)/〓〓
0682Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/02(水) 11:32:17.86私のオリジナルなわけないですよ。
ただし、個々の命題の証明は私が考えたものが多いです。
それと一般Boole代数(過去スレ021の373)に関する記述(一般Stone空間を含む)は
Fremlinにある部分を除いて私が考えたものが多いです。
簡単な拡張なので既に知られてると思いますが。
Boole代数に関しては
Boolean Algebras by Sikorski
Introduction to Boolean algebras by Givant, Halmos
Stone spaces by Johnstone
Measure theory vol.3 by Fremlin
束論に関しては
Lattice theory by Birkhoff
General lattice theory by Gratzer
Lattices and ordered sets by Roman
Lattices and ordered algebraic structures by Blyth
0683１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 12:47:53.50おまえはゴキブリの糞やな
ゴキブリについてまわっとる
0684Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/02(水) 13:24:23.54一般位相に関しては
Bourbaki
General topology by Kelley
General topology by Willard
General topology by Engelking
0685Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/02(水) 14:08:56.84Φ を集合 X 上の集合環(過去スレ007の189)とする。
任意の x ∈ ∪Φ に対して
Φ(x) = {A ∈ Φ； x ∈ A}
M(x) = {A ∈ Φ； x ∈ X - A}
とおく。
このとき Φ(x) は Φ の極大フィルター(>>96)であり、
M(x) は Φ の極大イデアル(>>99)である。
証明
ε = {0, 1} を２元体とする。
ε はBoole代数(過去スレ021の336)と見なす。
写像 f：Φ → ε を f(A) = (χ_A)(x) により定義する。
ここで、χ_A は A の特性関数である。
f は明らかに一般Boole代数(過去スレ021の373)としての準同型(>>29)である。
よって、>>44より f は一般Boole環(>>5)としての準同型である。
x ∈ ∪Φ であるから x ∈ A となる A ∈ Φ がある。
f(A) = 1 であるから f(Φ) = ε である。
よって、Φ/Ker(f) は ε と同型である。
よって、M(x) = Ker(f) は Φ の環としての素イデアルである。
>>203より M(x) は Φ の束としての素イデアル(>>100)である。
>>106より、Φ(x) は Φ の素フィルター(>>97)である。
よって、>>445より、Φ(x) は Φ の極大フィルター(>>96)であり、
M(x) は Φ の極大イデアル(>>99)である。
証明終
0686Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/02(水) 14:10:23.37Φ を集合 X 上の集合環(過去スレ007の189)とする。
任意の x ∈ ∪Φ に対して、>>685の Φ(x) を x により決定される極大フィルターと言う。
同様に、>>685の M(x) を x により決定される極大イデアルと言う。
0687Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/02(水) 14:41:53.16X を無限集合とする。
Φ = {A ⊂ X； A または X - A は有限集合} とおく。
Φ は X 上の集合代数(過去スレ007の196)である。
P = {A ⊂ X； A は有限集合}、
F = {A ⊂ X； A は無限集合} とおく。
F は明らかに Φ のフィルター(過去スレ021の527)であり、F ≠ Φ である。
よって、>>296より F は極大フィルター(>>96)である。
P = Φ - F であるから>>445より P は極大イデアル(>>99)である。
P および F は X のどの点によっても決定(>>678)されない。
0688１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 16:10:44.900690Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/02(水) 16:28:46.16Φ を集合 X 上の集合代数(過去スレ007の196)とする。
Φ の任意の極大フィルター(>>96)が X のある点により決定される(>>678)とき
Φ は完全(perfect)であるという。
0691Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/02(水) 16:33:58.84Φ を集合 X 上の集合代数(過去スレ007の196)とする。
Φ が完全(>>690)であるためには Φ の任意の極大イデアル(>>99)が
X のある点により決定されることが必要十分である。
証明
>>445より明らかである。
0692１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 16:49:39.180693１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 16:50:34.270694猫は統合失調症 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/02(水) 16:53:21.98『全くその通り』ですね。私には内容が全く理解出来ないので仕方なく
貴方達の書き込みしか見ていません。だから貴方達の書き込みに対して
『のみ』に今後もずっとレスをし続ける事にしています。
今後も末永く宜しくお付き合い下さいませ。
猫
0696１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 17:03:59.14職場を懲戒解雇となりました。
その決定が下る前に人権を盾にごねたりしたのです。
心神耗弱で罪を逃れようとすらしたようですよ。
大変立派なお方です。
常人には真似ができません。
0697Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/02(水) 17:07:00.17Φ を集合 X 上の有限な集合代数(過去スレ007の196)とする。
Φ は完全(>>690)である。
証明
F を Φ の極大フィルター(>>96)とする。
F は有限であるから ∩F ∈ F である。
F ≠ P(X) であるから ∩F は空でない。
任意の x ∈ ∩F に対して Φ(x) = {A ∈ Φ； x ∈ A} とおけば
F ⊂ Φ(x) である。
>>677より、Φ(x) は Φ の極大フィルターであるから F = Φ(x) である。
よって、Φ は完全である。
証明終
0698１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 17:07:07.490699１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 17:09:00.07熊なのに馬と鹿なのか
0700１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 17:10:03.130703１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 17:14:23.24この歳になって初めて知ったことは、
2chというものを、どんなに荒らしまわっても、
二ヶ月ほどで、復帰できるということ。
おれも、むしゃくしゃしたら、むちゃくちゃ荒らし回って
やろうと思う。
0704１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 17:18:04.97そんな偉そうなこと言うなんて身の程知らずだな。
0705１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 17:19:30.45アホ猫さんに束論を講義してもらいましょう
置換論ならできるでしょう
いや
痴漢論
0708１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 17:25:00.410709Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/02(水) 17:26:18.93X を無限集合とする。
X の冪集合 P(X) は完全(>>690)でない。
証明
I = {A ⊂ X； A は有限集合} とおく。
I は P(X) のイデアルであり、I ≠ P(X) である。
Zornの補題より I を含む P(X) の極大イデアル M が存在する。
任意の x ∈ X に対して {x} ∈ I であるから
M は X のどの点でも決定(>>678)されない。
よって、P(X) は完全でない。
証明終
0711１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 17:30:04.740712１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 17:30:56.830713Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/02(水) 17:32:23.74X を無限集合とする。
Φ を集合 X 上の集合代数(過去スレ007の196)とする。
Φ は X の全ての有限部分集合を含むとする。
このとき、Φ は完全(>>690)でない。
証明
>>709と同様である。
0714猫は統合失調症 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/02(水) 17:38:17.27猫
0715猫は統合失調症 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/02(水) 17:48:36.01まあエエけどォー
猫
0716１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 18:44:41.91くだらない…
0718Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/02(水) 19:42:35.18X を準コンパクト空間(過去スレ006の104)とする。
Φ を X の開かつ閉な部分集合全体とする。
>>249より Φ は X 上の集合代数(過去スレ007の196)である。
このとき Φ は完全(>>690)である。
証明
F を Φ の極大フィルターとする。
X は準コンパクトであるから ∩F ≠ φ である。
F は任意の x ∈ ∩F により決定される(>>678)。
証明終
0719Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/02(水) 19:50:04.08X をStone空間(>>248)とする。
X の開かつ閉な部分集合全体を S(X) とする。
>>249より Φ は X 上の集合代数(過去スレ007の196)である。
このとき Φ は被約(>>670)かつ完全(>>690)である。
証明
>>676と>>718による。
0720Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/02(水) 19:51:22.17命題
X をStone空間(>>248)とする。
X の開かつ閉な部分集合全体を Φ とする。
>>249より Φ は X 上の集合代数(過去スレ007の196)である。
このとき Φ は被約(>>670)かつ完全(>>690)である。
証明
>>676と>>718による。
0721Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/02(水) 21:40:51.42Φ を集合 X 上の被約(>>670)かつ完全(>>690)な集合代数(過去スレ007の196)とする。
このとき X に位相を定義して X はこの位相によりStone空間(>>248)となり
Φ は X の開かつ閉な部分集合全体となるように出来る。
証明
Φ はBoole代数であるから>>46よりBoole環(>>6)と見なせる。
>>247より Spec(Φ) はStone空間である。
Spec(Φ) の開かつ閉な部分集合全体を S(Spec(Φ)) とおく。
写像 ρ：Φ → S(Spec(Φ)) を ρ(A) = D(A) (>>223)で定義する。
Stoneの表現定理(>>289)より ρ はBoole代数の同型である。
他方、各 x ∈ X に対して M(x) = {A ∈ Φ； x ∈ X - A} とおく。
>>677より M(x) は Φ の極大イデアル(>>99)である。
>>107より M(x) ∈ Spec(Φ) である。
f：X → Spec(Φ) を f(x) = M(x) により定義する。
Φ は被約(>>670)だから f は単射である。
>>75より、Spec(Φ) は Φ の極大イデアル全体と一致する。
Φ は完全(>>690)だから f は全射である。
よって、f は全単射である。
X の位相をSpec(Φ)の位相の f による逆像として定義する。
X は Spec(Φ) と同相であるからStone空間である。
任意の A ∈ Φ に対して
x ∈ f^(-1)(D(A)) ⇔ f(x) ∈ D(A) ⇔ A ∈ Φ - M(x) ⇔ x ∈ A
よって、f^(-1)(D(A)) = A
よって、Φ は X の開かつ閉な部分集合全体である。
証明終
0722１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 21:43:39.22数学に憧れてる中学生もしくは高校生でしょうか？
稚拙な印象をどうしても受けます。
0723∴猫は多重精神病 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/02(水) 21:48:05.91数学に憧れ『た』崩れ馬鹿院生でしょうか？
敗北の印象をどうしても受けます。
猫
0724１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 22:28:23.32数学に捨てられ「た」性犯罪者でしょうか？
社会の屑の印象をどうしても受けます。
0725１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 22:36:19.700726１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 22:43:10.890728１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 22:45:44.120729∴猫は多重精神病 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/02(水) 22:56:48.33猫
0730∴猫は多重精神病 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/03(木) 00:41:24.56大学院から追放された落ちこぼれの落伍者でしょうか？
学歴社会からのはみ出し者という印象をどうしても受けます。
猫
0731∴猫は多重精神病 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/03(木) 00:48:52.62猫
0732∴猫は多重精神病 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/03(木) 00:59:49.57難解な数学に挫折し、英語の論文は理解不能。
修士論文は書けず、博士論文は遥か夢の彼方。
学位を取れども研究職にはありつけず、
海外に出ようにも評価も無ければ英語も話せない。
崩れの院生はああ悲し・・・
猫
0733∴猫は多重精神病 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/03(木) 01:08:49.92猫
0734１３２人目の素数さん
2011/03/03(木) 01:09:04.48ねこに感謝するぞ
猫はどんどん書き込んでくまーの邪魔をしてくれよな
0735∴猫は多重精神病 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/03(木) 01:12:23.57猫
0736１３２人目の素数さん
2011/03/03(木) 01:14:57.12おれはおまえをあほくまの邪魔に利用している
まんまとはまってご苦労さんやのう
0737１３２人目の素数さん
2011/03/03(木) 01:17:37.710738１３２人目の素数さん
2011/03/03(木) 01:18:11.36/ ⌒ ⌒ ヽ
/ （ ●）（●） |
| （__人__） } うーっす
/､. ｀ ⌒´ ヽ
/ |
| | /
ヽ_| ┌──┐ |丿
| ├──┤ |
| ├──┤ |
0739∴猫は多重精神病 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/03(木) 01:22:46.73にて嵌って差し上げますので、ご利用の際にはまたお申し付け下さい。
格安にてお申し受け致します。
店主敬白
邪魔屋本舗 猫田彦市
0740１３２人目の素数さん
2011/03/03(木) 01:35:16.11おまえかてすべてのすれをつぶすのがもくてきやろが
えさもらってるんやから
おまえが払えよ
えさ代
0741∴猫は多重精神病 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/03(木) 01:37:31.40猫
0742Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/03(木) 04:51:24.22命題
A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
B を A の部分代数(>>605)とする。
a を A の任意の元とする。
このとき、B∪{a} で生成される部分代数(>>616)は
C = {(b∧a)∨(c∧a’)；b、c∈ B}
である。
証明
>>46より A をBoole環と見なす。
C = {ba + ca’；b、c ∈ B} である。
b ∈ B のとき b = b(a + a’) = ba + ba’∈ C
よって、B ⊂ C
a = 1a + 0a’∈ C
よって、C が A の部分代数(>>605)であることを示せばよい。
b、c, d , e ∈ B のとき
ba + ca’+ da + ea’= (b + d)a + (c + e)a’∈ C
(ba + ca’)(da + ea’) = bda + beaa’+ cdaa’+ cea’= bda + cea’∈ C
よって、>>595より C は A の部分環(>>592)である。
1 ∈ B ⊂ C であるから>>610より C は A の部分代数である。
証明終
0743１３２人目の素数さん
2011/03/03(木) 06:51:12.03しかも何年も…
かわいそｗ
0745Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/03(木) 07:36:14.31>>721の別証
命題
Φ を集合 X 上の被約(>>670)かつ完全(>>690)な集合代数(過去スレ007の196)とする。
このとき X に位相を定義して X はこの位相によりStone空間(>>248)となり
Φ は X の開かつ閉な部分集合全体となるように出来る。
証明
X に Φ を開集合の基底とするような位相を定義する。
即ち、Φ に属す集合の合併となるような X の部分集合全体を開集合とする。
このように定義出来ることは U、V ∈ Φ のとき U∩V ∈ Φ より明らかである。
U ∈ Φ のとき X - U ∈ Φ だから U は開かつ閉である。
Φ は被約だから X は完全分離(>>250)である。
よって、>>269より X はHausdorffかつ完全不連結(>>245)である。
X がコンパクトであることを証明しよう。
Γ を Φ の空でない部分集合で U、V ∈ Ψ のとき U∩V ≠ φ とする。
Γ で生成される Φ のフィルターを Γ_1 とする。
即ち、Γ_0 を Γ の元の空でない有限個の交わりとして表せる集合全体としたとき、
Γ_1 = {E ∈ Φ； A ⊂ E となる A ∈ Γ_0 がある} である。
Γ_1 は空集合を含まないから Γ_1 ≠ Φ である。
よって、Γ_1 を含む Φ の極大フィルター Ψ がある。
Φ は完全だから ∩Ψ ≠ φ である。
よって、∩Γ ≠ φ である。
(続く)
0746Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/03(木) 07:37:16.33一方、(U_i)、i ∈ I を Φ の元からなる X の任意の被覆とする。
各 i ∈ I に対して F_i = X - U_i とおく。
∩F_i = φ である。
上記から I の有限部分集合 J があり ∩{F_j；j ∈ J} = φ となる。
よって、X = ∪{U_j；j ∈ J} である。
よって、X はコンパクトである。
即ち、X はStone空間である。
U を X の任意の開かつ閉な部分集合とする。
U はコンパクトだから Φ の元の有限個の合併である。
よって、U ∈ Φ である。
よって、Φ は X の開かつ閉な部分集合全体と一致する。
証明終
0747Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/03(木) 08:04:05.04Φ を集合 X 上の完全(>>690)な集合代数(過去スレ007の196)とする。
このとき X に位相を定義して X はこの位相により準コンパクト(過去スレ006の104)となり
Φ は X の開かつ閉な部分集合全体となるように出来る。
証明
>>745の証明と同様である。
0748Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/03(木) 08:19:08.61Φ を集合 X 上の集合環(過去スレ007の189)で、X = ∪Φ とする。
Φ の任意の極大フィルター(>>96)が X のある点により決定される(>>686)とき
Φ は完全(perfect)であるという。
0749Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/03(木) 08:42:43.08Φ を集合 X 上の完全(>>748)な集合環(過去スレ007の189)とする。
このとき X に位相を定義して Φ は X の準コンパクトな開集合全体となるように出来る。
証明
X に Φ を開集合の基底とするような位相を定義する。
即ち、Φ に属す集合の合併となるような X の部分集合全体を開集合とする。
このように定義出来ることは U、V ∈ Φ のとき U∩V ∈ Φ より明らかである。
X の準コンパクトな開集合は有限個の Φ に属す集合の合併であるから Φ に属す。
各 U ∈ Φ が準コンパクトであることを示そう。
U ∈ Φ が準コンパクトでないとする。
(V_i)、i ∈ I を Φ の元からなる族とし、U = ∪{V_i；i ∈ I} とする。
各 i ∈ I に対して F_i = U - V_i とおく。
Γ = {F_i；i ∈ I} とおく。
Γ ⊂ Φ であり Γ の有限個の交わりは空でない。
よって、>>745の証明と同様にして Γ を含む Φ の極大フィルター Ψ が存在する。
Φ は完全だから ∩Ψ ≠ φ である。
よって、∩Γ ≠ φ である。
これは U = ∪{V_i；i ∈ I} に反する。
証明終
0750Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/03(木) 09:30:50.23Φ を集合 X 上の被約(>>670)かつ完全(>>748)な集合環(過去スレ007の189)とする。
このとき X に位相を定義して X はこの位相により一般Stone空間(>>440)となり
Φ は X のコンパクトな開集合全体となるように出来る。
証明
Φ は完全だから >>749より、X に位相を定義して Φ は X の準コンパクトな開集合全体と
なるように出来る。
Φ は被約だから任意の x、y ∈ X、x ≠ y に対して x ∈ U、y ∈ X - U となる U ∈ Φ がある。
Φ は完全だから X = ∪Φ である。
よって、y ∈ V となる V ∈ Φ がある。
y ∈ V - U で V - U ∈ Φ である。
よって、X はHausdorff空間である。
よって、Φ の各元は開かつ閉である。
よって、X は完全分離(>>250)である。
一方、X = ∪Φ より X の各点はコンパクトな近傍を持つ。
よって、X は局所コンパクトである。
よって、>>439より X は一般Stone空間である。
証明終
0752Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/03(木) 10:04:46.57X を一般Stone空間(>>440)とする。
X のコンパクトな開集合全体を Φ とする。
>>430より、Φ は X の集合環である。
このとき Φ は被約(>>670)かつ完全(>>748)である。
証明
>>676より Φ は被約(>>670)である。
X は局所コンパクトであるから X = ∪Φ である。
Ψ を Φ の極大フィルターとする。
Ψ の各元はコンパクトであるから ∩Ψ ≠ φ である。
Ψ は任意の x ∈ ∩Ψ により決定される(>>686)。
よって、Φ は完全である。
証明終
0753１３２人目の素数さん
2011/03/03(木) 12:11:55.81／／￣￣＼ ／￣￣＼＼
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／ ＼ ＼＿／／ :::::::::::::::::: ＼＼＿／／ ＼ 無職のクマはアホです
／ ..／￣￣＼ ／ ::｜:: ＼ ／￣￣＼.. ＼
/ ::::: | | | ::::: ヽ.
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ヽ |/ | ｜ /
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0754１３２人目の素数さん
2011/03/03(木) 12:13:44.13しかも何年も…
かわいそｗ
0755１３２人目の素数さん
2011/03/03(木) 13:06:19.680756Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/03(木) 13:13:41.48Φ を集合 X 上の被約(>>670)かつ完全(>>690)な集合代数(過去スレ007の196)とする。
Ψ を集合 Y 上の集合代数とする。
>>721より X はStone空間(>>248)となり
Φ は X の開かつ閉な部分集合全体となるように出来る。
同様に Y はStone空間となり Ψ は Y の開かつ閉な部分集合全体となる。
f：Φ → Ψ をBoole代数の準同型(>>30)とする。
任意の y ∈ Y に対して M(y) = {A ∈ Ψ； y ∈ Y - A} とおく。
>>677より M(y) は Ψ の極大イデアル(>>99)である。
このとき、f^(-1)(M(y)) は Φ の極大イデアル(>>99)である。
Φ は完全であるから f^(-1)(M(y)) は X の点 x で決定される。
Φ は被約であるから x は y により一意に決まる。
よって、y に x を対応させることにより写像 g：Y → X が得られる。
このとき、g は連続である。
さらに任意の A ∈ Φ に対して g^(-1)(A) = f(A) である。
証明
>>305より、P ∈ Spec(Ψ) に f^(-1)(P) ∈ Spec(Φ) を対応させることにより
写像 Spec(f)：Spec(Ψ) → Spec(Φ) が得られる。
>>240より Spec(f) は連続である。
>>721の証明より X と Y は位相空間としてそれぞれ Spec(Φ) と Spec(Ψ) に同一視できる。
このとき、Spec(f) は g と同一視される。
よって、g は連続である。
>>240より任意の A ∈ Φ に対して Spec(f)^(-1)(D(A)) = D(f(A)) である。
よって、g^(-1)(A) = f(A) である。
証明終
0757Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/03(木) 13:24:13.56Φ を集合 X 上の被約(>>670)かつ完全(>>690)な集合代数(過去スレ007の196)とする。
Ψ を集合 Y 上の集合代数とする。
>>721より X はStone空間(>>248)となり
Φ は X の開かつ閉な部分集合全体となるように出来る。
同様に Y はStone空間となり Ψ は Y の開かつ閉な部分集合全体となる。
このとき Φ と Ψ がBoole代数として同型なら X と Y は同相である。
証明
>>756より明らかである。
0758１３２人目の素数さん
2011/03/03(木) 13:28:32.21出てこい
0759１３２人目の素数さん
2011/03/03(木) 14:44:23.19エサ代はらわんかボケ
0760１３２人目の素数さん
2011/03/03(木) 14:45:17.20次は熊やな
0761猫は性犯罪者 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/03(木) 14:55:55.39猫
0762Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/03(木) 14:59:16.63> >>249より S(X) は包含関係に関してBoole代数である。
>>249より S(A＾) は包含関係に関してBoole代数である。
0763Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/03(木) 15:12:18.67X をStone空間(>>248)とする。
X の開かつ閉な部分集合全体を S(X) とする。
>>249より Φ は包含関係に関してBoole代数である。
U を X の開集合とする。
I = {V ∈ Φ； V ⊂ U} とおく。
このとき I は S(X) のイデアル(過去スレ021の527)である。
証明
φ ∈ I であるから I は空でないことに注意すればよい。
0764Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/03(木) 15:15:50.18X をStone空間(>>248)とする。
X の開かつ閉な部分集合全体を S(X) とする。
U を X の開集合とする。
I = {V ∈ Φ； V ⊂ U} とおく。
>>763より I は S(X) のイデアルである。
I を U の双対イデアル(dual ideal)または単に双対(dual)と言う。
0765Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/03(木) 15:18:24.36命題
X をStone空間(>>248)とする。
X の開かつ閉な部分集合全体を S(X) とする。
>>249より S(X) は包含関係に関してBoole代数である。
U を X の開集合とする。
I = {V ∈ S(X)； V ⊂ U} とおく。
このとき I は S(X) のイデアル(過去スレ021の527)である。
証明
φ ∈ I であるから I は空でないことに注意すればよい。
0766Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/03(木) 15:19:34.37定義
X をStone空間(>>248)とする。
X の開かつ閉な部分集合全体を S(X) とする。
U を X の開集合とする。
I = {V ∈ S(X)； V ⊂ U} とおく。
>>765より I は S(X) のイデアルである。
I を U の双対イデアル(dual ideal)または単に双対(dual)と言う。
0767Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/03(木) 15:21:52.31X をStone空間(>>248)とする。
X の開かつ閉な部分集合全体を S(X) とする。
>>249より S(X) は包含関係に関してBoole代数である。
I を S(X) のイデアル(過去スレ021の527)とする。
U = ∪{V；V ∈ I} は X の開集合である。
U を I の双対開集合(dual open set)または単に双対(dual)と言う。
0768１３２人目の素数さん
2011/03/03(木) 16:03:22.37／／￣￣＼ ／￣￣＼＼
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0769１３２人目の素数さん
2011/03/03(木) 16:10:32.78つまらんよ
0770１３２人目の素数さん
2011/03/03(木) 16:37:18.200771Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/03(木) 16:55:36.39X をStone空間(>>248)とする。
X の開かつ閉な部分集合全体を S(X) とする。
>>249より Φ は包含関係に関してBoole代数である。
X の開集合全体を Open(X) とする。
Open(X) は包含関係に関して束である。
S(X) のイデアル全体を Id(S(X)) とする。
Id(S(X)) は包含関係に関して束である。
U ∈ Open(X) にその双対イデアル(>>766)を対応させることにより
写像 α：Open(X) → Id(S(X)) が得られる。
I ∈ Id(S(X)) にその双対開集合(>>767)を対応させることにより
写像 β：Id(S(X)) → Open(X) が得られる。
このとき α は順序同型であり β はその逆写像である。
証明
U ∈ Open(X) に対してその双対イデアルを I とする。
>>281より X は連接空間(>>267)であるから S(X) は X の開集合の基底である。
よって、U = ∪{V；V ∈ I} である。
よって、β(α(U)) = U である。
I ∈ Id(S(X)) に対してその双対開集合を U とする。
U の双対イデアルを J とする。
明らかに I ⊂ J である。
任意の V ∈ J に対して V ⊂ U である。
U は I に属す開かつ閉集合の合併であるから V は I に属す開かつ閉集合で被覆される。
V はコンパクトであるから V は I に属す有限個の開かつ閉集合で被覆される。
I はイデアルであるから V ∈ I である。
よって、J ⊂ I
即ち I = J である。
よって、α(β(I)) = I である。
(続く)
0772Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/03(木) 16:56:22.78以上から α は全単射であり β はその逆写像である。
α と β が順序を保存することは明らかである。
証明終
0773Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/03(木) 17:24:11.35X をStone空間(>>248)とする。
X の開かつ閉な部分集合全体を S(X) とする。
>>249より S(X) は包含関係に関してBoole代数である。
F を X の閉集合とする。
Φ = {E ∈ S(X)； F ⊂ E} とおく。
このとき Φ は S(X) のフィルター(過去スレ021の527)である。
証明
X ∈ Φ であるから Φ は空でないことに注意すればよい。
0774Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/03(木) 17:26:16.60X をStone空間(>>248)とする。
X の開かつ閉な部分集合全体を S(X) とする。
>>249より S(X) は包含関係に関してBoole代数である。
F を X の閉集合とする。
Φ = {E ∈ S(X)； F ⊂ E} とおく。
>>773より Φ は S(X) のフィルターである。
Φ を F の双対フィルター(dual filter)または単に双対(dual)と言う。
0776Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/03(木) 17:47:30.18X をStone空間(>>248)とする。
X の開かつ閉な部分集合全体を S(X) とする。
>>249より S(X) は包含関係に関してBoole代数である。
Φ を S(X) のフィルター(過去スレ021の527)とする。
F = ∩{V；V ∈ Φ} は X の閉集合である。
F を Φ の双対閉集合(dual closed set)または単に双対(dual)と言う。
0777Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/03(木) 17:58:22.61X をStone空間(>>248)とする。
X の開かつ閉な部分集合全体を S(X) とする。
>>249より Φ は包含関係に関してBoole代数である。
X の閉集合全体を Cls(X) とする。
Cls(X) は包含関係に関して束である。
S(X) のフィルター全体を Fil(S(X)) とする。
Fil(S(X)) は包含関係に関して束である。
F ∈ Cls(X) にその双対フィルター(>>774)を対応させることにより
写像 γ：Cls(X) → Fil(S(X)) が得られる。
Φ ∈ Fil(S(X)) にその双対閉集合(>>776)を対応させることにより
写像 δ：Fil(S(X)) → Cls(X) が得られる。
このとき γ は逆順序同型であり δ はその逆写像である。
証明
Φ ∈ Fil(S(X)) に対して M = {X - V；V ∈ Φ} は S(X) のイデアルである。
よって、本命題は>>771から得られる。
0778Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/03(木) 18:31:13.29A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
A の指標空間(>>304)を X とする。
a ∈ A に対して a＾ = {χ ∈ X；χ(a) = 1} とおく。
I を A のイデアル(過去スレ021の527)とする。
U(I) = ∪{a＾； a ∈ I } とおく。
0779Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/03(木) 20:02:49.23A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
A の指標空間(>>304)を X とする。
>>289と>>301より X はStone空間(>>248)である。
X の開かつ閉な部分集合全体を S(X) とする。
A のイデアル全体を Id(A) とする。
Id(A) は包含関係に関して束である。
X の開集合全体を Open(X) とする。
Open(X) は包含関係に関して束である。
I ∈ Id(A) のとき U(I) (>>778) は X の開集合であり、
I に U(I) を対応させる写像 λ：Id(A) → Open(X) は順序同型である。
証明
S(X) のイデアル全体を Id(S(X)) とする。
>>778の記法で I ∈ Id(A) のとき I＾= {a＾； a ∈ I } とおく。
Stoneの表現定理(>>313)より I＾は S(X) のイデアルであり、
I に I＾を対応させる写像 μ：Id(A) → Id(S(X)) は順序同型である。
U(I) は I＾の双対開集合(>>767)である。
よって、>>771から本命題が従う。
証明終
0780１３２人目の素数さん
2011/03/03(木) 20:43:26.42閉鎖したほうがええんとちゃう？
0781猫は性犯罪者 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/03(木) 21:00:55.01おまえナ、そんなアホな事を言うたらアカンがな。もしこのスレが閉鎖
やっちゅうんやったら他のスレは全部がとっくの昔に閉鎖やがな。
猫
0782１３２人目の素数さん
2011/03/03(木) 21:01:05.65.__
,.._,/ /〉＿＿＿
./// //──∧_ﾟ∧ ─::ｧ /|
/// //~~'~（´・ω・｀）~~/ / .|
.///_// "'''"'''"'" / / |
//_《_》′─────‐ ' / ./
|￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣| /
| .| ./
|＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿|/
ﾀﾞﾗﾗﾗﾗﾗ __
,.＿_＝≡/ /ｶﾞｯ ＿＿＿__
.// ＝≡/ /∧__∧:─::ｧ /|
// ＝≡/ / i#)｀Д´）~/ / .|
.// ＝≡/_/ /"'"'"'"" / / |
// ＝≡〈,'/〉ﾞ:───‐' / ./
|￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣| /
| | ./
|＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿|/
【ダラララ】
こまめに洗浄してもらえず、カビの生えた「ダラララ」の怨念が実体となった妖怪。
入浴中の住人を襲い、せめてもの憂さ晴らしをするという。複数形、ダララララ。
0783１３２人目の素数さん
2011/03/03(木) 22:11:42.44頭がいいなら、ずばっと本質を書くもんじゃね？
0784１３２人目の素数さん
2011/03/03(木) 22:19:22.500785１３２人目の素数さん
2011/03/03(木) 23:48:42.87閉鎖や閉鎖！エエな。
0786１３２人目の素数さん
2011/03/03(木) 23:59:48.970787Nanasi, N.S. ◆NMwJFki61g
2011/03/04(金) 00:02:30.86Kummerさんたぶん過去ログコンプリート出来ました，
http://www43.atwiki.jp/kummer/pub/logtxt.zip
今面白く読ませていただいてます，上に書いて頂いて
あった参考文献も大変参考になります．
あと，今のままでも十分ですが，話題が変わるとき，
何をおやりになって何がわかって何が問題だったか
みたいなまとめもして頂けたら個人的に大変嬉しいです．
ではまた機会がありましたら… http://www43.atwiki.jp/kummer/
0788１３２人目の素数さん
2011/03/04(金) 00:56:49.55おまえのほうが芸がないぞくまー
0789１３２人目の素数さん
2011/03/04(金) 00:59:07.70痴漢のつぎは無銭飲食か
0790１３２人目の素数さん
2011/03/04(金) 01:11:05.51ログいただきました
0791１３２人目の素数さん
2011/03/04(金) 02:01:13.61嫉妬はみぐるしいな
0792１３２人目の素数さん
2011/03/04(金) 02:02:28.40まあこうやって泥仕合をスレばスル程にこの場が焼け野が原になって、
そして現実問題としてのこの場の意味がドンドンと失われて行くのや。
だからお互いに吸着し合うというのは崩壊へと至る過程ですね。
よしよし。
猫
0793猫は性犯罪者 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/04(金) 03:01:23.35猫
0794１３２人目の素数さん
2011/03/04(金) 03:04:12.790795Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/04(金) 07:04:06.31命題(Stoneの表現定理)
A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
A の指標空間(>>304)を A＾とする。
A＾はStone空間(>>248)である。
A＾の開かつ閉な部分集合全体を S(A＾) とする。
>>249より S(A＾) は包含関係に関してBoole代数である。
任意の a ∈ A に対して a＾ = {χ ∈ A＾；χ(a) = 1} とおく。
このとき、a＾ ∈ S(A＾) であり、
写像 ρ：A → S(A＾) を ρ(a) = a＾ で定義すると、
ρ はBoole代数の同型である。
証明
>>289と>>301より明らかである。
0796Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/04(金) 07:12:46.56X を一般Stone空間(>>440)とする。
X のコンパクトな開集合全体を S(X) とおく。
>>430より、S(X) は X の集合環(過去スレ007の189)である。
従って S(X) は包含関係に関して一般Boole代数(過去スレ021の373)である。
U を X の開集合とする。
I = {V ∈ S(X)； V ⊂ U} とおく。
このとき I は S(X) のイデアル(過去スレ021の527)である。
証明
φ ∈ I であるから I は空でないことに注意すればよい。
0797Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/04(金) 07:14:45.09X を一般Stone空間(>>440)とする。
X のコンパクトな開集合全体を S(X) とおく。
U を X の開集合とする。
I = {V ∈ S(X)； V ⊂ U} とおく。
>>796より I は S(X) のイデアルである。
I を U の双対イデアル(dual ideal)または単に双対(dual)と言う。
0798Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/04(金) 07:16:27.88X を一般Stone空間(>>440)とする。
X のコンパクトな開集合全体を S(X) とおく。
>>430より、S(X) は X の集合環(過去スレ007の189)である。
従って S(X) は包含関係に関して一般Boole代数(過去スレ021の373)である。
I を S(X) のイデアル(過去スレ021の527)とする。
U = ∪{V；V ∈ I} は X の開集合である。
U を I の双対開集合(dual open set)または単に双対(dual)と言う。
0799Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/04(金) 07:24:34.52X を一般Stone空間(>>440)とする。
X のコンパクトな開集合全体を S(X) とおく。
>>430より、S(X) は X の集合環(過去スレ007の189)である。
従って S(X) は包含関係に関して一般Boole代数(過去スレ021の373)である。
X の開集合全体を Open(X) とする。
Open(X) は包含関係に関して束である。
S(X) のイデアル全体を Id(S(X)) とする。
Id(S(X)) は包含関係に関して束である。
U ∈ Open(X) にその双対イデアル(>>797)を対応させることにより
写像 α：Open(X) → Id(S(X)) が得られる。
I ∈ Id(S(X)) にその双対開集合(>>798)を対応させることにより
写像 β：Id(S(X)) → Open(X) が得られる。
このとき α は順序同型であり β はその逆写像である。
証明
U ∈ Open(X) に対してその双対イデアルを I とする。
>>507より X は準連接空間(>>499)であるから S(X) は X の開集合の基底である。
よって、U = ∪{V；V ∈ I} である。
よって、β(α(U)) = U である。
I ∈ Id(S(X)) に対してその双対開集合を U とする。
U の双対イデアルを J とする。
明らかに I ⊂ J である。
任意の V ∈ J に対して V ⊂ U である。
U は I に属すコンパクト開集合の合併であるから V は I に属すコンパクト開集合で被覆される。
V はコンパクトであるから V は I に属す有限個のコンパクト開集合で被覆される。
I はイデアルであるから V ∈ I である。
よって、J ⊂ I、即ち I = J である。
よって、α(β(I)) = I である。
(続く)
0800Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/04(金) 07:25:26.24以上から α は全単射であり β はその逆写像である。
α と β が順序を保存することは明らかである。
証明終
0801Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/04(金) 07:30:10.84X を一般Stone空間(>>440)とする。
X のコンパクトな開集合全体を S(X) とおく。
>>430より、S(X) は X の集合環(過去スレ007の189)である。
従って S(X) は包含関係に関して一般Boole代数(過去スレ021の373)である。
F を X の閉集合とする。
Φ = {E ∈ S(X)； F ⊂ E} とおく。
このとき Φ は S(X) のフィルター(過去スレ021の527)である。
証明
X ∈ Φ であるから Φ は空でないことに注意すればよい。
0802Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/04(金) 08:26:25.70X を一般Stone空間(>>440)とする。
X のコンパクトな開集合全体を S(X) とおく。
>>430より、S(X) は X の集合環(過去スレ007の189)である。
従って S(X) は包含関係に関して一般Boole代数(過去スレ021の373)である。
Φ を S(X) のフィルター(過去スレ021の527)とする。
F = ∩{V；V ∈ Φ} は X の閉集合である。
F を Φ の双対閉集合(dual closed set)または単に双対(dual)と言う。
0803１３２人目の素数さん
2011/03/04(金) 08:41:03.43おはよう 猫
猫はもう来るなよw
0804１３２人目の素数さん
2011/03/04(金) 08:43:11.090806１３２人目の素数さん
2011/03/04(金) 09:59:03.59朝から屑なカキコしてるｗｗｗ
0807１３２人目の素数さん
2011/03/04(金) 10:44:13.830808１３２人目の素数さん
2011/03/04(金) 10:50:26.900809１３２人目の素数さん
2011/03/04(金) 10:52:51.850810１３２人目の素数さん
2011/03/04(金) 11:46:09.24痴漢するくらいだからな
0811Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/04(金) 13:33:13.75X を一般Stone空間(>>440)とする。
X のコンパクトな開集合全体を S(X) とおく。
>>430より、S(X) は X の集合環(過去スレ007の189)である。
従って S(X) は包含関係に関して一般Boole代数(過去スレ021の373)である。
F を X の閉集合とする。
Φ = {E ∈ S(X)； F ⊂ E} とおく。
>>801より Φ は S(X) のフィルターである。
Φ を F の双対フィルター(dual filter)または単に双対(dual)と言う。
0812Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/04(金) 13:53:26.12命題
X を一般Stone空間(>>440)とする。
X のコンパクトな開集合全体を S(X) とおく。
>>430より、S(X) は X の集合環(過去スレ007の189)である。
従って S(X) は包含関係に関して一般Boole代数(過去スレ021の373)である。
K を X のコンパクト集合とする。
Φ = {U ∈ S(X)； K ⊂ U} とおく。
このとき Φ は S(X) のフィルター(過去スレ021の527)である。
証明
Φ が空でないことを示せばよい。
>>507より X は準連接空間(>>499)であるから S(X) は X の開集合の基底である。
X は局所コンパクトであるから K の各点はコンパクト開近傍を持つ。
K はコンパクトであるから K は有限個のコンパクト開集合の合併に含まれる。
よって、K ⊂ U となる U ∈ S(X) がる。
よって、Φ は空でない。
証明終
0813Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/04(金) 13:56:02.89定義
X を一般Stone空間(>>440)とする。
X のコンパクトな開集合全体を S(X) とおく。
>>430より、S(X) は X の集合環(過去スレ007の189)である。
従って S(X) は包含関係に関して一般Boole代数(過去スレ021の373)である。
Φ を S(X) のフィルター(過去スレ021の527)とする。
F = ∩{V；V ∈ Φ} は X のコンパクト集合である。
F を Φ の双対コンパクト集合(dual compact subset)または単に双対(dual)と言う。
0814Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/04(金) 14:04:33.46定義
X を一般Stone空間(>>440)とする。
X のコンパクトな開集合全体を S(X) とおく。
>>430より、S(X) は X の集合環(過去スレ007の189)である。
従って S(X) は包含関係に関して一般Boole代数(過去スレ021の373)である。
K を X のコンパクト集合とする。
Φ = {U ∈ S(X)； K ⊂ U} とおく。
>>812より Φ は S(X) のフィルターである。
Φ を K の双対フィルター(dual filter)または単に双対(dual)と言う。
0815Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/04(金) 14:28:23.08X を一般Stone空間(>>440)とする。
K を X のコンパクト部分集合
x ∈ X - K のとき K ⊂ U となるコンパクト開集合 U があり、
x ∈ X - U となる。
証明
>>507より X は準連接空間(>>499)であるから X のコンパクト開集合全体は
X の開集合の基底である。
X はHausdroff空間であるから K の各点 y に対して y のコンパクト開近傍 U_y で
x ∈ X - U_y となるものがある。
K はコンパクトであるから K の有限個の点 y_1、．．．、y_n があり、
K ⊂ U_(y_1)∪．．．∪U_(y_n) となる。
U = U_(y_1)∪．．．∪U_(y_n) が求めるものである。
証明終
0816Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/04(金) 14:41:11.45X を一般Stone空間(>>440)とする。
X のコンパクトな開集合全体を S(X) とおく。
>>430より、S(X) は X の集合環(過去スレ007の189)である。
従って S(X) は包含関係に関して一般Boole代数(過去スレ021の373)である。
X のコンパクト集合全体を Comp(X) とする。
Comp(X) は包含関係に関して束である。
S(X) のフィルター全体を Fil(S(X)) とする。
Fil(S(X)) は包含関係に関して束である。
K ∈ Comp(X) にその双対フィルター(>>814)を対応させることにより
写像 γ：Comp(X) → Fil(S(X)) が得られる。
Φ ∈ Fil(S(X)) にその双対コンパクト集合(>>813)を対応させることにより
写像 δ：Fil(S(X)) → Comp(X) が得られる。
このとき γ は逆順序同型であり δ はその逆写像である。
証明
K ∈ Comp(X) に対してその双対フィルターを Φ とする。
>>815より、K = ∩Φ である。
よって、δ(γ(K)) = K である。
Φ ∈ Fil(S(X)) に対してその双対コンパクト集合を K とする。
K ⊂ U、U ∈ S(X) のとき、>>276より V ⊂ U となる V ∈ Φ がある。
よって、U ∈ Φ である。
よって、γ(δ(Φ)) = Φ である。
以上から γ は全単射であり δ はその逆写像である。
γ と δ が順序を逆に保存することは明らかである。
証明終
0817Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/04(金) 15:53:17.40A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
A の指標空間(>>448)を X とする。
a ∈ A に対して a＾ = {χ ∈ X；χ(a) = 1} とおく。
I を A のイデアル(過去スレ021の527)とする。
U(I) = ∪{a＾； a ∈ I } とおく。
0818Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/04(金) 16:00:27.88命題(Stoneの表現定理)
A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
A の指標空間(>>448)を A＾とする。
>>460より、A＾は一般Stone空間(>>440)である。
A＾のコンパクト開集合全体を S(A＾) とする。
>>430より、S(A＾) は A＾ の集合環である。
従って S(A＾) は包含関係に関して一般Boole代数である。
任意の a ∈ A に対して a＾ = {f ∈ A＾；f(a) = 1} とおく。
このとき、a＾∈ S(A＾) であり、
写像 ρ：A → S(A＾) を ρ(a) = a＾ で定義すると、
ρ は一般Boole代数の同型である。
証明
>>461と>>450より明らかである。
0819Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/04(金) 16:03:19.17A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
A の指標空間(>>448)を X とする。
>>460より、X は一般Stone空間(>>440)である。
X のコンパクト開集合全体を S(X) とおく。
A のイデアル全体を Id(A) とする。
Id(A) は包含関係に関して束である。
X の開集合全体を Open(X) とする。
Open(X) は包含関係に関して束である。
I ∈ Id(A) のとき U(I) (>>817) は X の開集合であり、
I に U(I) を対応させる写像 λ：Id(A) → Open(X) は順序同型である。
証明
S(X) のイデアル全体を Id(S(X)) とする。
>>817の記法で I ∈ Id(A) のとき I＾= {a＾； a ∈ I } とおく。
Stoneの表現定理(>>818)より I＾は S(X) のイデアルであり、
I に I＾を対応させる写像 μ：Id(A) → Id(S(X)) は順序同型である。
U(I) は I＾の双対開集合(>>798)である。
よって、>>799から本命題が従う。
証明終
0820１３２人目の素数さん
2011/03/04(金) 16:08:52.660821１３２人目の素数さん
2011/03/04(金) 16:11:35.94おまえはこのスレに来るな
これはみんなの総意だ
わかったな
これは命令だ
0822１３２人目の素数さん
2011/03/04(金) 16:12:46.30／／￣￣＼ ／￣￣＼＼
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0823１３２人目の素数さん
2011/03/04(金) 16:13:43.32猫と同じや
0824１３２人目の素数さん
2011/03/04(金) 16:14:33.51熊とおなじや
0825Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/04(金) 16:56:19.19X を完全分離(>>250)な位相空間とする。
X の任意の部分空間 Y は完全分離である。
証明
X は完全分離であるから、
任意の x、y ∈ Y、x ≠ y に対して x ∈ U、y ∈ X - U となる X の開かつ閉な部分集合 U がある。
V = U ∩ Y は Y の開かつ閉な部分集合であり、x ∈ V、y ∈ Y - V
よって、Y は完全分離である。
証明終
0826Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/04(金) 17:03:55.05X を一般Stone空間(>>440)とする。
Y を X の部分空間とする。
Y が一般Stone空間であるためには Y が X の局所閉集合(過去スレ008の182)であることが
必要十分である。
証明
必要性：
Y が一般Stone空間なら Y は局所コンパクトである。
過去スレ008の185よりHausdorff空間の局所コンパクト部分空間は局所閉集合である。
X はHausdorff空間であるから Y は X の局所閉集合である。
十分性：
Y が X の局所閉集合であるとする。
過去スレ008の186より Y は局所コンパクトである。
>>507より X は完全分離(>>250)であるから、>>825より Y は完全分離である。
よって、>>507より Y は一般Stone空間である。
証明終
0827Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/04(金) 17:10:20.00X をStone空間(>>248)とする。
Y を X の部分空間とする。
Y がStone空間であるためには Y が X の閉集合であることが必要十分である。
証明
必要性：
Y がStone空間なら Y はコンパクトである。
X はHausdorff空間であるから Y は X の閉集合である。
十分性：
Y が X の閉集合であるとする。
X はコンパクトであるから Y はコンパクトである。
>>281より X は完全分離(>>250)であるから、>>825より Y は完全分離である。
よって、>>281より Y はStone空間である。
証明終
0829１３２人目の素数さん
2011/03/04(金) 18:06:02.20元院生に謝罪せよ
0830１３２人目の素数さん
2011/03/04(金) 18:07:58.55シミュレーションとやらだとねえ
あんなもんなら年間２０本くらい書けるんじゃないの？
0831猫は性犯罪者 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/04(金) 18:53:16.83もし私に謝罪を求めるのであれば：
１．貴方の名前。
２．謝罪をしなければならない理由。
をこの場で明確に申し述べて下さい。貴方の書き込みがあれば、こちら
で謝罪をスルべきかどうかを検討します。或いはソレが不可能である場
合は直接に裁判所に申し出て下さい。
猫
0832Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/04(金) 18:54:36.22X を一般Stone空間(>>440)とする。
X のコンパクト開集合全体を S(X) とおく。
Y を X の局所閉集合(過去スレ008の182)とする。
>>826より Y は X の部分空間として一般Stone空間である。
Y のコンパクト開集合全体を S(Y) とおく。
このとき、任意の W ∈ S(Y) に対して V ∈ S(X) があり、
W = Y ∩ V となる。
証明
W は Y の開集合であるから X の開集合 U があり W = Y ∩ U となる。
>>507より X は準連接空間(>>499)であるから S(X) は X の開集合の基底である。
よって、U は X のコンパクト開集合の合併となる。
W ⊂ U であり、W はコンパクトであるから W ⊂ V ⊂ U となる V ∈ S(X) がある。
W ⊂ Y ∩ V ⊂ Y ∩ U = W だから W = Y ∩ V である。
証明終
0833Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/04(金) 19:10:59.25A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
I を A のイデアルとする。
>>44より A は一般Boole環(過去スレ021の336)と見なせる。
>>107より I は A の環としてのイデアルである。
このとき、>>11より A/I は一般Boole環である。
よって、>>44より A/I は一般Boole代数と見なせる。
このとき、A/I を A の I による剰余代数と言う。
0834１３２人目の素数さん
2011/03/04(金) 19:35:14.41元院生に謝罪せよ
0835１３２人目の素数さん
2011/03/04(金) 19:38:46.31142 名前：N.S. Nanasi ◆NMwJFki61g ：2011/03/04(金) 19:08:35.53
ぼくむずかしいことよくわかんないんだけど
なまえいっしょだしおなじひとなんじゃねーの？ｗ
そのうち本家Kummerさんも一緒にまとめちゃったりして
0837Nanasi, N.S. ◆NMwJFki61g
2011/03/04(金) 20:00:25.70Kummerさんもしよかったら，次のテンプレとかに
「違うKummerさんをお探しの人はこちら→ http://en.wikipedia.org/wiki/Kummer」とか
「Ernst Eduard Kummerさんについては次が詳しいです→ http://en.wikipedia.org/wiki/Ernst_Kummer」
とか入れちゃったりして頂けたら，より親切かとも思いました．
では機会がありましたらまた…
0838Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/04(金) 21:29:40.98f：A → B を一般Boole代数(過去スレ021の373)の準同型(>>29)とする。
このとき f(A) は B の部分環(>>592)である。
証明
>>44より f は一般Boole環としての準同型である。
よって、>>595より本命題が従う。
証明終
0839１３２人目の素数さん
2011/03/04(金) 21:40:15.91これは命令だ
0840Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/04(金) 21:45:24.58f：A → B を一般Boole代数(過去スレ021の373)の準同型(>>29)とする。
このとき、f^(-1)(0) = {a ∈ A； f(a) = 0} は A のイデアル(過去スレ021の527)である。
証明
>>44より f は一般Boole環としての準同型である。
よって、f^(-1)(0) は一般Boole環としての A のイデアルである。
よって、>>107より f^(-1)(0) は順序集合としての A のイデアル(過去スレ021の527)である。
証明終
0841１３２人目の素数さん
2011/03/04(金) 21:46:24.72これは命令だ
0843１３２人目の素数さん
2011/03/04(金) 21:51:02.710844１３２人目の素数さん
2011/03/04(金) 21:54:16.11超低脳が一人現れて、実際に作ってしまったからワロタw
バカをからかうと面白いねw
0845Nanasi, N.S. ◆NMwJFki61g
2011/03/04(金) 21:57:22.820847Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/04(金) 22:04:10.94A と B を有界な上半束(過去スレ021の115)とする。
f：A → B を準同型(過去スレ021の145)とする。
このとき、f^(-1)(0) = {a ∈ A； f(a) = 0} は A のイデアル(過去スレ021の527)である。
証明
f(0) = 0 であるから 0 ∈ f^(-1)(0)
a、b ∈ f^(-1)(0) のとき f(a∨b) = f(a)∨f(b) = 0∨0 = 0
よって、a∨b ∈ f^(-1)(0)
過去スレ021の147より f は順序を保存する。
よって、a ∈ f^(-1)(0)、b ≦ a のとき f(b) ≦ f(a) = 0
よって、f(b) = 0
よって、b ∈ f^(-1)(0)
以上から f^(-1)(0) は A のイデアルである。
証明終
0848猫は性犯罪者 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/04(金) 22:07:31.68では是非ともそうして下さい。但し騒ぎが大きくなって困るのは私では
なくて「誰か別の人（達）」だと思いますが。ソレが貴方かどうかは別
として。
猫
0850Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/04(金) 22:11:14.56A と B を有界な上半束(過去スレ021の115)とする。
f：A → B を準同型(過去スレ021の145)とする。
>>847より f^(-1)(0) は A のイデアルである。
f^(-1)(0) を f の核と呼び Ker(f) と書く。
0851１３２人目の素数さん
2011/03/04(金) 22:19:10.97おまえがふざけた HN つけるから
馬鹿が Kummer 先生を冒涜するようなことをしとるやないか
反省しろボケ
0852１３２人目の素数さん
2011/03/04(金) 22:55:00.050853１３２人目の素数さん
2011/03/04(金) 23:16:07.43これだけでも規制となるはずだ
0854１３２人目の素数さん
2011/03/04(金) 23:35:10.240855１３２人目の素数さん
2011/03/05(土) 00:58:21.910856猫は性犯罪者 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/05(土) 03:09:35.60猫
0857１３２人目の素数さん
2011/03/05(土) 03:30:41.700859１３２人目の素数さん
2011/03/05(土) 03:46:46.67ぬすっと猛々しいな
ちゃんとせつめいしろやボケ
0860１３２人目の素数さん
2011/03/05(土) 03:47:37.260861１３２人目の素数さん
2011/03/05(土) 08:05:02.00くそのような無意味をたれながしているんだよ
それをありがたがっている ns nanasi｜アホボケかす とかいう HN
は要するに人のいやがることに快感をえている変態なんだよ
その証拠に誰もきいてもいない「寂しい」だの「愛」だのもちだしているだろう
猫と同じく友達がいないから相手になってもらいたいだけなんだ
というより くまー の自作自演の可能性の方がたかいけどな
0862１３２人目の素数さん
2011/03/05(土) 08:08:47.62おまえが猫を名乗るのは、猫に対する冒涜だ
すっこんどれ
0863１３２人目の素数さん
2011/03/05(土) 09:21:07.240864１３２人目の素数さん
2011/03/05(土) 11:31:22.890865Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/05(土) 11:33:36.09f：A → B を一般Boole代数(過去スレ021の373)の準同型(>>29)とする。
A における同値関係 R を
aRb ⇔ f(a) = f(b)
で定義する。
この同値関係による商集合を A/R とし π：A → A/R を標準写像とする。
A/R の各元 π(a) に f(a) を対応させることにより写像 f~：A/R → f(A) が得られる。
f~ は明らかに全単射である。
一方、Ker(f) (>>850)は A のイデアルであり、剰余代数 A/Ker(f) (>>833)が定義される。
このとき A/R = A/Ker(f) であり、f~：A/Ker(f) → f(A) は一般Boole代数の同型である。
証明
>>44より f は一般Boole環(過去スレ021の336)における準同型と見なせる。
よって、本命題は環論における準同型定理に帰着する。
証明終
0866Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/05(土) 11:44:29.19f：A → B をBoole代数(過去スレ021の336)の準同型(>>30)とする。
このとき f(A) は B の部分代数(>>605)である。
証明
>>46より f はBoole環としての準同型である。
よって、>>610の(3)より本命題が従う。
証明終
0868１３２人目の素数さん
2011/03/05(土) 11:51:57.020869Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/05(土) 11:57:57.35A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
I を A のイデアル(過去スレ021の527)とする。
このとき、剰余代数 A/I (>>833)はBoole代数である。
証明
A/I は環として単位元をもつからBoole代数である。
証明終
0870１３２人目の素数さん
2011/03/05(土) 12:02:22.530872Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/05(土) 12:05:50.13f：A → B をBoole代数(過去スレ021の336)の準同型(>>30)とする。
>>866より、f(A) は B の部分代数(>>605)である。
A における同値関係 R を
aRb ⇔ f(a) = f(b)
で定義する。
この同値関係による商集合を A/R とし π：A → A/R を標準写像とする。
A/R の各元 π(a) に f(a) を対応させることにより写像 f~：A/R → f(A) が得られる。
f~ は明らかに全単射である。
一方、Ker(f) (>>850)は A のイデアルであり、剰余代数 A/Ker(f) (>>833)が定義される。
>>869より A/Ker(f) はBoole代数である。
このとき A/R = A/Ker(f) であり、f~：A/Ker(f) → f(A) はBoole代数の同型である。
証明
>>865より明らかである。
0873１３２人目の素数さん
2011/03/05(土) 12:07:54.46はらわん理由せつめいせんかい
0875１３２人目の素数さん
2011/03/05(土) 12:12:15.320876猫は性犯罪者 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/05(土) 12:25:47.62猫
0877１３２人目の素数さん
2011/03/05(土) 12:45:43.920878１３２人目の素数さん
2011/03/05(土) 12:48:43.20でてきたら 潰す って何を潰すのかしらんけどな
0879猫は性犯罪者 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/05(土) 12:50:00.56猫
0880Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/05(土) 13:04:07.54(X, Φ, μ) を 測度空間(過去スレ007の317)とする。
Φ は X 上の集合環であるから包含関係に関して一般Boole代数(過去スレ021の373)である。
I = {A ∈ Φ；μ(A) = 0} とおく。
I は明らかに Φ のイデアル(過去スレ021の527)である。
A、B ∈ Φ、A△B ∈ I となるとき A と B はμに関してほとんど等しいと言い、
A ～ B (μ) または誤解の恐れのない場合 A ～ B と書く(過去スレ007の331参照)。
ここで、A△B は対称差(過去スレ007の191)である。
～ は同値関係であり、商集合 Φ/～ は剰余代数 Φ/I (>>833)と集合として同じである。
0881１３２人目の素数さん
2011/03/05(土) 13:53:29.58いである食べるか？
0882１３２人目の素数さん
2011/03/05(土) 15:58:42.560883１３２人目の素数さん
2011/03/05(土) 15:59:43.790884１３２人目の素数さん
2011/03/05(土) 16:02:20.080885猫は性犯罪者 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/05(土) 17:02:21.96猫
0886１３２人目の素数さん
2011/03/05(土) 21:17:17.970888１３２人目の素数さん
2011/03/05(土) 22:10:13.890889１３２人目の素数さん
2011/03/05(土) 22:18:23.800890猫はうんこ ◆MuKUnGPXAY
2011/03/05(土) 23:20:47.32出て来いと言われようと、或いは出て来るな言われようと、ソレは全く
の無関係ですね。私は自分の考えで行動をしてますから、従って貴方達
の意見には全く左右されません。
つまり私がココから出て行くという考えは皆無ですね。なので諦めて下
さいませ。
猫
0892１３２人目の素数さん
2011/03/05(土) 23:41:08.55それからだ
0893猫はうんこ ◆MuKUnGPXAY
2011/03/05(土) 23:55:35.61『謝罪を求めたのは貴殿が先』ですから、従って貴殿から先に名前と住
所を晒すべきですね。この点に関しては私は徹底抗戦の準備が出来てい
ますから、なので私の方から引く事は出来ませんね。
猫
0894１３２人目の素数さん
2011/03/05(土) 23:56:14.000895１３２人目の素数さん
2011/03/06(日) 00:14:41.980896猫はうんこ ◆MuKUnGPXAY
2011/03/06(日) 00:36:46.80だからその為には『条件を満たさなければならない』という返答を私が
返しました。ソレが『名前と住所の開示要求』ですね。
猫
0897１３２人目の素数さん
2011/03/06(日) 01:43:10.82熊は病院で
猫は豚箱で
すごしましたとさ
めでたしめでたし
0898猫はうんこ ◆MuKUnGPXAY
2011/03/06(日) 02:55:10.80猫
0899Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/06(日) 02:57:02.51X を一般Stone空間(>>440)とする。
X のコンパクト開集合全体を S(X) とおく。
>>430より、S(X) は X の集合環である。
従って S(X) は包含関係に関して一般Boole代数である。
Y を X の閉集合とする。
>>826より Y は X の部分空間として一般Stone空間である。
Y のコンパクト開集合全体を S(Y) とおく。
S(Y) は包含関係に関して一般Boole代数である。
U ∈ S(X) に Y ∩ U を対応させることにより写像 λ：S(X) → S(Y) が得られる。
λ は全射であり一般Boole代数としての準同型である。
Ker(λ) は X の開集合 X - Y の双対イデアル(>>797)であり、
剰余代数 S(X)/Ker(λ) (>>833)は S(Y) と同型である。
証明
U ∈ S(X) に対して U はコンパクトであるから X の閉集合である。
よって、Y ∩ U は閉集合、従ってコンパクトである。
Y ∩ U は Y の開集合であるから Y ∩ U ∈ S(Y) である。
よって、写像 λ：S(X) → S(Y) が得られる。
>>832より λ は全射である。
λ が一般Boole代数としての準同型であることは明らかである。
Ker(λ) = {U ∈ S(X)；U ⊂ X - Y} であり、X - Y は開集合であるから
Ker(λ) は X の開集合 X - Y の双対イデアル(>>797)である。
準同型定理(>>865)より S(X)/Ker(λ) は S(Y) と同型である。
証明終
0900１３２人目の素数さん
2011/03/06(日) 03:05:16.40えぇ…
0901Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/06(日) 03:08:12.09X をStone空間(>>248)とする。
X の開かつ閉集合全体を S(X) とおく。
>>249より S(X) は包含関係に関してBoole代数である。
Y を X の閉集合とする。
>>827より Y は X の部分空間としてStone空間である。
Y の開かつ閉集合全体を S(Y) とおく。
>>249より S(Y) は包含関係に関してBoole代数である。
U ∈ S(X) に Y ∩ U を対応させることにより写像 λ：S(X) → S(Y) が得られる。
λ は全射でありBoole代数としての準同型である。
Ker(λ) は X の開集合 X - Y の双対イデアル(>>766)であり、
剰余代数 S(X)/Ker(λ) (>>833)は S(Y) と同型である。
証明
>>899より明らかである。
0903１３２人目の素数さん
2011/03/06(日) 03:31:53.14やめてや
俺なんもしてへんやん
0904１３２人目の素数さん
2011/03/06(日) 03:39:12.97猫さんおそろしいねえ
でも猫さんどうして熊をつぶそうとするのかな
0905猫はうんこ ◆MuKUnGPXAY
2011/03/06(日) 03:40:53.01アンタが何もしてへんでも『アンタとはちゃうド阿呆』がごっつい悪
いことをスルさかい、ワシが居座らなアカンのや。そやししゃーない
のや。アンタにはスマソやけんどナ。
猫
0906猫はうんこ ◆MuKUnGPXAY
2011/03/06(日) 03:45:13.92そうや、ワシは恐ろしいのや。そやけどナ、ワシのこの恐ろしさはココ
２ちゃんのアンタ等から学んだのや。そやしもう諦めて貰わなアカン。
猫
0907１３２人目の素数さん
2011/03/06(日) 03:47:05.45すぐ図に乗る馬鹿猫はかわいいね
0908Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/06(日) 03:59:00.31X を一般Stone空間(>>440)とする。
X のコンパクト開集合全体を S(X) とおく。
>>430より、S(X) は X の集合環である。
従って S(X) は包含関係に関して一般Boole代数と見なされる。
このとき S(X) を X の双対代数(dual algebra)または単に双対(dual)と言う。
0909１３２人目の素数さん
2011/03/06(日) 03:59:20.13黙ってろ
0910Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/06(日) 04:03:02.34X をStone空間(>>248)とする。
X の開かつ閉集合全体を S(X) とおく。
>>249より、S(X) は X 上の集合代数(過去スレ007の196)である。
従って S(X) は包含関係に関してBoole代数(過去スレ007の336)と見なされる。
このとき S(X) を X の双対代数(dual algebra)または単に双対(dual)と言う。
0911Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/06(日) 04:17:40.51A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
A の指標空間(>>448)を A＾とする。
>>460より、A＾は一般Stone空間(>>440)である。
A＾を A の双対空間(dual space)または単に双対(dual)と言う。
0912Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/06(日) 04:24:10.54A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
A の指標空間(>>304)を A＾とする。
>>247と>>301より、A＾はStone空間(>>248)である。
A＾を A の双対空間(dual space)または単に双対(dual)と言う。
0913Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/06(日) 06:03:00.40X を一般Stone空間(>>440)とする。
A をその双対代数(>>908)とする。
I をそのイデアル(過去スレ021の527)とする。
U を I の双対開集合(>>798)とする。
Y = X - U とおく。
B を Y の双対代数(>>908)とする。
V ∈ A に Y ∩ V を対応させることにより全射準同型 λ：A → B が得られる。
このとき λは同型 A/I → B を引き起こす。
証明
>>899より、λ は全射準同型であり、λは同型 A/Ker(λ) → B を引き起こす。
さらに、Ker(λ) は U = X - Y の双対イデアル(>>797)である。
>>799より I = Ker(λ) である。
証明終
0914Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/06(日) 06:07:34.71X をStone空間(>>248)とする。
A をその双対代数(>>910)とする。
I をそのイデアル(過去スレ021の527)とする。
U を I の双対開集合(>>767)とする。
Y = X - U とおく。
B を Y の双対代数(>>910)とする。
V ∈ A に Y ∩ V を対応させることにより全射準同型 λ：A → B が得られる。
このとき λは同型 A/I → B を引き起こす。
証明
>>901より、λ は全射準同型であり、λは同型 A/Ker(λ) → B を引き起こす。
さらに、Ker(λ) は U = X - Y の双対イデアル(>>766)である。
>>771より I = Ker(λ) である。
証明終
0915Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/06(日) 06:49:39.00f：A → B をBoole代数(過去スレ021の336)の準同型(>>30)とする。
A＾、B＾をそれぞれ A、B の双対空間(>>912)とする。
>>306より χ ∈ B＾に χf ∈ A＾を対応させることにより連続写像 f＾：B＾ → A＾が得られる。
このとき f＾を f の双対写像(dual map)または単に双対(dual)と言う。
0916１３２人目の素数さん
2011/03/06(日) 06:52:13.74猫は出てくるなよ
0917Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/06(日) 07:01:47.34X と Y をStone空間(>>248)とし、f：X → Y を連続写像とする。
A、B をそれぞれ X、Y の双対代数(>>910)とする。
>>312より U ∈ B に f^(-1)(U) ∈ A を対応させることにより
準同型(>>30) f＾：B → A が得られる。
f＾を f の双対準同型(dual homomorphism)または単に双対(dual)と言う。
0918１３２人目の素数さん
2011/03/06(日) 07:19:01.75２ちゃんねるでは、個人のスレッドは禁止されておる
おまえのやっていることは禁止されていることそのものだ
やめれ
0919ノニ
2011/03/06(日) 07:28:48.39私もやめるべきだと思います。
0920Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/06(日) 08:17:17.55A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
a ∈ A を任意の元とする。
Δ = {0, α, β, 1} を４個の元からなるBoole代数(過去スレ021の336)とする。
このとき準同型(>>30) f：Δ → A で f(α) = a となるものが一意に存在する。
証明
本補題の準同型 f が存在したとする。
f(0) = 0
f(1) = 1
β = α’であるから f(β) = (f(α))’= a’
よって、f は一意に決まる。
逆に f を上記のように定義すれば f は求める準同型である。
証明終
0921猫はうんこ ◆MuKUnGPXAY
2011/03/06(日) 08:25:49.42であれば「整数論に行くのであればこのスレには意味がアル」という主
張でしょうか。貴方の主張の正当性が私には理解出来ない。
猫
0922Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/06(日) 09:39:34.54Boole代数(過去スレ021の336)の圏をBoolとする。
f：A → B をBoolにおける射とする。
即ち、f はBoole代数の準同型(>>30)とする。
f が圏論的に単射(過去スレ017の345)であるためには
f が写像として単射であることが必要十分である。
証明
必要性：
f が圏論的に単射であるとする。
a、b ∈ A、a ≠ b とする。
f(a) ≠ f(b) を示せばよい。
Δ = {0, α, β, 1} を４個の元からなるBoole代数(過去スレ021の336)とする。
>>920より、Boolにおける射 g：Δ → A で g(α) = a となるものが一意に存在する。
同様に、Boolにおける射 h：Δ → A で h(α) = b となるものが一意に存在する。
g ≠ h であるから fg ≠ fh である。
ここで、f(a) = f(b) と仮定すると fg(α) = fh(α) である。
よって、>>920より fg = fh となり矛盾。
よって、f(a) ≠ f(b) である。
十分性：
自明である。
証明終
0923１３２人目の素数さん
2011/03/06(日) 09:41:13.150925猫はうんこ ◆MuKUnGPXAY
2011/03/06(日) 09:58:41.03ソレは：
★★★『誰に対するどういう理由の謝罪でしょうか？
加えてその賠償がもし金銭であれば金額の明示が必要です。』★★★
ご自分の主張は正確に述べなければ相手には何も伝わりません。
お返事をお待ちしています。
猫
0926１３２人目の素数さん
2011/03/06(日) 10:21:43.71謝罪と賠償を要求する
0927１３２人目の素数さん
2011/03/06(日) 10:23:08.95>>958
おかしいですね？ あなたの論文に、「あなた自身の」と言えるほど
あなたが貢献したものはあるんですか？ 先日、マサイネットを大学で
見せてもらった時に確認しましがた、単独で書いたものはほんの数篇ですよね？
一部にしか貢献していない論文をワシの論文なんて詐称しない方がいいですよ。
0928猫はうんこ ◆MuKUnGPXAY
2011/03/06(日) 10:35:45.57書き込みを再掲します。
猫
--------------------------------------------------------------
>925 名前：猫はうんこ ◆MuKUnGPXAY ：2011/03/06(日) 09:58:41.03
> >>923
> ソレは：
> ★★★『誰に対するどういう理由の謝罪でしょうか？
> 加えてその賠償がもし金銭であれば金額の明示が必要です。』★★★
> ご自分の主張は正確に述べなければ相手には何も伝わりません。
>
> お返事をお待ちしています。
>
> 猫
>
>
0929１３２人目の素数さん
2011/03/06(日) 10:59:08.29「電車内で下半身を出した男を捕まえた」と１１０番通報があった。
県警千葉西署員が駆けつけたところ、市川市二俣、防衛省職員、
片山智容疑者（３４）が取り押さえられており、公然わいせつ容疑で現行犯逮捕した。
「身に覚えがない」と容疑を否認しているという。(毎日新聞)
猫みたいな奴だなw
0930Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/06(日) 12:22:53.41X を局所コンパクト空間(過去スレ006の128)とする。
A を X の空でない閉集合とする。
このとき X/A (過去スレ018の402)はHausdorff空間である。
証明
p：X → X/A を標準写像とする。
x, y ∈ X - A かつ x ≠ y とする。
X はHausdorffだから x ∈ U、y ∈ V、U ∩ V = φ となる開集合 U、V がある。
U’= U ∩ (X - A)
V’= V ∩ (X - A)
とおく。
U’と V’は開集合であり、
x ∈ U’、y ∈ V’、U’∩ V’= φ
p(U’) と p(V’) は開集合であり、p(x) ∈ p(U’)、p(y) ∈ p(V’)、
p(U’) ∩ p(V’)’= φ
x ∈ X - A、y ∈ A とする。
X は局所コンパクトであるから過去スレ006の408より正則(過去スレ006の210)である。
よって、過去スレ006の211より x の開近傍 U と A の開近傍 V で交わらないものがある。
p(U) は p(x) の開近傍で、p(V) は p(y) の開近傍であり、p(U) ∩ p(V) = φ
以上から X/A はHausdorff空間である。
証明終
0931Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/06(日) 12:45:13.04X を局所コンパクト空間(過去スレ006の128)とする。
K を X のコンパクト部分集合とする。
このとき K ⊂ U となる開集合 U でその閉包がコンパクトなものが存在する。
証明
X は局所コンパクトであるから K の各点 x の開近傍 V_x でその閉包がコンパクトなものが存在する。
K はコンパクトだから K の有限個の点 x_1、．．．，x_n があり
K ⊂ V_(x_1)∪．．．∪V_(x_n) となる。
U = V_(x_1)∪．．．∪V_(x_n) とおけばよい。
証明終
0932Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/06(日) 13:01:15.86X を局所コンパクト空間(過去スレ006の128)とする。
K を X の空でないコンパクト部分集合とする。
このとき X/K (過去スレ018の402)は局所コンパクト空間である。
証明
>>930より X/K はHausdorff空間である。
p：X → X/K を標準写像とする。
過去スレ006の409より、x ∈ X - K のとき x の開近傍 V でその閉包 V~ がコンパクトで
V~ ⊂ X - K となるものがある。
p(V) は p(x) の開近傍であり p(V~) はコンパクトである。
よって、p(V~) は p(x) のコンパクト近傍である。
>>931より K ⊂ U となる開集合 U でその閉包 U~ がコンパクトなものが存在する。
y ∈ K のとき p(U) は p(y) の開近傍であり p(U~) はコンパクトである。
よって、p(U~) は p(y) のコンパクト近傍である。
以上から X/K は局所コンパクトである。
証明終
0933１３２人目の素数さん
2011/03/06(日) 13:12:54.27荒らすな
0934猫はうんこ ◆MuKUnGPXAY
2011/03/06(日) 13:22:46.08追放されろや
猫
0935１３２人目の素数さん
2011/03/06(日) 13:24:26.26賠償を求める
0936１３２人目の素数さん
2011/03/06(日) 13:30:01.89謝罪せよ
賠償を求める
0937猫はうんこ ◆MuKUnGPXAY
2011/03/06(日) 13:42:16.00>>936
それでは：
１．貴方のお名前。
２．謝罪の理由。
３．賠償金額。
を書き込んで下さいませ。コチラの検討材料とさせて戴きますので。
猫
0938１３２人目の素数さん
2011/03/06(日) 14:06:49.86わかったな
0939猫はうんこ ◆MuKUnGPXAY
2011/03/06(日) 14:11:26.94では私が先に名乗らなければならない理由を論理的に申し述べて下さい。
もしこの書き込みの論理的な意味がお馬鹿サンの貴方にでさえ理解出来た
のならお返事を下さっても結構ですね。頭が悪い人には大変でしょうけど。
猫
0940Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/06(日) 14:17:13.65X を一般Stone空間(>>440)とする。
K を X の空でないコンパクト部分集合とする。
このとき X/K (過去スレ018の402)は一般Stone空間である。
証明
>>932より X/K は局所コンパクト空間である。
p：X → X/K を標準写像とする。
x、y ∈ X - K かつ x ≠ y とする。
X はHausdorffで X - K は開集合だから x ∈ U、y ∈ X - U、U ⊂ X - K
となる開集合 X の U がある。
>>507より X は準連接空間(>>499)であるから x ∈ V ⊂ U となる X のコンパクト開集合 V がある。
このとき、y ∈ X - V である。
p(V) は X/K のコンパクト開集合であり、p(x) ∈ p(V)、p(y) ∈ X/K - p(V) である。
次に x ∈ X かつ y ∈ X - K とする。
>>815より、K ⊂ U となるコンパクト開集合 U があり、y ∈ X - U となる。
p(U) はコンパクト開集合であり、p(x) ∈ p(U)、p(y) ∈ X/K - p(U) である。
以上から X/K は完全分離(>>250)である。
よって、>>507より X/K は一般Stone空間である。
証明終
0941１３２人目の素数さん
2011/03/06(日) 14:17:59.75おい、黙ってろ
0942１３２人目の素数さん
2011/03/06(日) 14:31:23.28理由等いらん
これは命令だ
0943１３２人目の素数さん
2011/03/06(日) 14:33:38.81謝罪せよ
賠償を求める
0944猫はうんこ ◆MuKUnGPXAY
2011/03/06(日) 14:39:57.00>>943
今はヒル飯を喰ってるさかいアトにせえや。そやし何でもカキコしとけや。
馬鹿な事でもエエさかいナ。
猫
0945１３２人目の素数さん
2011/03/06(日) 14:41:34.130946Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/06(日) 15:14:07.67X をStone空間(>>248)とする。
A を X の空でない閉集合とする。
このとき X/A (過去スレ018の402)はStone空間である。
証明
X はコンパクトであるから A はコンパクトである。
よって、>>940より X/A は一般Stone空間(>>440)である。
X/A はコンパクトであるからStone空間である。
証明終
0947１３２人目の素数さん
2011/03/06(日) 15:14:44.350948Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/06(日) 15:26:06.66Stone空間(>>248)とその間の連続関数のなす圏をStoneとする。
f：X → Y を Stone における射とする。
f が圏論的に全射(過去スレ017の345)であるためには
f が写像として全射であることが必要十分である。
証明
必要性：
f が圏論的に全射とする。
f(X) ≠ Y として矛盾を導けばよい。
f(X) はコンパクトであるから >>946より X/f(X) (過去スレ018の402)はStone空間である。
p：Y → Y/f(X) を標準射とする。
h：Y → Y/f(X) を各 y ∈ Y に対して h(y) = {f(X)} により定義する。
h は定値写像であるから連続である。
pf = hf であるから p = h である。
一方、f(X) ≠ Y であるから p は定値写像ではない。
これは矛盾である。
十分性：自明である。
証明終
0949１３２人目の素数さん
2011/03/06(日) 15:33:45.590951１３２人目の素数さん
2011/03/06(日) 16:22:12.110953１３２人目の素数さん
2011/03/06(日) 16:58:21.590955１３２人目の素数さん
2011/03/06(日) 17:24:48.450956猫は池沼 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/06(日) 17:30:44.20猫
0957１３２人目の素数さん
2011/03/06(日) 17:33:08.190958１３２人目の素数さん
2011/03/06(日) 17:34:17.82たとえば筑波の院生たちとどちらが優秀かね？
0960１３２人目の素数さん
2011/03/06(日) 17:51:26.37猫のせいで数学板が荒れているというのは本人は自覚しているだろうが
多くのカキコでみられるように偽善者ぶっているのをみるとホント原が立つ。
本当に屑がいなくなってほしいのなら、おまえがいなくなればいい。
現実は建前で生きていけばいいけど、少なくともここでは自らの考えを忠実に貫いて欲しい。
2chを潰すか改善したいんだろ？だが、管理人は自らの意志を明確に貫けない精神異常者とは交渉しないんだよ！
0961１３２人目の素数さん
2011/03/06(日) 17:52:20.68多くのカキコでみられるように偽善者ぶっているのをみるとホント原が立つ。
0964Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/06(日) 18:08:35.54X を準コンパクト空間(過去スレ006の104)とし、Y をHausdorff空間とする。
f：X → Y を連続写像とする。
f が単射であれば f は X と f(X) の同相写像を引き起こす。
証明
Z を X の任意の閉集合とする。
X は準コンパクトであるから Z は準コンパクトである。
よって、f(Z) は Y の部分空間として準コンパクトである。
Y はHausdorffであるから f(Z) は Y の閉集合である。
特に f(X) は Y の閉集合である。
よって、f(Z) は f(X) の閉集合である。
よって、f は閉写像 f’：X → f(X) を引き起こす。
f’は連続であるから同相である。
証明終
0965１３２人目の素数さん
2011/03/06(日) 18:09:16.380967Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/06(日) 18:26:28.61f：A → B をBoole代数(過去スレ021の336)の準同型(>>30)とする。
X、Y をそれぞれ A、B の双対空間(>>912)とする。
f＾：Y → X を f の双対写像(>>915)とする。
f が全射であれば f＾は単射である。
証明
χ_1、χ_2 ∈ Y、f＾(χ_1) = f＾(χ_2) とする。
(χ_1)f = (χ_2)f である。
f は全射であるから χ_1 = χ_2 である。
よって、f＾は単射である。
証明終
0968Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/06(日) 18:31:57.00X と Y をStone空間(>>248)とし、f：X → Y を連続写像とする。
A、B をそれぞれ X、Y の双対代数(>>910)とする。
f＾：B → A を f の双対準同型(>>917)とする。
f が単射であるためには f＾が全射であるこが必要十分である。
証明
必要性：
f が単射であるとする。
>>964より、f は X と f(X) の同相写像を引き起こす。
f(X) はコンパクトであるから Y の閉集合である。
よって、>>901より f＾は全射である。
十分性：
f＾が全射であるとする。
Stoneの双対定理(>>314)より f：X → Y は f＾の双対写像(>>915)と見なされる。
よって、>>967より、f は単射である。
証明終
0969Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/06(日) 18:43:22.58X と Y をStone空間(>>248)とし、f：X → Y を連続写像とする。
A、B をそれぞれ X、Y の双対代数(>>910)とする。
f＾：B → A を f の双対準同型(>>917)とする。
f が全射であるためには f＾が単射であることが必要十分である。
証明
必要性：
f が全射であるとする。
明らかに f は圏論的に全射である。
Stoneの双対定理(>>314)より f＾は圏論的に単射である。
>>922より f＾は写像として単射である。
十分性：
f＾が単射であるとする。
明らかに f＾は圏論的に単射である。
Stoneの双対定理(>>314)より f は f＾の双対と見なされ f は圏論的に全射である。
>>948より、f は写像として全射である。
証明終
0970１３２人目の素数さん
2011/03/06(日) 18:44:34.370972１３２人目の素数さん
2011/03/06(日) 18:49:19.04うんこ垂れ流し
0973猫は池沼 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/06(日) 18:56:31.10猫
0974Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/06(日) 19:01:41.15Stone空間(>>248)とその間の連続関数のなす圏をStoneとする。
f：X → Y を Stone における射とする。
f が圏論的に単射(過去スレ017の345)であるためには
f が写像として単射であることが必要十分である。
証明
必要性：
f が圏論的に単射であるとする。
x、y ∈ X、x ≠ y とする。
T = {t} を１点からなる位相空間とする。
T はStone空間である。
写像 g：T → X を g(t) = x で定義する。
写像 h：T → X を h(t) = y で定義する。
明らかに g, h は連続写像である。
g ≠ h であるから fg ≠ fh である。
よって、f(x) ≠ f(y) である。
よって、f は単射である。
十分性：
自明である。
証明終
0975１３２人目の素数さん
2011/03/06(日) 19:06:03.08貴方を誘導して焼野原というわけですね。
0976Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/06(日) 19:22:16.43Boole代数(過去スレ021の336)とその間の準同型(>>30)のなす圏をBoolとする。
f：A → B を Bool における射とする。
f が圏論的に全射(過去スレ017の345)であるためには
f が写像として全射であることが必要十分である。
証明
必要性：
f が圏論的に全射であるとする。
f＾：B＾→ A＾を f の双対写像(>>915)とする。
Stoneの双対定理(>>314)より f＾は圏論的に単射である。
>>922より f＾は写像として単射である。
Stoneの双対定理(>>314)より f は f＾の双対準同型(>>917)と見なされる。
よって、>>968より f は写像として全射である。
十分性：
自明である。
証明終
0977Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/06(日) 19:35:31.64命題
Boole代数(過去スレ021の336)とその間の準同型(>>30)のなす圏をBoolとする。
f：A → B を Bool における射とする。
f が圏論的に全射(過去スレ017の345)であるためには
f が写像として全射であることが必要十分である。
証明
必要性：
f が圏論的に全射であるとする。
f＾：B＾→ A＾を f の双対写像(>>915)とする。
Stoneの双対定理(>>314)より f＾は圏論的に単射である。
>>974より f＾は写像として単射である。
Stoneの双対定理(>>314)より f は f＾の双対準同型(>>917)と見なされる。
よって、>>968より f は写像として全射である。
十分性：
自明である。
証明終
0979Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/06(日) 19:41:09.650980１３２人目の素数さん
2011/03/06(日) 19:49:41.58教えてほしい？
0981Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/06(日) 19:55:16.87お願いします。
0982１３２人目の素数さん
2011/03/06(日) 20:13:47.890983１３２人目の素数さん
2011/03/06(日) 22:07:01.540985１３２人目の素数さん
2011/03/07(月) 00:11:20.060986１３２人目の素数さん
2011/03/07(月) 00:41:39.15もうすぐ1000やし。
0987１３２人目の素数さん
2011/03/07(月) 00:42:19.650988１３２人目の素数さん
2011/03/07(月) 00:43:30.28もうええやろ？
0989１３２人目の素数さん
2011/03/07(月) 00:48:05.540990１３２人目の素数さん
2011/03/07(月) 00:52:49.64埋め
産め
宇目
0991１３２人目の素数さん
2011/03/07(月) 00:53:28.28なかなか『深み』のあるレスやな。
そやし君は何者や？？
まあよろしく一緒に埋めよか～
0992１３２人目の素数さん
2011/03/07(月) 00:56:06.87みんなで協力しようや。
0993１３２人目の素数さん
2011/03/07(月) 00:57:16.34それもas soon as possibleにやな。
0994１３２人目の素数さん
2011/03/07(月) 00:58:29.100995１３２人目の素数さん
2011/03/07(月) 00:59:06.120996１３２人目の素数さん
2011/03/07(月) 01:00:14.68埋めなあかんときは埋める。
これがメリハリちゅうんや。
分からんやつはちゃんと理解せえよ、エエな。
0997１３２人目の素数さん
2011/03/07(月) 01:01:14.02これで997やで。もうすぐ1000やないか。
0998１３２人目の素数さん
2011/03/07(月) 01:01:51.36みんな協力してくれや。
0999１３２人目の素数さん
2011/03/07(月) 01:34:11.351000１３２人目の素数さん
2011/03/07(月) 01:38:20.87ようみんな頑張ったな。
埋めんかったやつもいるけど、そういう選択もありや。尊重するで。
みんな、お疲れやったな。
1001１００１
Over 1000Threadもう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。
レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。