>>806
δ= min(1, (ε＾2)/4)　とおく

x, y ∈ [-√δ, √δ]　のとき
|x*sin(1/x)-y*sin(1/y)|≦|x*sin(1/x)|+|y*sin(1/y)|≦ 2√δ≦ε

y > √δ のとき
|x-y|<δ　とすると
|x*sin(1/x)-y*sin(1/y)| ≦ x*|sin(1/x)-sin(1/y)|+|x-y|*|sin(1/y)| ≦ x*|1/x - 1/y|+|x-y|
≦ |x - y|/y + |x-y| ≦ √δ + δ≦ε

y < -√δ のときも同様