>>549　途中経過は以下のとおりです。数学科ではないため数学の証明に不慣れで、厳密性に欠けていると思いますが･･･

Ⅰ
(1)
ダランベールの判定法より、[0<ｘ<π]　(0,∞)　に対して
|a_(n+1)/a_n|= |[a_(n+1)/a_n]*[sin(n+1)x/sin(nx)]*[e^-(2n-1)t]|→0<1　(n→∞)
したがってI=[0,π]×(0,∞)上で各点収束する。

どうでしょうか。判定法により、各点収束が言えているかが怪しいと思います
(2)
微分すると
∂(u_n)/∂t　=　-n^2*(a_n)*[sin(nx)]*e^(-n^2*t)　
∂(u_n)/∂x　=　n*(a_n)*[cos(nx)]*e^(-n^2*t)
∂^2(u_n)/∂x^2　=　-n^2*(a_n)*[sin(nx)]*e^(-n^2*t)
一様収束について理解が追いついていないためここでストップ
定義は理解したつもりです

(3)
(2)より∂(u_n)/∂t　=　-n^2*(a_n)*[sin(nx)]*e^(-n^2*t)　=　∂^2(u_n)/∂x^2
よって成り立つ

(3)は自分でも厳密性に欠いていると思いますが･･･

Ⅱ
フーリエ級数を用いて解くように見えますが、うまい方法があるのでしょうか

ご教示願えませんか