>>730
log_{2}(x)=X,log_{3}(y)=Yとおく
このとき、x=2^X,y=3^Y
２番目の式よりY=X-1で、
１番目の式より2^(2^X)+3^(3^(X-1))=43
ここで、f(X)=2^(2^X)+3^(3^(X-1))とおくと、f(2)=43
f(X)は明らかにXについて単調増加なので、f(X)=43となるXは
X=2しかありえない。
このとき、Y=1である。したがって、x=4,y=2となる

普通に連立方程式の要領で解く方法もあるのかもしれないけど、
その方法が分からなかったから、x=4,y=2が解であることを知った上で
（これは少し実験すれば分かる）これ以外に解がないことを示す方法をとった