円や楕円のようにyが2つだけ出てくる場合に、
閉曲面面積がS=∫(一周) x(t)y'(t)dt で表わされることを理解しているなら、
任意の閉曲面も、そうなるように分割したら？
で、分割した領域ごとに、∫(一周) x(t)y'(t)dt をして、全て足し合わせれば面積。
これをやると閉曲面内部に分割する線ができて、その上でのt-積分が出るが、
その線上でのt-積分は、最終的には
∫(c→d) x(t)y'(t)dt と∫(d→c) x(t)y'(t)dt
のように経路が逆向きの積分のペアで出てくるので、消える。
まぁ、証明って感じじゃないけど。