赤球3個、白球2個が入った袋から1個を取り出し、色を確かめてから元の袋に戻す。
この試行を、どちらかの色の球が3度出るまで繰り返すとき、試行の回数の期待値を求めよ。


という問題なのですが、これって
・3回目の試行で3度目の赤球が出る確率
・3回目の試行で3度目の白球が出る確率
・4回目の試行で3度目の赤球が出る確率
・4回目の試行で3度目の白球が出る確率
・5回目の試行で3度目の赤球が出る確率
・5回目の試行で3度目の白球が出る確率
を1つ1つ求めないと解けないのでしょうか？
もっと手短に解く方法はありますか？