任意の線形空間Ｖ(≠{０})は基底を持つことを示したいです
１次独立なＶの部分集合を元とする集合をＢとします

包含関係⊂についてＢが帰納的順序集合であることを示します

∀Ｕ∈Ｂ について
Ｂのすべての元の和集合はＵの上界になるので
Ｕは上に有界
よってＢは帰納的順序集合
ゆえにZornの補題よりＢは⊂に関する極大元をもつ
それをＵ_0とする
任意のｘ∈Ｕ_0に関して Ｕ_0⊂Ｕ_0∪{ｘ}であるが、Ｕ_0の極大性よりＵ_0∪{ｘ}は１次独立でない。
ゆえに Ｕ_0＝{ｕ_1、ｕ_2、…、ｕ_n}とすると
ｔ_1ｕ_1＋ｔ_1ｕ_1＋…＋ｔ_nｕ_n＋ｔ_(n+1)ｘ＝０ (∃ｔ_ｉ≠０)
ｔ_(n+1)＝０とすると、ｔ_i＝０となり、Ｕ_0∪{ｘ}は１次独立となりＵ_0の極大性に矛盾
ゆえにｔ_(n+1)≠０
よってｘはＵ_0の元の１次結合で書ける
ゆえにＵ_0はＶを生成する
以上よりＵ_0はＶを生成して、１次結合なのでＵ_0は基底となる

ゆえに任意の線形空間Ｖには基底が存在する

合ってますか…？添削お願いします…