解析概論を読み始めたのですが、はやくもCauchyの判定法で躓きました。

Cauchyの条件
「任意のε>0に対応して番号n0が定まり、p>n0 , q>n0 のとき |A_p-A_q|<ε」
を仮定して数列{A_n}が収束することを証明する過程で、{A_n}が有界であることは
理解できましたが、次のステップが理解できません。

n番目の項から始まる列、A_n,A_(n+1),・・・の上限と下限をL_n , M_nとする。
仮定によりε>0にn0が対応して、p>n0 , q>n0 のときA_p-A_q<ε。よってn>n0とすれば
『上限の意味により任意のq≧nに対してL_n-A_q≦ε』←この部分がわからないんです！！！

L_nは上限なのでA_p≦L_nなので、A_p-A_q≦L_n-A_q ですが、ここからなぜ
不等式L_n-A_q≦εが言えるのでしょうか？

どなたかご教授願います。