>>674
ある実数点x で q(＞0) だけギャップがあるとする。 |f(x) - g(x)|=q ＞ 0
f,gが連続なので、あるδ＞0に対して |x-x'|＜δの時、
|f(x)-f(x')|＜q/3,　|g(x)-g(x')|＜q/3
有理数の稠密性より、x' は有理数にとれる。 その時、
|f(x)-g(x)| ＜ |f(x)-f(x')| + |f(x')-g(x')| + |g(x')-g(x)|
＜2q/3 + |f(x')-g(x')| ＝ 2q/3 ＜ q
矛盾となるので、全ての実数x で f(x)-g(x)=0 が証明された。

>>697
直感的にそりゃそうだろうな程度の予想はつくけど、
実際に証明を書き出してみると、あまり「自明」とは思えない。