趣味で数学を勉強しようと思っています。興味があるのは、良く聞
くけど内容の不明な群です。ですから、群の習得を検討しています
が、習得の後に、それが何かの問題を解いたり、考察する際に応用
できるかどうかが知りたいです。

そこで、質問なのですが、群を勉強して得られるご利益ってどんな
ものがありますか。５次方程式に解の公式がないことが群の考えで
証明される話は有名ですが、あまりにも特殊な例のような気がしま
す。たとえば、微分や積分により曲線で囲まれた面積や立体の体積
が求めるのに強力なツールになりえますが、一般的に、群により、
何が扱えるようになり、何が求まるのでしょうか。初等的な問題で、
群を使うと簡潔に解ける問題なんかあるでしょうか。