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高校生のための数学の質問スレPART272

レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
0001１３２人目の素数さん2010/09/09(木) 23:20:07
まず>>1-3をよく読んでね

前スレ
高校生のための数学の質問スレPART271
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1282195051/

数学@2ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://members.at.infoseek.co.jp/mathmathmath/

・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
　　（× x+1/x+2　；　 ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
　どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
　ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。 （トリップの付け方は　名前(N)に　俺！#oretrip　←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。でないと放置されることがあります。
　　（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。それがない場合、放置されることがあります。
　　（特に、自分でやってみたのにあわないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・970くらいになったら次スレを立ててください。

・マルチ（マルチポスト）は放置されます。
0951１３２人目の素数さん2010/09/21(火) 21:04:34
>>945
嘘書くなよ
0952１３２人目の素数さん2010/09/21(火) 22:32:49
>>926,928
特定の一人を決めて、などという小細工は好かんというときは、
「nを自然数とするとき、3n人の人間を3人ずつn組に分ける分け方の総数」
を一挙に求める求め方の例

3n人を一列に並べ、端から3人ずつ区切りを入れると、3人の組がn組できる。
ここで、各3人組の順列は任意でよいので、3人の組毎に3!通りの並べ方を無視することができる。
また、出来上がっているn組の順も任意でよいので、n!通りのn組の並べ方を無視することができる。
よって、3n人を3人ずつのn組に分ける分け方の総数は
(3n)!/{((3!)^n)(n!)}


0953１３２人目の素数さん2010/09/21(火) 22:52:26


だから、
重複度で割る、っていう考え方は初心者にとっては難しいor気持ち悪いので回避したいんだよ。

　9人を３人３組に分ける方法は C[7,2]×C[5,2] 通り

の考え方は、それを回避できてるので感心した。
0954１３２人目の素数さん2010/09/21(火) 22:57:28
>>951
?
0955１３２人目の素数さん2010/09/21(火) 22:58:00
>>953
わがままだな
重複度で割るのが嫌ならCは使えないだろ

9人を３人３組に分ける方法は C[7,2]×C[5,2] 通り
にしてもあとで重複度で割らなきゃだめだ
0956１３２人目の素数さん2010/09/21(火) 22:59:02
>>953
重複度で割ることを回避したら、組み合わせの公式そのものはどう導入するの?
0957１３２人目の素数さん2010/09/21(火) 23:09:17
>>953
C[8,2]×C[5,2]

>>955
C[8,2]×C[5,2]=280
>>952(n=3)=9!/{(3!^3)(3!)}=280
重複度って何
0958１３２人目の素数さん2010/09/21(火) 23:09:53
初心者ならではのご愛嬌ｗ
09599532010/09/21(火) 23:14:45
すまんタイポだった C[8,2]×C[5,2]
0960１３２人目の素数さん2010/09/21(火) 23:15:35
>>953
> 　9人を３人３組に分ける方法は C[7,2]×C[5,2] 通り
ただしくない。
7C2・5C2の考え方を聞きたい。
0961１３２人目の素数さん2010/09/21(火) 23:25:27
>>950
理解しました。
わかりやすくありがとうございました。
0962１３２人目の素数さん2010/09/21(火) 23:32:34
はじめまして
今、問題を解いていて詰まったので教えてください。

a:b=b:cの時
(ａ+ｂ+ｃ)(a-b+c)=(a^2+b^2+c^2)が成り立つことをを証明せよ。

よろしくお願いします。
0963１３２人目の素数さん2010/09/21(火) 23:37:27
>>982
パッと見た感じ
比を内項と外項の積に変形してからｂの２乗を消すのが早いんじゃないかな？
0964１３２人目の素数さん2010/09/21(火) 23:38:19
アンカーミス
>>962へのレス
0965１３２人目の素数さん2010/09/21(火) 23:42:47
>>962
a:b=b:c　即ち　a/b=b/c=k　とおけば、　b=ck、a=bk=ck^2
これを左辺に代入すると
左辺=c^2(ｋ^2+k+1)(k^2-k+1)=c^2((k^2+1)^2-k^2)=c^2(k^4+k^2+1)=右辺
0966１３２人目の素数さん2010/09/21(火) 23:43:44
>>964

ど、どういうことですか？
0967１３２人目の素数さん2010/09/21(火) 23:49:04
>>966

>>963では本来は「>>962」というアンカーをつけるべきところを
間違えて「>>982」と書いてしまった

ということです。
0968１３２人目の素数さん2010/09/21(火) 23:53:34
>>956
>左辺=c^2(ｋ^2+k+1)(k^2-k+1)

ここになるまでがわからないです。
頭悪くてすいません。
0969１３２人目の素数さん2010/09/21(火) 23:57:25
(ａ+ｂ+ｃ)(a-b+c) に  b=ck、a=bk=ck^2  を 代入したら 
(ck^2+ck+c)(ck^2-ck+c) だよ。
c(k^2+k+1) c(k^2-k+1) ← それをcでくくって
c^2 (k^2+k+1)(k^2-k+1) ← さらに整理
0970１３２人目の素数さん2010/09/21(火) 23:57:35
>>968
とにかく代入してみろ。
0971１３２人目の素数さん2010/09/21(火) 23:58:23
どなたか教えて下さい。縦３本、横３本の最短経路問題です。
【問題】
Ｂ―　―　―Ａ
｜　｜　｜　｜
　―　―　―　
｜　｜　｜　｜
　―　―　―　
｜　｜　｜　｜
Ｐ―　―　―Ｑ
上図のような道路が交差する街路がある。
今Ｐ地点にいる人がＡ地点まで最短経路で移動すると同時に、Ｑ地点にいる人はＢ地点まで最短経路で移動する。
同時に出発し、同じ速度で移動する時、両者が出くわすのは何通りあるか。

【何処まで解いたか】
力技で解きました。6C3＝20通り全てのパターンを書き出し、それぞれの辺に名前をつけ、移動する辺を比較して数え上げました。
　―　δ　―　
｜　｜　｜　｜
　―　γ　―　
｜　｜　｜　｜
　―　β　―　
｜　｜　｜　｜
　―　α　―　
２手目にαで交差する：4*4=16通り
３手目にβで交差する：6*6=36通り
４手目にγで交差する：7*7=49通り
５手目にδで交差する：3*3=9通り
全部で16+36+49+9=110通り
となりました。（正しいかは不明）
とにかく20通り全て書き出すのが難儀でした。もっとスマートな解き方は無いでしょうか。よろしくお願いします。
0972１３２人目の素数さん2010/09/22(水) 00:00:22
>>969
なるほど。
ありがとうございます。

できれば
>c^2(k^4+k^2+1)
上記のkにはなにをいれればいいんですか？
0973１３２人目の素数さん2010/09/22(水) 00:00:54
A=Bを証明したいときは、A-B=0を証明すればOK

(a+b+c)(a-b+c)-(a^2+b^2+c^2)
={(a+c)+b}{(a+c)-b}-(a^2+b^2+c^2)
=(a+c)^2-b^2-(a^2+b^2+c^2)
=(a^2+2ac+c^2)-b^2-(a^2+b^2+c^2)
=2ac-2b^2…①

ここで、a:b=b:cよりb^2=ac

よって、①=0

計算するだけでどうにかなるもんだ
0974１３２人目の素数さん2010/09/22(水) 00:01:45
＞ 両者が出くわすのは何通りあるか。

「何」が何通りあるのかをきいているのかがわかりにくい問題文だな。

「の」って何を指してる？
0975１３２人目の素数さん2010/09/22(水) 00:05:59
>>973
>=2ac-2b^2…①
>ここで、a:b=b:cよりb^2=ac

ここがわからないです
0976１３２人目の素数さん2010/09/22(水) 00:06:21
>>971
同時に同速度でスタートなら、出くわしたときには等距離移動している。
だから、真ん中でしか出会わない。
あとは、それぞれそこを通る経路を計算して掛け合わせて（対称性から同じなので2乗することになるけど）、
足し合わせる。

例えば、βを通るのは、2C1*3C1=6通りだから、βで出会うのは6^2=36通り。
0977１３２人目の素数さん2010/09/22(水) 00:07:38
>>972
k　は　仮定に与えられている比　a:b=b:c　の値だから、回答者が勝手に値を決めることはできない。
a/b=b/c=k とおいて、a、bをcとkを使って表すための作業用変数と思ってくれ。
0978１３２人目の素数さん2010/09/22(水) 00:08:58
>>977
>c^2(k^4+k^2+1)=右辺

ここが理解できないです
0979１３２人目の素数さん2010/09/22(水) 00:10:00
>>975
a:b=b:cならa/b=b/cだから、ac=b^2。
p:q=r:sだったら、外側の積psと内側の積qrが等しくなる。
0980１３２人目の素数さん2010/09/22(水) 00:10:47
>>978
右辺にも代入してみろ。
とにかく手を動かせ。
自分で出来るようにならんぞ。
0981１３２人目の素数さん2010/09/22(水) 00:15:56
>>975
外項と内項の積って知ってる？
0982１３２人目の素数さん2010/09/22(水) 00:18:08
>>977
等しい比が与えられたときの証明問題では比を文字で置くのはセオリーだし
もちろんその使い方を慣れる必要はあるわけだけど、
この場合はb^2しか出てこないから　Kが出ない形でした方がいいんじゃない？
0983１３２人目の素数さん2010/09/22(水) 00:18:29
>>981
中一で習うよね。今の学習指導要領でもさ。
高校以前ｗｗ
0984１３２人目の素数さん2010/09/22(水) 00:20:50
>>976

＞例えば、βを通るのは、2C1*3C1=6通りだから、βで出会うのは6^2=36通り。
この計算が出来ませんでした。詳しくお願いします。


>>974
私も混乱したのですが、恐らく両者が交差するのは何通りかと言う意味だと解釈しています。
0985１３２人目の素数さん2010/09/22(水) 00:22:15
>>971
ｎ段目ででくわす経路は、ｎ段目にたどり着くまでの経路^2 × ｎ段目からゴールまでの経路^2 通りある。
（ｎ段目にたどり着く経路はｎ通り ｎ段目からゴールまでの経路は5-n通り）
つまり n^2(5-n)^2 を n=１～４まで 足せばいい。 
09869852010/09/22(水) 00:24:03
ｎ段目にたどり着くまでの経路^2 × ｎ段目からゴールまでの経路^2  と それぞれ２乗になるのは
ふたりがそれぞれ独立に道を選ぶからだよ。
0987１３２人目の素数さん2010/09/22(水) 00:25:49
x^3+y^3-3xy=nを満たす整数の組（ｘ、ｙ）が無限個存在するのはｎ=-1のときに限ることを示せ

背理法でやることはわかるのですがそれからがわかりません
おしえていただけないでしょうか
0988１３２人目の素数さん2010/09/22(水) 00:26:06
みなさんの丁寧な説明のおかげで理解することができました。
中学の時に遊びすぎたのでなんとか取り戻そうとしているのですが、
理解力がないためになかなかうまくいきません。

またみなさまのお力を借りるかもしれませんので、そのときはどうかこの馬鹿に力を貸してやってください。

みなさん本当にありがとうございました。
0989１３２人目の素数さん2010/09/22(水) 00:27:56
>>984
（Pからβへ行く経路）*（βからAへ行く経路）ってだけだよ。
0990１３２人目の素数さん2010/09/22(水) 00:31:15
>>987
> 背理法でやることはわかるのですがそれからがわかりません
わかるところまで書いてみな。
0991１３２人目の素数さん2010/09/22(水) 00:32:54
>>987
それは高校生向けの問題なのか？
0992１３２人目の素数さん2010/09/22(水) 00:39:17
>>987
(x+y+1)(x+ωy+ω²)(x+ω²y+ω)=x³+y³+1³-3xy･1=n+1
0993１３２人目の素数さん2010/09/22(水) 00:40:42
有名因数分解を使うことに気付けば、高校生でも解ける。
0994１３２人目の素数さん2010/09/22(水) 00:45:39
>>985-986　>>989

ありがとうございます、ようやく理解出来ました。

αを通る：(1C1*4C1)^2=4^2=16
βを通る：(2C1*3C1)^2=6^2=36
γを通る：(3C1*2C1)^2=6^2=36
δを通る：(4C1*1C1)^2=4^2=16
16+36+36+16=104通り
ですね。
苦労して書き出したのに間違ってて少し凹みました。

皆さん本当にありがとうございました。
0995１３２人目の素数さん2010/09/22(水) 00:56:21
>>994
どういう数え間違いをしたのかを確かめるといいと思うぞ
0996１３２人目の素数さん2010/09/22(水) 00:58:48
間違い方の検証は
場合の数では重要だね
0997１３２人目の素数さん2010/09/22(水) 01:06:18
>>987
まず、n=-1のとき整数解が無限個あることを示す。
x^3+y^3-3xy=-1　から移項して　x^3+y^3+1-3xy=0。
左辺=(x+y+1)(ｘ^2+y^2+1-xy-x-y)　であるから
x+y+1=0　となる整数x,yの組をとれば、それは与えられた方程式の解である。
具体的には、各整数m(m=0、±1、±2、・・・)　ごとに　x=m　y=-m-1　などとおけばよい。
mとして無限個の整数をとることができるから、方程式の解は無限個ある。

次に、n≠-1のときは、整数解は有限個しかないことを示す。
与えられた方程式を、ｘ^3+y^3+1-3xy=n+1　と変形すれば
(x+y+1)(ｘ^2+y^2+1-xy-x-y)=n+1 である。
仮定により、n+1≠0　である。
x,y,nは整数であるから上の式の左辺の二つの括弧の中の数は、整数n+1の約数である。
即ち、x,yに対して、ab=n+1　なる　整数a,bがあって、　
x+y+1=a　・・・(1)
ｘ^2+y^2+1-xy-x-y=b　・・・(2)
となっているが、このようなa,bの組は有限個であり、
また、連立方程式(1)(2)の解は（複素数の範囲まで考えても有限個である。
　(1)から得られる　y=a-x-1　を(2)に代入したものは2次方程式であり、解は精々2個）
よって、解の個数は有限個である。
(有限個の整数の組a,bのそれぞれに、(1)(2)を満たすx,yの組も有限個だから)
0998１３２人目の素数さん2010/09/22(水) 05:14:08
みなさんありがとうこざいまじた
0999１３２人目の素数さん2010/09/22(水) 07:59:13
次スレ
高校生のための数学の質問スレPART273
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1284957590/
1000１３２人目の素数さん2010/09/22(水) 10:43:03
ふぅ
1001１００１Over 1000Thread
このスレッドは１０００を超えました。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。
レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。