>>525
仮定によりS[n]は正かつ単調増加で更に
「k=1,2,3,…　⇒　a[m+1]/S[m+1]+…+a[m+k]/S[m+k]<1/2」
となるmが存在する。

このとき上の式の分母を全てS[m+k]で置き換えれば

(a[m+1]+…+a[m+k])/S[m+k]<1/2

が成り立つ。これより　S[m+k]<2S[m]　（k=1,2,3,…）
が得られるのでS[n]は有界。
数列{S[n]}は単調増加で有界だから収束する。


高校の範囲では分からなかった…